·32 智能系统学报 第2卷 的逼近精度问题必将是模糊逼近理论研究的永恒的 Fuzzy Systems,1995,3(2):219.235 课题， [5]HAO Ying.General fuzzy systems are universal approxi- mators[A].Pro of the 32nd Conf on Decision and Con- 5结论 trol[C].San Antonio ,USA.1993 1739-1742. [6]HAO Ying.Sufficient condition on general fuzzy systems 在短短20多年的时间里，模糊理论得到长足的 as function approximatiors [J ]Automatic,1994,30 发展，而模糊系统通用逼近性的研究也越发显得重 (3):521-525. 要.它的应用领域涉及了诸多方面，控制方法也有了 [7]曾珂，徐文立，张乃尧.特定Mamdani模糊系统的通 很大进展.但是，模糊系统理论还有一些重要的理论 用逼近性[U].控制与决策，2000,15(4)：435.438 课题没有解决，其中几个重要的问题是： ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.Universal ap- 1)模糊规则设计方法的研究，包括模糊集合隶 proximation of special Mamdani fuzzy systems [J ]Con- 属函数设定方法、规则和隶属函数参数自动生成等 trol&decision,2000,15(4):435-438. 问题； [8]MAO Zhihong,LI Yanda,ZHANG Xuefeng.Approxi- 2)如何保证模糊系统的稳定性 mation capability of fuzzy systems using translation and dilations of one fixed function as membership functions 另外，模糊规则是建立在“IF-THEN”表达式之 [J ]IEEE Transaction on Fuzzy Systems,1997,5(3): 上，这种方式容易让人理解.但是在自动生成、调整 468-473. 参数和模糊规则上却很困难.而神经网络对环境的 [9]毛志宏，张雪枫，李衍达.模糊系统作为通用函数逼近器 变化具有较强的自适应能力，所以可结合神经网络 研究[U1.中国科学(E辑)，1997,27(4)：362.367. 的学习能力来训练模糊规则，提高整个系统的学习 MAO Zhihong,ZHANG Xuefeng,LI Yanda.Study on 能力和表达能力，这是目前最受注目的一个课题 fuzzy systems as universal function approximators [J. 文中针对在理论和实际应用中都具有极为重要 China Science(E,1997,27(4):362-367. 意义的模糊系统逼近理论，从模糊系统的通用逼近 [10]李洪兴.模糊系统的数学本质与一类高精度控制器的 性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件、模糊系统 设计[U].控制理论与应用，1997,14(6)：868-876 作为通用逼近器的必要条件和模糊系统的逼近精度 LI Hongxing.Mathematical essence of fuzzy systems 等4个方面的研究状况进行了分析.首先总结了目 and design of a kind of high accuracy controller [J]. Control Theory Application,1997,14 (6):868- 前已经证明能够作为通用逼近器或通用控制器的模 876. 糊模型，概括了各种不同的证明方法，指出了各种方 [11]李洪兴.模糊控制的插值机理[J].中国科学(E辑)， 法相应的优点及局限性.然后总结了Mamdani模糊 1998,28(3):259-267 系统和TS模糊系统作为通用逼近器的充分条件 LI Hongxing.Interpolation mechanism of fuzzy control 和必要条件，最后简要阐述了模糊系统的逼近精度 J].China Science(E),1998,28(3):259-267 问题.文中的综合性分析，为模糊系统在实际应用中 [12]张恩勤，施颂椒，翁正新.采用三角型隶属函数的模糊 作为通用逼近器提供了综合性参考，并为以后进一 逻辑系统的插值特性[J1.自动化学报，27(6)：784- 步进行这方面的工作奠定了理论基础 790. ZHANG Enqin,SHI Songjiao,WENG Zhengxin. 参考文献： Fuzzy systems using triangle MF as interpolation func- tions[U].Automatic,2001,27(6):784-790. [1 WAN G Lixin.Fuzzy systems are universal approxima- [13]HAO Ying.General SISO Takagi-Sugeno fuzzy sys- tors [C].IEEE Conf Fuzzy Systems.San Diego,USA. tems with linear rule consequent are universal approxi- 1992：1163-1170 mators [J ]IEEE Transaction on Fuzzy Systems, [2]WAN G Lixin J ERR Y M.Mendel fuzzy basis functions, 1998,6(4):582-587. universal approximation,and orthogonal least-squares [14]HAO Ying.General Takagi Sugeno fuzzy systems learning [J ]IEEE Transaction on Neural Networks, with simplified linear rule consequent are universal con- 1992,3(5):807.814. trollers,models and filters [J].IEEE Transaction on [3]ZENG Xiaojun,MADAN G.Singh approximation theory Fuzzy Systems,1998(108):91.107. of fuzzy systems-SISO case [J ]IEEE Transaction on [15]曾珂，徐文立，张乃尧.典型下S模糊系统是通用逼 Fuzzy Systems,1994,2(2):162,176. 近器U].控制理论与应用，2001,18(2)：294-297. [4]ZENG Xiaojun,MADAN G.Singh approximation theory ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.Typical TS of fuzzy systems-MIMO case [J ]IEEE Transaction on fuzzy systems are universal approximators [J ]Control 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net的逼近精度问题必将是模糊逼近理论研究的永恒的 课题. 5 结 论 在短短 20 多年的时间里 ,模糊理论得到长足的 发展 ,而模糊系统通用逼近性的研究也越发显得重 要. 它的应用领域涉及了诸多方面 ,控制方法也有了 很大进展. 但是 ,模糊系统理论还有一些重要的理论 课题没有解决 ,其中几个重要的问题是 : 1) 模糊规则设计方法的研究 ,包括模糊集合隶 属函数设定方法、规则和隶属函数参数自动生成等 问题 ; 2) 如何保证模糊系统的稳定性. 另外 ,模糊规则是建立在“IF2T HEN”表达式之 上 ,这种方式容易让人理解. 但是在自动生成、调整 参数和模糊规则上却很困难. 而神经网络对环境的 变化具有较强的自适应能力 ,所以可结合神经网络 的学习能力来训练模糊规则 ,提高整个系统的学习 能力和表达能力 ,这是目前最受注目的一个课题. 文中针对在理论和实际应用中都具有极为重要 意义的模糊系统逼近理论 ,从模糊系统的通用逼近 性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件、模糊系统 作为通用逼近器的必要条件和模糊系统的逼近精度 等 4 个方面的研究状况进行了分析. 首先总结了目 前已经证明能够作为通用逼近器或通用控制器的模 糊模型 ,概括了各种不同的证明方法 ,指出了各种方 法相应的优点及局限性. 然后总结了 Mamdani 模糊 系统和 T2S 模糊系统作为通用逼近器的充分条件 和必要条件 ,最后简要阐述了模糊系统的逼近精度 问题. 文中的综合性分析 ,为模糊系统在实际应用中 作为通用逼近器提供了综合性参考 ,并为以后进一 步进行这方面的工作奠定了理论基础. 参考文献 : [1 ] WAN G Lixin. Fuzzy systems are universal approxima2 tors [C]. IEEE Conf Fuzzy Systems. San Diego , USA. 1992 : 1163 - 1170. [2 ]WAN G Lixin ,J ERR Y M. Mendel fuzzy basis functions , universal approximation , and orthogonal least - squares learning [J ]. IEEE Transaction on Neural Networks , 1992 , 3 (5) : 807 - 814. [3 ]ZEN G Xiaojun ,MADAN G. Singh approximation theory of fuzzy systems - SISO case [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1994 , 2 (2) : 162 - 176. [4 ]ZEN G Xiaojun ,MADAN G. Singh approximation theory of fuzzy systems - MIMO case [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1995 , 3 (2) : 219 - 235. [ 5 ] HAO Ying. General fuzzy systems are universal approxi2 mators[A ]. Pro of the 32nd Conf on Decision and Con2 trol[C]. San Antonio ,USA. 1993 : 1739 - 1742. [ 6 ] HAO Ying. Sufficient condition on general fuzzy systems as function approximatiors [J ]. Automatic , 1994 , 30 (3) : 521 - 525. [7 ]曾 珂 , 徐文立 , 张乃尧. 特定 Mamdani 模糊系统的通 用逼近性[J ]. 控制与决策 ,2000 ,15 (4) :435 - 438. ZEN G Ke , ZHAN G Naiyao , XU Wenli. Universal ap2 proximation of special Mamdani fuzzy systems [J ]. Con2 trol & decision , 2000 , 15 (4) : 435 - 438. [8 ]MAO Zhihong , L I Yanda , ZHAN G Xuefeng. Approxi2 mation capability of fuzzy systems using translation and dilations of one fixed function as membership functions [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1997 , 5 (3) : 468 - 473. [9 ]毛志宏 ,张雪枫 ,李衍达. 模糊系统作为通用函数逼近器 研究[J ]. 中国科学( E 辑) ,1997 ,27 (4) :362 - 367. MAO Zhihong , ZHAN G Xuefeng , L I Yanda. Study on fuzzy systems as universal function approximators [J ]. China Science ( E) , 1997 , 27 (4) : 362 - 367. [10 ]李洪兴. 模糊系统的数学本质与一类高精度控制器的 设计[J ]. 控制理论与应用 ,1997 ,14 (6) :868 - 876. L I Hongxing. Mathematical essence of fuzzy systems and design of a kind of high accuracy controller [J ]. Control Theory & Application , 1997 , 14 ( 6) : 868 - 876. [11 ]李洪兴. 模糊控制的插值机理 [J ]. 中国科学 ( E 辑) , 1998 ,28 (3) :259 - 267 L I Hongxing. Interpolation mechanism of fuzzy control [J ]. China Science ( E) , 1998 , 28 (3) : 259 - 267. [12 ]张恩勤 ,施颂椒 ,翁正新. 采用三角型隶属函数的模糊 逻辑系统的插值特性[J ]. 自动化学报 ,27 (6) : 784 - 790. ZHAN G Enqin , SHI Songjiao , WEN G Zhengxin. Fuzzy systems using triangle MF as interpolation func2 tions [J ]. Automatic , 2001 , 27 (6) : 784 - 790. [13 ] HAO Ying. General SISO Takagi - Sugeno fuzzy sys2 tems with linear rule consequent are universal approxi2 mators [ J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1998 , 6 (4) : 582 - 587. [14 ] HAO Ying. General Takagi - Sugeno fuzzy systems with simplified linear rule consequent are universal con2 trollers , models and filters [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1998 (108) :91 - 107. [15 ]曾 珂 ,徐文立 ,张乃尧. 典型 T2S 模糊系统是通用逼 近器[J ]. 控制理论与应用 ,2001 ,18 (2) :294 - 297. ZEN G Ke , ZHAN G Naiyao , XU Wenli. Typical T2S fuzzy systems are universal approximators [J ]. Control ·32 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷