第1期 刘福才，等：模糊系统万能逼近理论研究综述 ·31· 2.3 Mamdani模糊系统与下S模糊系统之间的比较 进行了比较4]，指出了如何根据逼近精度和欲逼近 众所周知，TS模糊系统的通用逼近性要好于 连续函数极值点的个数来确定模糊系统的输入模糊 Mamdani模糊系统，一般的理解是，TS模糊系统 子集输出模糊子集和模糊规则 相当于用许多块可以由不同倾斜方向的超平面来拟 对于一般SISO模糊系统和一些典型MIS0模 合一个光滑曲面，因此其函数逼近性能要优于仅用 糊系统（单点模糊输出）作为通用逼近器的必要条 水平超平面进行拟合的Mamdani模糊系统.从 件，文献[32-33]分别给出了2个定理 Zeng所得的结论也可以看出，当e充分小时有，下S 基于上述定理，应浩得出了一般的结论： 模糊系统一致逼近时需要的模糊子集数m∝1/Je, 1)一方面，对于一些表达式复杂却有相对较少 而对于Mamdani模糊系统，mc∝l/e.而从Chen的 极点的函数，一致逼近所需的模糊规则较少.另一方 结论也可以直观地看出，T下S模糊系统一致逼近时 面，对于一些表达式简单却有相对较多极点的函数 所需要的模糊子集数k∝l/2e,而Mamdani模糊系 一致逼近所需的模糊规则较多.与其他逼近技术相 统k∝l/e.因此，与Mamdani模糊系统相比，对于同 比，在逼近一个较高频率的连续函数时，一般不用模 样给定的定义在紧致集上的连续实函数和一致精度 糊系统，尤其是使用三角形模糊子集的SIS0和 ￡，下S模糊系统每个输入变量所需的模糊子集数要 MISO模糊系统.这就是所谓的模糊系统的逼近强 少得多 度和局限性问题. 总的看来，目前对模糊系统的一致逼近定义在 2)典型TS模糊系统和一般Mamdani模糊系 紧致集上的任意连续时函数的充分条件己经取得了 统的最小配置由于逼近函数的极点数及位置决定」 一定的成果，但仍然存在着一些问题 当使用梯形或三角形模糊子集时，在最小配置方面， 1)逼近精度越高，所需的模糊子集数越多，这在 TS模糊系统和Mamdani模糊系统是兼容的；当使 理论上是可行的.但在实际应用中是非常困难甚至 用非梯形或非三角形模糊子集时，TS模糊系统的 是不可能的 最小配置比Mamdani模糊系统要小 2)在较小逼近上界的情况下，能否在数量上估 由于对模糊系统作为通用逼近器的必要条件的 计出模糊子集和模糊规则数？ 研究还不多，因此还有许多待解决的问题，例如： 下一步的主要工作应当致力于放宽限制条件和 1)文献[32]中所得到的必要条件是否可用于其 得到最小误差上界3列 他系统中： 3模糊系统作为通用逼近器的必要条 2)文献[33]中TS模糊系统和Mamdani模糊 系统所得到的比较结果还需要严格的数学证明 件 4 逼近精度简要分析 从实用角度出发，只要能够满足精度，希望采用 简单的模糊系统（控制器或模型）逼近给定的函数. 近年来，模糊系统发展很快，其优点是能够根据 这就激励人们去研究具有最小系统构成的Mamda 与逼近函数和语言信息进行设计，但这种优点同时 i模糊系统或T-S模糊系统作为通用逼近器的必 伴随着一个问题模糊系统的逼近精度问题 要条件.这些条件在实际应用中用来确定模糊系统 曾小军4.45通过研究隶属函数和逼近精度的 的输入子集输出子集和模糊规则.另外，这些必要 关系，讨论了怎样通过设计隶属函数来改善模糊系 条件为模糊系统的鲁棒性和局限性的深入分析提供 统的逼近精度：当模糊子集对应的隶属函数A,(x) 了基础.主要的鲁棒性是：对于一些表达式复杂却有 和A+1(x)的交点在中心点附近时，模糊系统的逼 相对较少极点函数，一致逼近所需的模糊规则较少. 近精度高，反之，逼近精度低」 主要的局限性是：为了以较高精度逼近连续函数，模 王立新6提出了设计模糊系统的2种方法：聚 糊规则必须很大 类法（包括三角形隶属函数和高斯型隶属函数）和查 目前，研究必要条件的文献还比较少，只有应浩 表法.在文献[46]中，王立新还得出了影响逼近精度 确定了一般SISO模糊系统21、一些典型MISO模 的2个因素：1)设计模糊系统时的解决方法：2)欲逼 糊系统（单点模糊输出）21、一般MIS0模糊系 近函数的光滑程度 统3]和下S模糊系统1作为通用逼近器的必要条 目前对模糊系统逼近精度的研究还很不够.一 件，并将TS模糊系统作为通用逼近器的必要条件 般而言，逼近精度越高，所设计的模糊系统越复杂 与Mamdani模糊系统作为通用逼近器的必要条件 从而影响模糊系统的实际应用.因此，研究模糊系统 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net2. 3 Mamdani 模糊系统与 T2S模糊系统之间的比较 众所周知 , T2S 模糊系统的通用逼近性要好于 Mamdani 模糊系统 ,一般的理解是 , T2S 模糊系统 相当于用许多块可以由不同倾斜方向的超平面来拟 合一个光滑曲面 ,因此其函数逼近性能要优于仅用 水平超平面进行拟合的 Mamdani 模糊系统. 从 Zeng 所得的结论也可以看出 ,当ε充分小时有 , T2S 模糊系统一致逼近时需要的模糊子集数 n0∝1/ ε, 而对于 Mamdani 模糊系统 , n0 ∝1/ε. 而从 Chen 的 结论也可以直观地看出 , T2S 模糊系统一致逼近时 所需要的模糊子集数 k∝1/ 2ε,而 Mamdani 模糊系 统 k∝1/ε. 因此 ,与 Mamdani 模糊系统相比 ,对于同 样给定的定义在紧致集上的连续实函数和一致精度 ε, T2S 模糊系统每个输入变量所需的模糊子集数要 少得多. 总的看来 ,目前对模糊系统的一致逼近定义在 紧致集上的任意连续时函数的充分条件已经取得了 一定的成果 ,但仍然存在着一些问题 : 1) 逼近精度越高 ,所需的模糊子集数越多 ,这在 理论上是可行的. 但在实际应用中是非常困难甚至 是不可能的. 2) 在较小逼近上界的情况下 ,能否在数量上估 计出模糊子集和模糊规则数 ? 下一步的主要工作应当致力于放宽限制条件和 得到最小误差上界[37 ] . 3 模糊系统作为通用逼近器的必要条 件 从实用角度出发 ,只要能够满足精度 ,希望采用 简单的模糊系统(控制器或模型) 逼近给定的函数. 这就激励人们去研究具有最小系统构成的 Mamda2 ni 模糊系统或 T2S 模糊系统作为通用逼近器的必 要条件. 这些条件在实际应用中用来确定模糊系统 的输入子集、输出子集和模糊规则. 另外 ,这些必要 条件为模糊系统的鲁棒性和局限性的深入分析提供 了基础. 主要的鲁棒性是 :对于一些表达式复杂却有 相对较少极点函数 ,一致逼近所需的模糊规则较少. 主要的局限性是 :为了以较高精度逼近连续函数 ,模 糊规则必须很大. 目前 ,研究必要条件的文献还比较少 ,只有应浩 确定了一般 SISO 模糊系统[32 ] 、一些典型 MISO 模 糊系统 (单点模糊输出) [32 ] 、一般 MISO 模糊系 统[33 ]和 T2S 模糊系统[33 ] 作为通用逼近器的必要条 件 ,并将 T2S 模糊系统作为通用逼近器的必要条件 与 Mamdani 模糊系统作为通用逼近器的必要条件 进行了比较[34 ] ,指出了如何根据逼近精度和欲逼近 连续函数极值点的个数来确定模糊系统的输入模糊 子集、输出模糊子集和模糊规则. 对于一般 SISO 模糊系统和一些典型 MISO 模 糊系统(单点模糊输出) 作为通用逼近器的必要条 件 ,文献[32 - 33 ]分别给出了 2 个定理. 基于上述定理 ,应浩得出了一般的结论 : 1) 一方面 ,对于一些表达式复杂却有相对较少 极点的函数 ,一致逼近所需的模糊规则较少. 另一方 面 ,对于一些表达式简单却有相对较多极点的函数 , 一致逼近所需的模糊规则较多. 与其他逼近技术相 比 ,在逼近一个较高频率的连续函数时 ,一般不用模 糊系统 ,尤其是使用三角形模糊子集的 SISO 和 MISO 模糊系统. 这就是所谓的模糊系统的逼近强 度和局限性问题. 2) 典型 T2S 模糊系统和一般 Mamdani 模糊系 统的最小配置由于逼近函数的极点数及位置决定. 当使用梯形或三角形模糊子集时 ,在最小配置方面 , T2S 模糊系统和 Mamdani 模糊系统是兼容的 ;当使 用非梯形或非三角形模糊子集时 , T2S 模糊系统的 最小配置比 Mamdani 模糊系统要小. 由于对模糊系统作为通用逼近器的必要条件的 研究还不多 ,因此还有许多待解决的问题 ,例如 : 1) 文献[32 ]中所得到的必要条件是否可用于其 他系统中 ; 2) 文献[33 ]中 T2S 模糊系统和 Mamdani 模糊 系统所得到的比较结果还需要严格的数学证明. 4 逼近精度简要分析 近年来 ,模糊系统发展很快 ,其优点是能够根据 与逼近函数和语言信息进行设计 ,但这种优点同时 伴随着一个问题 ———模糊系统的逼近精度问题. 曾小军[44 - 45 ]通过研究隶属函数和逼近精度的 关系 ,讨论了怎样通过设计隶属函数来改善模糊系 统的逼近精度 :当模糊子集对应的隶属函数 A i ( x) 和 A i + 1 ( x) 的交点在中心点附近时 ,模糊系统的逼 近精度高 ,反之 ,逼近精度低. 王立新[46 ]提出了设计模糊系统的 2 种方法 :聚 类法(包括三角形隶属函数和高斯型隶属函数) 和查 表法. 在文献[ 46 ]中 ,王立新还得出了影响逼近精度 的 2 个因素 :1) 设计模糊系统时的解决方法 ;2) 欲逼 近函数的光滑程度. 目前对模糊系统逼近精度的研究还很不够. 一 般而言 ,逼近精度越高 ,所设计的模糊系统越复杂 , 从而影响模糊系统的实际应用. 因此 ,研究模糊系统 第 1 期 刘福才 ,等 :模糊系统万能逼近理论研究综述 ·31 ·