·30 智能系统学报 第2卷 其充分条件的研究，在前期的证明中有不少作者使 交叠隶属函数的TS模糊系统以任意精度一致逼 用了十分复杂的Weierstrass-stone定理)，使得证 近紧支集上任意连续时函数的一个充分条件，并给 明体现不出模糊系统的结构，难于实际应用.后来的 出了数值示例，所得结果远远优于文献[28]的结果。 证明不少采用了Weierstrass定理6,1.42s1,这样能 陈卫田川通过采用与[28]不同的方法，首次直接针 够揭示模糊系统作为函数逼近器的内部结构，并能 对一类模糊系统，给出了它们逼近函数的构造性充 很容易导出其作为函数逼近器的充分条件，根据 分条件，并给出了逼近精度与模糊规则数量之间的 Weierstrass定理，多项式可以任意精度逼近一个任 关系的显式公式： 意在实域上连续的非线性或线性函数.那么要证明 2.2关于模糊规则数量的比较 模糊系统能够逼近任意函数，只需证明该模糊系统 为了便于比较与分析，把上述3种方法获得的 能够逼近任意多项式即可.因此，一般有关模糊系统 充分条件列于表1.表中各符号的意义可参见文献 是通用逼近器及其充分条件的研究都遵循如下的2 [6,17,28-29].从表中可以看出，由Zng's方法得 个步骤：1)模糊系统能逼近任意多项式；2)采用 到的充分条件在形式上也更简洁.同时，注意到用 Weierstrass近似定理进行过渡 Zeng's方法计算所得的结果不会大于用ing's方 目前，对模糊系统作为通用逼近器的充分条件 法算得的结果.但是，由于Ying's方法仅取决于多 的研究主要集中于Mamdani模糊系统和TS模糊 项式函数的系数，其计算复杂度要比依赖于偏微分 系统.式中：文献[6-7]研究的是Mamdani模糊系极值的Zeng's方法低许多，特别在维数很高的情况 统，文献[13-14,16-17,28-29]研究的是TS模下更是如此.Zeng's方法和Chen's方法得出的充 糊系统.Hao Ying!1首先研究了简化Mamdani模 分条件和Yng's方法相比，均具有较低的保守性， 糊系统（规则后件是单点模糊集）作为通用逼近器的 那么，Zeng's方法和Chen's方法谁的保守性 充分条件，但是要求每一个输入变量的模糊子集有 更低？换句话说，这3个充分条件之间又有怎样的 相同的隶属函数形式，并且每一模糊子集的隶属函 关系呢？在文献[31]中已经给出了证明，有如下结 数在中心点以左是不减的，在中心点以右是不增的. 果 曾珂在文献[7]中引入广义全交叠的概念，对隶属函 1)对Mamdani模糊系统和线性TS模糊系统， 数的限定条件与文献[6]相比放宽了许多，所得到的 Yng's方法得到的模糊系统作为通用逼近器的充 充分条件在形式上更简洁. 分条件的保守性最大； Hao Ying在文献[13-14]中分别讨论了2种 2)对Mamdani模糊系统，当Chen's方法的模 采用比例的线性函数作为规则后件的简化TS模 糊系统对输入变量进行模糊等分时，其得到的充分 糊系统作为通用逼近器的充分条件.更进一步，在文 条件与Zeng's方法所得到的充分条件是等价的.而 献[28]中，Hao Ying研究了一般的采用输入变量的 不等分时，曾珂所得到的充分条件保守性要大些 线性函数作为规则后件和全交叠输入隶属函数的 3)对线性TS模糊系统，Zeng's方法和Chen TS模糊系统的充分条件.曾珂在文献[29]中研究 s方法所得的比较结果之间则不存在简单的大小关 了采用输入变量的线性函数作为规则后件和广义全 系 表1充分条件比较 Table 1 Comparison of coefficient conditions 方法 模糊规则后件为模糊集合（或单一实数） 模糊规则后件为下S模型 a)n ≥ 1月.o1+1611 Ying's 方法6,44 b)n'≈1 Zeng's 方法5 m> .1,r>1 卫4 ,aa Chen's 方法列 ,r>1 ≥ ,>1 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net其充分条件的研究 ,在前期的证明中有不少作者使 用了十分复杂的 Weierstrass2stone 定理[13 ] ,使得证 明体现不出模糊系统的结构 ,难于实际应用. 后来的 证明不少采用了 Weierstrass 定理[6 ,13 - 14 ,28 ] ,这样能 够揭示模糊系统作为函数逼近器的内部结构 ,并能 很容易导出其作为函数逼近器的充分条件. 根据 Weierstrass 定理 ,多项式可以任意精度逼近一个任 意在实域上连续的非线性或线性函数. 那么要证明 模糊系统能够逼近任意函数 ,只需证明该模糊系统 能够逼近任意多项式即可. 因此 ,一般有关模糊系统 是通用逼近器及其充分条件的研究都遵循如下的 2 个步骤 : 1) 模糊系统能逼近任意多项式 ; 2) 采用 Weierstrass 近似定理进行过渡. 目前 ,对模糊系统作为通用逼近器的充分条件 的研究主要集中于 Mamdani 模糊系统和 T2S 模糊 系统. 式中 :文献[ 6 - 7 ]研究的是 Mamdani 模糊系 统 ,文献[ 13 - 14 ,16 - 17 ,28 - 29 ]研究的是 T2S 模 糊系统. Hao Ying [ 6 ] 首先研究了简化 Mamdani 模 糊系统(规则后件是单点模糊集) 作为通用逼近器的 充分条件 ,但是要求每一个输入变量的模糊子集有 相同的隶属函数形式 ,并且每一模糊子集的隶属函 数在中心点以左是不减的 ,在中心点以右是不增的. 曾珂在文献[7 ]中引入广义全交叠的概念 ,对隶属函 数的限定条件与文献[6 ]相比放宽了许多 ,所得到的 充分条件在形式上更简洁. Hao Ying 在文献[ 13 - 14 ]中分别讨论了 2 种 采用比例的线性函数作为规则后件的简化 T2S 模 糊系统作为通用逼近器的充分条件. 更进一步 ,在文 献[ 28 ]中 , Hao Ying 研究了一般的采用输入变量的 线性函数作为规则后件和全交叠输入隶属函数的 T2S 模糊系统的充分条件. 曾珂在文献[ 29 ]中研究 了采用输入变量的线性函数作为规则后件和广义全 交叠隶属函数的 T2S 模糊系统以任意精度一致逼 近紧支集上任意连续时函数的一个充分条件 ,并给 出了数值示例 ,所得结果远远优于文献[ 28 ]的结果. 陈卫田[ 17 ]通过采用与[ 28 ]不同的方法 ,首次直接针 对一类模糊系统 ,给出了它们逼近函数的构造性充 分条件 ,并给出了逼近精度与模糊规则数量之间的 关系的显式公式. 2. 2 关于模糊规则数量的比较 为了便于比较与分析 ,把上述 3 种方法获得的 充分条件列于表 1. 表中各符号的意义可参见文献 [6 ,17 ,28 - 29 ]. 从表中可以看出 ,由 Zeng’s 方法得 到的充分条件在形式上也更简洁. 同时 ,注意到用 Zeng’s 方法计算所得的结果不会大于用 Ying’s 方 法算得的结果. 但是 ,由于 Ying’s 方法仅取决于多 项式函数的系数 ,其计算复杂度要比依赖于偏微分 极值的 Zeng’s 方法低许多 ,特别在维数很高的情况 下更是如此. Zeng’s 方法和 Chen’s 方法得出的充 分条件和 Ying’s 方法相比 ,均具有较低的保守性. 那么 ,Zeng’s 方法和 Chen’s 方法谁的保守性 更低 ? 换句话说 ,这 3 个充分条件之间又有怎样的 关系呢 ? 在文献[ 31 ]中已经给出了证明 ,有如下结 果 : 1) 对 Mamdani 模糊系统和线性 T2S 模糊系统 , Ying’s 方法得到的模糊系统作为通用逼近器的充 分条件的保守性最大 ; 2) 对 Mamdani 模糊系统 ,当 Chen’s 方法的模 糊系统对输入变量进行模糊等分时 ,其得到的充分 条件与 Zeng’s 方法所得到的充分条件是等价的. 而 不等分时 ,曾珂所得到的充分条件保守性要大些. 3) 对线性 T2S 模糊系统 ,Zeng’s 方法和 Chen’ s 方法所得的比较结果之间则不存在简单的大小关 系. 表 1 充分条件比较 Table 1 Comparison of coefficient conditions 方法 模糊规则后件为模糊集合(或单一实数) 模糊规则后件为 T2S 模型 Ying’s 方法[6 ,44 ] a) n 3 = c max 1 ε2 ∑ d d 1 =1 (| βd 1 | ·d1 ) , r = 1 b) n 3 ≈ 1 ε2 d∑i >0 | βd 1 , …, d r | ∑ r i =1 ( di ·c max i ) , r > 1 n 3 ≥ 1 ε2 | β1 ,0 | +| β0 ,1 | + ∑ M1 d 1 =0 ∑ M2 d 2 =0 | βd 1 , d 2 | (2 d 1 +d 2 - 1) , Zeng’s 方法[45 ] n0 > 1 ε2 ·∑ r i =1 5 Pq 5 xi ∞ - 1 , r > 1 n0 > 1 2ε2 ∑ r i =1 ∑ r j =1 5 2 Pq 5 xi5 x j ∞ - 1 Chen’s 方法[17 ] k f uz ≥ ∏ r i =1 int rM i1 ε2 + 1 , r > 1 k non ≥ ∏ r i =1 int rM i1 2ε2 + 1 , r > 1 ·30 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷