第1期 刘福才，等：模糊系统万能逼近理论研究综述 ·29· 2)在多变量情况下不封闭，因此不能使用 通用逼近器，并且模糊规则数随着输入变量的增加 Stone-Weierstrass定理 而线性增加.后来，Campello2又进一步证明，一个 由于上面2个问题的存在，Buckley未能找到 参数较少的递阶模糊关系系统可以转化成一个等价 基于逼近原理（模糊逻辑）的通用模糊控制器，因此， 的非递阶模糊关系.这个等价模型可以用于提取模 寻找是否存在基于逼近原理的通用模糊控制器将成 糊规则，也可以用于减少所提取的规则 为一个深入研究的课题 从本质上讲，标准模糊系统的F部分需要包括 Castro2回答了一个基本的理论问题“为什么 整个论域，所以THEN部分要简单（可以是常数）； 模糊系统对各种各样的实际问题具有如此优越的性 递阶模糊系统的F部分不包括整个论域，从而使 能？”，同时提出了模糊逻辑控制器(FLC)的概念，模 THEN部分变得复杂， 糊逻辑控制器包括2种类型：具有模糊规则后件的 从上面的分析可以看出，虽然递阶模糊系统的 模糊逻辑控制器和具有非模糊规则后件的模糊逻辑 模糊规则总数比相对应的标准模糊系统要少，即较 控制器.在文献中，他一方面说明了一种特殊类型的 好地解决了“规则爆炸”问题，但递阶模糊系统的每 模糊逻辑控制器是通用逼近器，这种类型的模糊逻 一条规则要比标准模糊系统复杂得多.因为它的 辑控制器满足：高斯隶属函数、乘法模糊推理、中心 THEN部分是输入变量的顺序多项式」 去模糊.另一方面，又证明了其他类型的模糊逻辑控 1.3.3加型模糊系统 制器也是通用逼近器，这些模糊逻辑控制器包括： 所谓加型模糊系统(SAM)）,是指将模糊规则的 1)具有其他隶属函数的模糊系统（包括三角形 输出或结论部分子集加到输入之中，这样便得到一 隶属函数、梯形隶属函数等)； 个输入-输出状态空间，它覆盖函数的图像并将交 2)以任意协范数为模型的模糊连接器； 叠的模糊补块平均化.加型模糊系统就是通过用输 3)只需满足较弱特性的模糊推理； 入-输出状态空间的模糊补块覆盖来逼近函数的. 4)只需满足较弱条件的去模糊方法， 每一条模糊规则定义了一个模糊补块，从而将状态 证明了诸多模糊逻辑控制器是通用逼近器之 空间的几何图形与实际内容联系起来 后，又出现了一个比较实际的问题：给出一个特定的 Kosko2s,21利用有限覆盖定理研究了加型模 控制问题之后，哪一种类型的模糊逻辑控制器更适 糊系统的函数逼近性.证明了一个加型模糊系统通 合呢？文献[21]没有解决，另外，文献[21]也没有给 过神经元或统计聚类算法逼近一个位置的模糊补 出最优模糊逻辑控制器的结构和大小. 块，并从训练数据中产生一个模糊系统.Kosko在文 但是，尽管在实际应用中，由于不知道最优控制 献[25]对模糊集互相重叠个数做了假设，在文献 器是怎样进行选择的，但上面的叙述却从理论上说 [26]中对这一假设进行了削弱 明了模糊控制可以作为通用控制工具.有了这些理 张恩勤2列采用了较为简单的方法证明了一类 论基础，Ngnyen!2]证明了模糊控制可用于许多实 基于规则的加型模糊系统的通用逼近特性，由于很 际控制系统中（如分布式系统）.尽管如此，模糊控制 多环节的处理上更为自由，所研究的加型模糊系统 方法的选择还要由许多附加条件所决定，如控制结 更为广泛 果的光滑性、稳定性、灵敏性等 关于模糊系统在通用逼近性的存在性方面所取 1.3,2递阶模糊系统 得的研究成果可参见文献[42] 上面所讲述的模糊系统都是标准模糊系统，但 2 模糊系统作为通用逼近器的充分条 是限制典型模糊控制器广泛应用的一个重要问题是 “规则爆炸”问题，也就是模糊规则数随着模糊控制 件研究与分析 器输入变量数的增加而迅速增加.这就增加了模糊 2.1关于充分条件的研究 系统的复杂性.王立新2]提出了递阶模糊系统，从 由于充分条件决定了模糊系统逼近误差的上 而解决了“多维曲面”的问题.递阶模型的基本思想 界，对已得到的模糊系统一致逼近任意连续时函数 是把一个多维输入模糊系统转化成低维模糊系统的 的各种充分条件进行比较分析，判定哪一个充分条 集合.其中的低维模糊系统称为Takagi-Sugeno 件所确定的逼近误差上界更小，或者在什么情况下 Kang(TSK)模糊系统 更小，以及计算复杂程度等等，这些工作无疑在理论 在文献[23]中，王立新以三输入模糊系统为例 和应用上都有非常重要的意义 用Stone-Weierstrass定理证明了递阶模糊系统是 纵观国内所有关于模糊系统作为函数逼近器及 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net2) 在多变量情况下ξ不封闭 ,因此不能使用 Stone2Weierstrass 定理. 由于上面 2 个问题的存在 ,Buckley 未能找到 基于逼近原理(模糊逻辑) 的通用模糊控制器 ,因此 , 寻找是否存在基于逼近原理的通用模糊控制器将成 为一个深入研究的课题. Castro [ 21 ]回答了一个基本的理论问题“为什么 模糊系统对各种各样的实际问题具有如此优越的性 能 ?”,同时提出了模糊逻辑控制器(FLC) 的概念 ,模 糊逻辑控制器包括 2 种类型 :具有模糊规则后件的 模糊逻辑控制器和具有非模糊规则后件的模糊逻辑 控制器. 在文献中 ,他一方面说明了一种特殊类型的 模糊逻辑控制器是通用逼近器 ,这种类型的模糊逻 辑控制器满足 :高斯隶属函数、乘法模糊推理、中心 去模糊. 另一方面 ,又证明了其他类型的模糊逻辑控 制器也是通用逼近器 ,这些模糊逻辑控制器包括 : 1) 具有其他隶属函数的模糊系统 (包括三角形 隶属函数、梯形隶属函数等) ; 2) 以任意协范数为模型的模糊连接器 ; 3) 只需满足较弱特性的模糊推理 ; 4) 只需满足较弱条件的去模糊方法. 证明了诸多模糊逻辑控制器是通用逼近器之 后 ,又出现了一个比较实际的问题 :给出一个特定的 控制问题之后 ,哪一种类型的模糊逻辑控制器更适 合呢 ? 文献[21 ]没有解决 ,另外 ,文献[ 21 ]也没有给 出最优模糊逻辑控制器的结构和大小. 但是 ,尽管在实际应用中 ,由于不知道最优控制 器是怎样进行选择的 ,但上面的叙述却从理论上说 明了模糊控制可以作为通用控制工具. 有了这些理 论基础 ,Ngnyen [22 ] 证明了模糊控制可用于许多实 际控制系统中(如分布式系统) . 尽管如此 ,模糊控制 方法的选择还要由许多附加条件所决定 ,如控制结 果的光滑性、稳定性、灵敏性等. 1. 3. 2 递阶模糊系统 上面所讲述的模糊系统都是标准模糊系统 ,但 是限制典型模糊控制器广泛应用的一个重要问题是 “规则爆炸”问题 ,也就是模糊规则数随着模糊控制 器输入变量数的增加而迅速增加. 这就增加了模糊 系统的复杂性. 王立新[23 ] 提出了递阶模糊系统 ,从 而解决了“多维曲面”的问题. 递阶模型的基本思想 是把一个多维输入模糊系统转化成低维模糊系统的 集合. 其中的低维模糊系统称为 Takagi2Sugeno2 Kang ( TSK) 模糊系统. 在文献[23 ]中 ,王立新以三输入模糊系统为例 用 Stone2Weierstrass 定理证明了递阶模糊系统是 通用逼近器 ,并且模糊规则数随着输入变量的增加 而线性增加. 后来 ,Campello [24 ] 又进一步证明 ,一个 参数较少的递阶模糊关系系统可以转化成一个等价 的非递阶模糊关系. 这个等价模型可以用于提取模 糊规则 ,也可以用于减少所提取的规则. 从本质上讲 ,标准模糊系统的 IF 部分需要包括 整个论域 ,所以 T HEN 部分要简单 (可以是常数) ; 递阶模糊系统的 IF 部分不包括整个论域 ,从而使 TH EN 部分变得复杂. 从上面的分析可以看出 ,虽然递阶模糊系统的 模糊规则总数比相对应的标准模糊系统要少 ,即较 好地解决了“规则爆炸”问题 ,但递阶模糊系统的每 一条规则要比标准模糊系统复杂得多 ,因为它的 TH EN 部分是输入变量的顺序多项式. 1. 3. 3 加型模糊系统 所谓加型模糊系统(SAM) ,是指将模糊规则的 输出或结论部分子集加到输入之中 ,这样便得到一 个输入 - 输出状态空间 ,它覆盖函数的图像并将交 叠的模糊补块平均化. 加型模糊系统就是通过用输 入 - 输出状态空间的模糊补块覆盖来逼近函数的. 每一条模糊规则定义了一个模糊补块 ,从而将状态 空间的几何图形与实际内容联系起来. Kosko [25 - 26 ]利用有限覆盖定理研究了加型模 糊系统的函数逼近性. 证明了一个加型模糊系统通 过神经元或统计聚类算法逼近一个位置的模糊补 块 ,并从训练数据中产生一个模糊系统. Kosko 在文 献[25 ]对模糊集互相重叠个数做了假设 ,在文献 [26 ]中对这一假设进行了削弱. 张恩勤[27 ]采用了较为简单的方法证明了一类 基于规则的加型模糊系统的通用逼近特性 ,由于很 多环节的处理上更为自由 ,所研究的加型模糊系统 更为广泛. 关于模糊系统在通用逼近性的存在性方面所取 得的研究成果可参见文献[42 ]. 2 模糊系统作为通用逼近器的充分条 件研究与分析 2. 1 关于充分条件的研究 由于充分条件决定了模糊系统逼近误差的上 界 ,对已得到的模糊系统一致逼近任意连续时函数 的各种充分条件进行比较分析 ,判定哪一个充分条 件所确定的逼近误差上界更小 ,或者在什么情况下 更小 ,以及计算复杂程度等等 ,这些工作无疑在理论 和应用上都有非常重要的意义. 纵观国内所有关于模糊系统作为函数逼近器及 第 1 期 刘福才 ,等 :模糊系统万能逼近理论研究综述 ·29 ·