·28 智能系统学报 第2卷 式中：a,b,m,m,,aa,k(j=1,2,M0,为要设 模糊系统和PDC控制器，并讨论了它们的基本性 计的参数.而每个规则中，a,b,m,m,an都是定 能，得到了2个结果： 值，要变动的只有kj=1,2,0.这样要设计的 1)线性TS模糊系统是光滑非线性动态系统 参数总共只有M+n+2个，几乎减少了一半.这样， 的通用逼近器； 得到的简化线性下$模糊系统的输出为 2)PDC控制器是非线性状态反馈控制器的通 M 用逼近器。 马(xy) f(x= TS模糊系统作为通用逼近器的基本思想是： 6) 4田 采用局部线性化实现全局非线性逼近.目前，对下S 模糊系统的研究并不多，并且主要集中在对线性下 对于这种简化的线性TS模糊系统，应浩从数 S模糊系统通用逼近性的研究上，应浩、曾珂、陈卫 学上推导出了简化了的SISO)与MISO]线性下 田所提出的方法虽然各不相同，但它们之间有一定 S模糊系统为通用逼近器，并给出了相应的充分条 的相关性，这从线性TS模糊系统作为通用逼近器 件.但是由于简化线性TS模糊系统的限制条件较 的充分条件的比较中可以看出.他们的方法有共同 多，虽然所需求解的规则后件的参数较少，但实际应 的优点：所证明的线性TS模糊系统对隶属函数类 用中仍有一定的局限性.为此，应浩又用类似的方法 型、模糊逻辑控制以及去模糊方法没有任何限制.但 证明了一般线性TS模糊系统的通用逼近性，，曾 与此同时，3种方法证明过程中的限制条件也提出 珂则证明了典型TS模糊系统的通用逼近性51. 了下S模糊系统研究中待解决的问题：线性TS模 1.2.2典型TS模糊系统 糊系统可以实现全局非线性逼近，那么非线性T下S 典型下S模糊系统的一般定义为 模糊系统是否也可以作为非线性逼近器？ R,:IF xI is Af and x is A2 and and 1.3其他模糊系统的逼近性问题 xmis A THEN 随着模糊逼近理论的不断发展，研究各种类型 y pno pixi ppx2++pixa= 的通用逼近器逐渐成为研究的热点.目前，除了 po >pnx..j=1,2.M. 7) Mamdani模糊系统和下S模糊系统，所研究的其他 式中：x:(i=1,2,m)为输入变量，A{为模糊子 主要模糊系统包括：1)模糊控制器，2)递阶模糊系 集，M为规则总数，Pmi=1,2,W为模糊系统的 统，3)加型模糊系统 参数.对典型TS模糊系统，设0≤x,.对每一个 1.3.1模糊控制器 输入变量x(i=1,2,W定义m个模糊子集，从而 近些年来，对于模糊控制器的研究不断增多，模 糊控制是一种基于规则的控制，它直接采用语言型 规则总数为M=.式)所给出的第i条规则的 控制规则，其依据是现场操作员的控制经验或相关 激活度为马=山(x).容易求得典型下S模糊系 专家的知识，在设计中不需要建立被控对象的精确 数学模型，因而使得控制机理和策略易于接受和理 统的输出为 解，设计简单，便于使用 在文献[19]中，Buckley将基本模糊控制器分 f(x) (8】 为3类：l)expert systems;2)approximation reason- 2%w ing(fuzzy logic);3)Sugeno controller. 式中：x=(x1,x2,x)T,并且令x0写 通用控制器研究方向的第一个结果是：如果一 对于这种典型TS模糊系统，曾珂证明，在 个过程可由一个连续控制器（不一定是模糊控制器） 采用广义全交叠输入隶属函数的前提下，该系统具 控制，那么这个过程也可由多元素同时运行的模糊 有通用逼近性，并得到了其作为通用逼近器的充分 控制器所控制 条件161 在文献[20]中，Buckley证明了基于Sugeno型 而陈卫田小则利用终值定理，对带有非模糊规 模糊控制器是通用模糊控制器，在Buckley!1,引中 则后件的模糊逻辑控制(FLC)系统进行分析，证明 又证明了基于系列的模糊控制器是通用逼近器。 了该系统具有通用逼近性，并得到了其作为通用逼 但是，在证明系列的模糊控制器是通用逼近器的 近器的充分条件1)。 过程中遇到了2个问题： 在文献[l8]中，Huao.Wang提到了线性TS l)6=FC(e,△e不是(e,△e的连续函数； 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net式中 : a , b, a0 , a1 , …, an , kj ( j = 1 , 2 , …, M) ,为要设 计的参数. 而每个规则中 , a , b, a0 , a1 , …, an 都是定 值 ,要变动的只有 kj ( j = 1 ,2 , …, M) . 这样要设计的 参数总共只有 M + n + 2 个 ,几乎减少了一半. 这样 , 得到的简化线性 T2S 模糊系统的输出为 f ( x) = ∑ M j = 1 (μj ( x) y j) ∑ M j = 1 μj ( x) . (6) 对于这种简化的线性 T2S 模糊系统 ,应浩从数 学上推导出了简化了的 SISO [13 ]与 MISO [13 ]线性 T2 S 模糊系统为通用逼近器 ,并给出了相应的充分条 件. 但是由于简化线性 T2S 模糊系统的限制条件较 多 ,虽然所需求解的规则后件的参数较少 ,但实际应 用中仍有一定的局限性. 为此 ,应浩又用类似的方法 证明了一般线性 T2S 模糊系统的通用逼近性[14 ] ,曾 珂则证明了典型 T2S 模糊系统的通用逼近性[15 ] . 1. 2. 2 典型 T2S 模糊系统 典型 T2S 模糊系统的一般定义为 Rj :IF x1 is A j 1 and x2 is A j 2 and …and x n is A j n T HEN , y = pj0 + pj1 x1 + pj2 x2 + …+ pjn x n = pj0 + ∑ n i = 1 pji x i , j = 1 ,2 , …, M. (7) 式中 : xi ( i = 1 , 2 , …, n) 为输入变量 , A j i 为模糊子 集 , M 为规则总数 , pji ( i = 1 , 2 , …, n) 为模糊系统的 参数. 对典型 T2S 模糊系统 ,设 0 ≤xi ≤1. 对每一个 输入变量 xi ( i = 1 ,2 , …n) 定义 ni 个模糊子集 ,从而 规则总数为 M = ∏ n i = 1 ni . 式(7) 所给出的第 i 条规则的 激活度为μj = ∏ n i = 1 μA j i ( xi) . 容易求得典型 T2S 模糊系 统的输出为 f ( x) = ∑ M j =1 μj ( x) ∑ n i = 0 pji x i ∑ M j = 1 μj ( x) . (8) 式中 : x = ( x1 , x2 , …, x n ) T ,并且令 x0 ≡1. 对于这种典型 T2S 模糊系统 ,曾珂[15 ] 证明 ,在 采用广义全交叠输入隶属函数的前提下 ,该系统具 有通用逼近性 ,并得到了其作为通用逼近器的充分 条件[ 16 ] . 而陈卫田[17 ]则利用终值定理 ,对带有非模糊规 则后件的模糊逻辑控制 (FLC) 系统进行分析 ,证明 了该系统具有通用逼近性 ,并得到了其作为通用逼 近器的充分条件[ 17 ] . 在文献[ 18 ]中 , Hua o. Wang 提到了线性 T2S 模糊系统和 PDC 控制器 ,并讨论了它们的基本性 能 ,得到了 2 个结果 : 1) 线性 T2S 模糊系统是光滑非线性动态系统 的通用逼近器 ; 2) PDC 控制器是非线性状态反馈控制器的通 用逼近器. T2S 模糊系统作为通用逼近器的基本思想是 : 采用局部线性化实现全局非线性逼近. 目前 ,对 T2S 模糊系统的研究并不多 ,并且主要集中在对线性 T2 S 模糊系统通用逼近性的研究上 ,应浩、曾珂、陈卫 田所提出的方法虽然各不相同 ,但它们之间有一定 的相关性 ,这从线性 T2S 模糊系统作为通用逼近器 的充分条件的比较中可以看出. 他们的方法有共同 的优点 :所证明的线性 T2S 模糊系统对隶属函数类 型、模糊逻辑控制以及去模糊方法没有任何限制. 但 与此同时 ,3 种方法证明过程中的限制条件也提出 了 T2S 模糊系统研究中待解决的问题 :线性 T2S 模 糊系统可以实现全局非线性逼近 ,那么非线性 T2S 模糊系统是否也可以作为非线性逼近器 ? 1. 3 其他模糊系统的逼近性问题 随着模糊逼近理论的不断发展 ,研究各种类型 的通用逼近器逐渐成为研究的热点. 目前 ,除了 Mamdani 模糊系统和 T2S 模糊系统 ,所研究的其他 主要模糊系统包括 :1) 模糊控制器 ,2) 递阶模糊系 统 ,3) 加型模糊系统. 1. 3. 1 模糊控制器 近些年来 ,对于模糊控制器的研究不断增多 ,模 糊控制是一种基于规则的控制 ,它直接采用语言型 控制规则 ,其依据是现场操作员的控制经验或相关 专家的知识 ,在设计中不需要建立被控对象的精确 数学模型 ,因而使得控制机理和策略易于接受和理 解 ,设计简单 ,便于使用. 在文献[ 19 ]中 ,Buckley 将基本模糊控制器分 为 3 类 :1) expert systems ;2) approximation reason2 ing (f uzzy logic) ;3) Sugeno controller. 通用控制器研究方向的第一个结果是 :如果一 个过程可由一个连续控制器(不一定是模糊控制器) 控制 ,那么这个过程也可由多元素同时运行的模糊 控制器所控制. 在文献[ 20 ]中 ,Buckley 证明了基于 Sugeno 型 模糊控制器是通用模糊控制器 ;在 Buckley [ 1 - 3 ] 中 , 又证明了基于ξ系列的模糊控制器是通用逼近器. 但是 ,在证明ξ系列的模糊控制器是通用逼近器的 过程中遇到了 2 个问题 : 1)δ= FC( e ,Δe) 不是( e ,Δe) 的连续函数; ·28 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷