第1期 刘福才，等：模糊系统万能逼近理论研究综述 ·27· 王立新川用Stone-Weierstrass定理证明了采用乘 【10]中指出：模糊控制其本质上是插值器.该结论是 积推理、中心去模糊、高斯隶属函数的Mamdani模 按“真值流动”的思想提出的.基于此，在文献[11] 糊系统能够以任意精度逼近紧致集上的任意连续实 中，提出了模糊系统的插值机理，对于模糊系统的函 函数.但由于证明过程使用了复杂的Stone 数逼近性提出了新的方法.受此启发，张恩勤)研 Weirstrass定理，这使得证明潜在的逼近机制并不 究了基于三角形隶属函数的一类模糊系统的插值特 清晰，并且对于一般的模糊系统是否成立也没能给 性，从模糊系统的结构分析上给出了一类模糊系统 出确切的答案.因此，在文献[2]中，王立新又提出了 与分段插值函数的等价性证明，并给出了相应的逼 模糊基函数(FBF)的概念.模糊基函数最大的优点 近误差估计. 是来自人类专家的模糊语言IF-THEN规则直接与 以上分析较为概括的阐述了目前证明Mamda- 模糊基函数相关。 模糊系统具有通用逼近性的方法.可以看出，对 既然模糊基函数在研究模糊系统的通用逼近性 于Mamdani模糊系统作为通用逼近器的研究方法 方面起了重要的作用，那么，模糊基函数又有哪些特 很多，并且每种方法都各有其优点和局限性，而且越 点呢？曾小军在文献[3-4]给出了较详细的分析， 来越完善.可以把这些方法存在的主要问题概括为： 并得出了模糊基函数的5种性质以及Mamdani模 I)每种方法所证明的Mamdani模糊系统都有 糊系统的一些基本特性.模糊基函数的5种性质为： 一定的限制条件（如推理机制、去模糊法、隶属函数 Structure Similarity;Compatibility;Complementar- 等) ity;Less Fuzzility;Composition of Fuzzy System; 2)没有给出模糊系统具有通用逼近性的内在本 Mamdani模糊系统的基本特性为：基本逼近特性； 质」 一致逼近特性；一致收敛特性；通用逼近特性 1.2下S模糊系统 王立新和曾小军的研究一方面为模糊系统的设 Mamdani模糊系统采用模糊集作为规则后件， 计指明了方向，另一方面也有其局限性.因为它们所 而TS模糊系统采用输入变量的线性或非线性函 证明的Mamdani模糊系统是“特定结构”的通用逼 数作为规则后件。 近器，即是采用乘法机制、中心去模糊、高斯隶属函 TS模糊系统的规则表示为 数或者具有紧支撑的隶属函数3的模糊系 Ry:IF xI is Af and x2 is A 统.分析至此，便可以提出2个问题： and…and xisA (3) 1)使用其他隶属函数、模糊逻辑、推理机制及去 乃=f1(x1,x2,x,j=1,2,,M 模糊法的Mamdani模糊系统是否具有通用逼近性？ 式中：x(i=1,2,为输入变量，A}为模糊子 2)使模糊系统成为通用逼近器的内在机制是什 集，M为规则总数，∫：()为线性或非线性函数.当 么？ f:()为输入变量的线性函数时，此系统为线性下 应浩5,61采用了将输入空间无限细分的方法， S模糊系统.而线性下S模糊系统在应浩3，)、曾 利用Weierstrass研究了特定Mamdani模糊系统 珂5.16]的证明方法中又分为简化线性TS模糊系 (包括中心去模糊和最大去模糊)是通用逼近器，揭 统和典型下S模糊系统的数学模型 示了函数逼近的内在机制，并推导出了这种模糊系 为了区分二者的不同点，必须首先给出简化线 统作为通用逼近器的充分条件.曾珂则使用了台 性下S模糊系统和典型下S模糊系统 劳展开法，利用拉格朗日余项证明了特定Mamdani 1.2.1简化线性TS模糊系统 模糊系统是通用逼近器 在TS模糊系统中，为了减少设计的参数，应 为了回答“基于其他类型隶属函数的模糊系统 浩采用了简化了的线性TS模糊系统 是否可以作为函数逼近器”这个问题，毛志宏81讨 对于SISO系统，系统表述如下： 论了采用模糊基函数的伸缩及平移作为隶属函数的 Rj:IF x is An, 情形，证明在隶属函数可积、积分非零且几乎处处连 THEN y k (ax +b),j 1,2...M.(4) 续的条件下，Mamdani模糊系统是通用逼近器 对于MISO系统，系统表述如下： 上面所提及的文献中，均用不同的方法证明了 Ry:IF xI is Af and x2 is A Mamdani模糊系统具有通用逼近性，然而模糊系统 and and xm is A 为何具有通用逼近性？模糊系统的本质何在？这一 THEN y kj(ao xo ax++anx, 关键性问题仍未得到很好的解决.李洪兴在文献 j=1,2,M. (5) 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net王立新[1 ] 用 Stone2Weierstrass 定理证明了采用乘 积推理、中心去模糊、高斯隶属函数的 Mamdani 模 糊系统能够以任意精度逼近紧致集上的任意连续实 函数. 但 由 于 证 明 过 程 使 用 了 复 杂 的 Stone2 Weirstrass 定理 ,这使得证明潜在的逼近机制并不 清晰 ,并且对于一般的模糊系统是否成立也没能给 出确切的答案. 因此 ,在文献[ 2 ]中 ,王立新又提出了 模糊基函数(FBF) 的概念. 模糊基函数最大的优点 是来自人类专家的模糊语言 IF2TH EN 规则直接与 模糊基函数相关. 既然模糊基函数在研究模糊系统的通用逼近性 方面起了重要的作用 ,那么 ,模糊基函数又有哪些特 点呢 ? 曾小军在文献[ 3 - 4 ]给出了较详细的分析 , 并得出了模糊基函数的 5 种性质以及 Mamdani 模 糊系统的一些基本特性. 模糊基函数的 5 种性质为 : Structure Similarity ;Compatibility ;Complementar2 ity ;Less Fuzzility ; Composition of Fuzzy System ; Mamdani 模糊系统的基本特性为 :基本逼近特性 ; 一致逼近特性 ;一致收敛特性 ;通用逼近特性. 王立新和曾小军的研究一方面为模糊系统的设 计指明了方向 ,另一方面也有其局限性. 因为它们所 证明的 Mamdani 模糊系统是“特定结构”的通用逼 近器 ,即是采用乘法机制、中心去模糊、高斯隶属函 数[1 - 2 ]或者具有紧支撑的隶属函数[ 3 - 4 ] 的模糊系 统. 分析至此 ,便可以提出 2 个问题 : 1) 使用其他隶属函数、模糊逻辑、推理机制及去 模糊法的 Mamdani 模糊系统是否具有通用逼近性 ? 2) 使模糊系统成为通用逼近器的内在机制是什 么 ? 应浩[5 - 6 ]采用了将输入空间无限细分的方法 , 利用 Weierstrass 研究了特定 Mamdani 模糊系统 (包括中心去模糊和最大去模糊) 是通用逼近器 ,揭 示了函数逼近的内在机制 ,并推导出了这种模糊系 统作为通用逼近器的充分条件. 曾珂[7 ] 则使用了台 劳展开法 ,利用拉格朗日余项证明了特定 Mamdani 模糊系统是通用逼近器. 为了回答“基于其他类型隶属函数的模糊系统 是否可以作为函数逼近器”这个问题 ,毛志宏[8 - 9 ] 讨 论了采用模糊基函数的伸缩及平移作为隶属函数的 情形 ,证明在隶属函数可积、积分非零且几乎处处连 续的条件下 ,Mamdani 模糊系统是通用逼近器. 上面所提及的文献中 ,均用不同的方法证明了 Mamdani 模糊系统具有通用逼近性 ,然而模糊系统 为何具有通用逼近性 ? 模糊系统的本质何在 ? 这一 关键性问题仍未得到很好的解决. 李洪兴在文献 [10 ]中指出 :模糊控制其本质上是插值器. 该结论是 按“真值流动”的思想提出的. 基于此 ,在文献[ 11 ] 中 ,提出了模糊系统的插值机理 ,对于模糊系统的函 数逼近性提出了新的方法. 受此启发 ,张恩勤[12 ] 研 究了基于三角形隶属函数的一类模糊系统的插值特 性 ,从模糊系统的结构分析上给出了一类模糊系统 与分段插值函数的等价性证明 ,并给出了相应的逼 近误差估计. 以上分析较为概括的阐述了目前证明 Mamda2 ni 模糊系统具有通用逼近性的方法. 可以看出 ,对 于 Mamdani 模糊系统作为通用逼近器的研究方法 很多 ,并且每种方法都各有其优点和局限性 ,而且越 来越完善. 可以把这些方法存在的主要问题概括为 : 1) 每种方法所证明的 Mamdani 模糊系统都有 一定的限制条件(如推理机制、去模糊法、隶属函数 等) . 2) 没有给出模糊系统具有通用逼近性的内在本 质. 1. 2 T2S 模糊系统 Mamdani 模糊系统采用模糊集作为规则后件 , 而 T2S 模糊系统采用输入变量的线性或非线性函 数作为规则后件. T2S 模糊系统的规则表示为 Rj :IF x1 is A j 1 and x2 is A j 2 and …and x n isA j n , (3) yj = f j ( x1 , x2 , …, x n ) , j = 1 ,2 , …, M. 式中 : xi ( i = 1 , 2 , …, n) 为输入变量 , A j i 为模糊子 集 , M 为规则总数 , f i ( ·) 为线性或非线性函数. 当 f i ( ·) 为输入变量的线性函数时 ,此系统为线性 T2 S 模糊系统. 而线性 T2S 模糊系统在应浩[13 - 14 ] 、曾 珂[15 - 16 ]的证明方法中又分为简化线性 T2S 模糊系 统和典型 T2S 模糊系统的数学模型. 为了区分二者的不同点 ,必须首先给出简化线 性 T2S 模糊系统和典型 T2S 模糊系统. 1. 2. 1 简化线性 T2S 模糊系统 在 T2S 模糊系统中 ,为了减少设计的参数 ,应 浩采用了简化了的线性 T2S 模糊系统. 对于 SISO 系统 ,系统表述如下 : Rj :IF x is A pj , T HEN y = kj ( ax + b) , j = 1 ,2 , …, M. (4) 对于 MISO 系统 ,系统表述如下 : Rj :IF x1 is A j 1 and x2 is A j 2 and …and x n is A j n , TH EN y = kj ( a0 x0 + a1 x1 + …+ an x n ) , j = 1 ,2 , …, M. (5) 第 1 期 刘福才 ,等 :模糊系统万能逼近理论研究综述 ·27 ·