·26 智能系统学报 第2卷 定了它是否能够对任意非线性动态对象跟踪任意连 模糊系统是一种万能逼近器 续的非线性时间函数，并实现所要求的闭环系统的 模糊系统的分类如图1所示，可把目前已经证 动态品质.可见对模糊系统通用逼近理论的研究，无 明能够作为通用逼近器或通用控制器的模糊模型分 论在理论上还是在实际应用上都有极为重要的意 为3类：l)Mamdani模糊系统，2)线性T-S模糊系 义 统，3)其他模糊系统.线性TS模糊系统还包括：简 关于模糊模型通用逼近性的研究近几年国内外 化线性T下S模糊系统和典型TS模糊系统.其他模 相关学者又有了许多新的研究成果28.35) 糊系统主要包括：模糊控制器递阶模糊系统和加型 文献[35]研究了递阶模糊系统的逼近特性；文 模糊系统.在下面论述中，将对这些模糊模型做出简 献[36]研究了递阶模糊关系模型的语言解释与万能 要的概述 逼近性 文献[37]建立了D.C.隶属函数模糊集对模糊 模糊模型 集的万能逼近性.探讨了D.C.隶属函数模糊集与 模糊数之间的关系，给出了用D.C.隶属函数模糊 Mamdani模糊系统 线性T-S模糊系统 其他模糊系统 集逼近模糊数的&Celina逼近形式：针对广义递阶 Mamdani模糊系统，文献[38]借助方形分片线性函 数构造性的证明了在最大模和积分模意义下该系统 线性 型 是泛逼近器；文献[39]提出一种广义模糊双曲正切 T 模型，并证明了此模型是TS模型的真子集，它具 有全局逼近性，文献[40]证明了具有任意形状隶属 5模糊天 模糊系统 模控制器 阶模 加型模系统 函数的递阶模糊系统对紧集上连续函数的逼近性 统 质，为使用递阶模糊系统进行辨识或控制以避免模 图1模糊系统分类 糊规则数目随系统变量个数呈指数增长提供了理论 Fig.I The classify for fuzzy systems 依据；文献[41]讨论了由“交”和“并”的方式聚合推 1.1 Mamdani模糊系统 理规则所生成的2类模糊系统的插值性问题，因为 Mamdani模糊系统的一般定义为 当模糊系统具有插值性时，它必具有泛逼近性，因 R':if x is A ,and x2 isA 此，由插值性可以分析模糊系统的逼近能力；文献 x is Ah,then yy B3,j 1,2.....M.(1) [42]总结了模糊系统作为通用逼近器在存在性、充 式中：x是输入变量，i=1,2,n,A}和B,是模糊 分性和必要性3个方面所作过的主要理论研究，并 子集，y是输出变量，M是输入模糊规则总数.通常 分析了这些理论成果在工程上的若干应用」 B,取为模糊单点，即b∈U,如果a,(6)=1,则 粗略的说，现在对模糊系统作为通用逼近性的 对任意：∈U,z,时，a,(=0,式中：U为B,的 研究主要分为2个方面： 论域.此时称由式(I)定义的Mamdani模糊系统为 1)定性研究，主要分析各类具有通用逼近性模 特定Mamdani模糊系统， 糊系统以及产生这种逼近特性的内在机制； 对此特定Mamdani模糊系统，设0≤x,.对 2)定量研究，主要确定各类模糊系统的逼近误 每一个输入变量x(i=1,2,定义m个模糊子 差上界并分析其逼近精度， 模糊系统逼近理论的研究主要包括模糊系统的 集，从而规则总数为M=%.式)所给出的第1 通用逼近性、通用逼近性的存在性、模糊系统作为通 条规则的激活度为凸=叫(x).容易求得，特定 用逼近器的充分条件和模糊系统作为通用逼近器的 Mamdani模糊系统的输出为 必要条件以及逼近精度5个方面，文中将就这几个 M 方面近年来的研究方法及研究成果加以综合分析. f(x Γy.2 1模糊系统的通用逼近性 4( 4(x 近年来关于模糊系统通用逼近性的研究比较 式中：x=(x1,2,XaT,并且令0曰」 多，众多学者针对各种不同的模糊系统，应用不同的 学者们分别使用不同的数学工具证明了这种特 方法分别研究了其函数逼近特性，指出这些特殊的 定Mamdani模糊系统具有通用逼近性，).首先， 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net定了它是否能够对任意非线性动态对象跟踪任意连 续的非线性时间函数 ,并实现所要求的闭环系统的 动态品质. 可见对模糊系统通用逼近理论的研究 ,无 论在理论上还是在实际应用上都有极为重要的意 义. 关于模糊模型通用逼近性的研究近几年国内外 相关学者又有了许多新的研究成果[28 - 35 ] . 文献[35 ]研究了递阶模糊系统的逼近特性 ;文 献[ 36 ]研究了递阶模糊关系模型的语言解释与万能 逼近性. 文献[37 ]建立了 D. C. 隶属函数模糊集对模糊 集的万能逼近性. 探讨了 D. C. 隶属函数模糊集与 模糊数之间的关系 ,给出了用 D. C. 隶属函数模糊 集逼近模糊数的ε2Ce1ina 逼近形式 ;针对广义递阶 Mamdani 模糊系统 ,文献[ 38 ]借助方形分片线性函 数构造性的证明了在最大模和积分模意义下该系统 是泛逼近器 ;文献[ 39 ]提出一种广义模糊双曲正切 模型 ,并证明了此模型是 T2S 模型的真子集 ,它具 有全局逼近性 ;文献[ 40 ]证明了具有任意形状隶属 函数的递阶模糊系统对紧集上连续函数的逼近性 质 ,为使用递阶模糊系统进行辨识或控制以避免模 糊规则数目随系统变量个数呈指数增长提供了理论 依据 ;文献[ 41 ]讨论了由“交”和“并”的方式聚合推 理规则所生成的 2 类模糊系统的插值性问题 ,因为 当模糊系统具有插值性时 ,它必具有泛逼近性 ,因 此 ,由插值性可以分析模糊系统的逼近能力 ;文献 [42 ]总结了模糊系统作为通用逼近器在存在性、充 分性和必要性 3 个方面所作过的主要理论研究 ,并 分析了这些理论成果在工程上的若干应用. 粗略的说 ,现在对模糊系统作为通用逼近性的 研究主要分为 2 个方面 : 1) 定性研究 ,主要分析各类具有通用逼近性模 糊系统以及产生这种逼近特性的内在机制 ; 2) 定量研究 ,主要确定各类模糊系统的逼近误 差上界并分析其逼近精度. 模糊系统逼近理论的研究主要包括模糊系统的 通用逼近性、通用逼近性的存在性、模糊系统作为通 用逼近器的充分条件和模糊系统作为通用逼近器的 必要条件以及逼近精度 5 个方面 ,文中将就这几个 方面近年来的研究方法及研究成果加以综合分析. 1 模糊系统的通用逼近性 近年来关于模糊系统通用逼近性的研究比较 多 ,众多学者针对各种不同的模糊系统 ,应用不同的 方法分别研究了其函数逼近特性 ,指出这些特殊的 模糊系统是一种万能逼近器. 模糊系统的分类如图 1 所示 ,可把目前已经证 明能够作为通用逼近器或通用控制器的模糊模型分 为 3 类 :1) Mamdani 模糊系统 ,2) 线性 T2S 模糊系 统 ,3) 其他模糊系统. 线性 T2S 模糊系统还包括 :简 化线性 T2S 模糊系统和典型 T2S 模糊系统. 其他模 糊系统主要包括 :模糊控制器、递阶模糊系统和加型 模糊系统. 在下面论述中 ,将对这些模糊模型做出简 要的概述. 图 1 模糊系统分类 Fig. 1 The classify for fuzzy systems 1. 1 Mamdani 模糊系统 Mamdani 模糊系统的一般定义为 R j :if x1 is A j 1 ,and x2 is A j 2 …, x n is A j n ,t hen yj = B j , j = 1 ,2 ……M. (1) 式中 : xi 是输入变量 , i = 1 , 2 , …n , A j i 和 B j 是模糊 子集 , y 是输出变量 , M 是输入模糊规则总数. 通常 B j 取为模糊单点 ,即 Πbj ∈U ,如果μB j ( bj ) = 1 ,则 对任意 z ∈U , z ≠bj 时 ,μB j ( z) = 0 ,式中 :U 为 B j 的 论域. 此时称由式 (1) 定义的 Mamdani 模糊系统为 特定 Mamdani 模糊系统. 对此特定 Mamdani 模糊系统 ,设 0 ≤xi ≤1. 对 每一个输入变量 xi ( i = 1 , 2 , …n) 定义 nj 个模糊子 集 ,从而规则总数为 M = ∏ n j = 1 nj . 式 (1) 所给出的第 i 条规则的激活度为μj = ∏ n i = 1 μA j i ( xi) . 容易求得 ,特定 Mamdani 模糊系统的输出为 f ( x) = ∑ M j =1 (μj ( X) y j) ∑ M j = 1 μj ( x) = ∑ M j =1 μj ( x) ∑ M j =1 μj ( x) yj . (2) 式中 : x = ( x1 , x2 , …, x n ) T ,并且令 x0 ≡1. 学者们分别使用不同的数学工具证明了这种特 定 Mamdani 模糊系统具有通用逼近性[1 - 12 ] . 首先 , ·26 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷