第2卷第1期 智能系统学报 Vol.2 Ng 1 2007年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Fcb.2007 模糊系统万能逼近理论研究综述 刘福才12陈超邵慧1，裴润 (1.燕山大学电气工程学院河北秦皇岛066004：2.哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨150001) 摘要：模糊系统通用逼近理论是模糊理论研究的一个重要方向.目前，对模糊系统通用逼近性的研究己经取得了 很大的进展.对模糊系统的通用逼近性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件和必要条件以及模糊系统的逼近精度 等方面的研究进行了较为详尽的综述，分析了各种分析方法的主要成果及其特点（包括优点和局限性），并指出了今 后模糊系统通用逼近理论研究中有待解决的许多问题. 关键词：模糊系统的通用逼近性；充分条件；必要条件；逼近精度 中图分类号：TP15文献标识码：A文章编号：1673-4785(2007)01-002510 Researches for universal a pproximation of fuzzy systems:a survey LIU Fucai'2,CHEN Chao',SHAO Hui',PEI Run2 (1.Department of Automation Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China;2.School of Astronautics, Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China) Abstract:The universal approximation of fuzzy systems is an important direction of fuzzy theory.At pres- ent,a lot of progress has been made in the research for the universal approximation of fuzzy systems.In this paper,a survey of the universal approximation of fuzzy systems,the sufficient and necessary condition for fuzzy systems as universal approximators,and approximation accuracy of fuzzy systems etc is made in details.The achievement and properties(including advantages and disadvantages)of each method are also analyzed,and then the problems of the universal approximation of fuzzy systems in future researches are pointed out further. Key words:universal approximation of fuzzy systems;sufficient conditions;necessary conditions;approxi- mation accuracy 自从20世纪60年代后期，由L.A.Zedeh所创 为函数逼近器的充分条件67,28.30是指对于任意 立模糊理论以来，模糊理论在许多领域得到了成功 给定的连续函数，每个输入变量要取多少个模糊子 的应用在许多应用中，主要的设计目标是根据给定 集才能够保证所需要的逼近精度.而模糊系统作为 的逼近精度建立一个模糊系统，逼近一个预定的模 通用逼近器的必要条件31，]可以用来确定所选择 型或控制过程刀，这就是所谓的逼近问题81).在 模糊系统的组成元素，包括模糊系统的输入模糊子 实际应用中，当设计一个模糊系统时，了解模糊系统 集、输出模糊子集和模糊规则，以及这些组成元素的 逼近预定的控制或决策的逼近机制是很重要 限制条件等.而逼近精度5.刀用来确定模糊系统的 的18.2).因此，模糊系统的通用逼近性研究成为20 误差上界，从而确定一个模糊系统的好坏程度 世纪90年代以来模糊理论研究的重要方向，同时也 模糊系统的理论研究和实际应用都是建立在模 是模糊理论的一个重要支柱23.刃.所谓模糊系统的 糊系统通用逼近性的基础之上的.这是因为从数学 通用逼近性是指模糊系统能否以任意精度逼近紧致 的角度来看，模糊系统是从输入论域到输出论域的 集（封闭，有界）上的任意连续函数；所谓模糊系统作 一个函数映射.当模糊系统用作系统建模和辨识时， 通用逼近性决定了它是否能够逼近任意连续的非线 收稿日期：200607-28. 基金项目：燕山大学博士基金资助项目(B111) 性动态模型，当模糊系统用作控制时，通用逼近性决 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net第 2 卷第 1 期 智 能 系 统 学 报 Vol. 2 №. 1 2007 年 2 月 CAA I Transactions on Intelligent Systems Feb. 2007 模糊系统万能逼近理论研究综述 刘福才1 ,2 ,陈 超1 ,邵 慧1 ,裴 润2 (1. 燕山大学 电气工程学院 ,河北 秦皇岛 066004 ;2. 哈尔滨工业大学 航天学院 ,黑龙江 哈尔滨 150001) 摘 要 :模糊系统通用逼近理论是模糊理论研究的一个重要方向. 目前 ,对模糊系统通用逼近性的研究已经取得了 很大的进展. 对模糊系统的通用逼近性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件和必要条件以及模糊系统的逼近精度 等方面的研究进行了较为详尽的综述 ,分析了各种分析方法的主要成果及其特点(包括优点和局限性) ,并指出了今 后模糊系统通用逼近理论研究中有待解决的许多问题. 关键词 :模糊系统的通用逼近性 ;充分条件 ;必要条件 ;逼近精度 中图分类号 : TP15 文献标识码 :A 文章编号 :167324785 (2007) 0120025210 Researches for universal approximation of fuzzy systems : a survey L IU Fu2cai 1 ,2 ,CH EN Chao 1 ,SHAO Hui 1 ,PEI Run 2 (1. Department of Automation Engineering , Yanshan University , Qinhuangdao 066004 , China ; 2. School of Astronautics , Harbin Institute of Technology , Harbin 150001 , China) Abstract :The universal approximation of f uzzy systems is an important direction of f uzzy theory. At pres2 ent , a lot of progress has been made in t he research for t he universal approximation of f uzzy systems. In t his paper , a survey of the universal approximation of f uzzy systems , the sufficient and necessary condition for f uzzy systems as universal app roximators , and approximation accuracy of f uzzy systems etc is made in details. The achievement and properties (including advantages and disadvantages) of each met hod are also analyzed , and then the problems of t he universal app roximation of f uzzy systems in f ut ure researches are pointed out f urt her. Keywords :universal approximation of f uzzy systems; sufficient conditions; necessary conditions; approxi2 mation accuracy 收稿日期 :2006207228. 基金项目 :燕山大学博士基金资助项目(B111) . 自从 20 世纪 60 年代后期 ,由 L. A. Zedeh 所创 立模糊理论以来 ,模糊理论在许多领域得到了成功 的应用. 在许多应用中 ,主要的设计目标是根据给定 的逼近精度建立一个模糊系统 ,逼近一个预定的模 型或控制过程[1 - 7 ] ,这就是所谓的逼近问题[8 - 17 ] . 在 实际应用中 ,当设计一个模糊系统时 ,了解模糊系统 逼近 预 定 的 控 制 或 决 策 的 逼 近 机 制 是 很 重 要 的[18 - 22 ] . 因此 ,模糊系统的通用逼近性研究成为 20 世纪 90 年代以来模糊理论研究的重要方向 ,同时也 是模糊理论的一个重要支柱[ 23 - 27 ] . 所谓模糊系统的 通用逼近性是指模糊系统能否以任意精度逼近紧致 集(封闭 ,有界) 上的任意连续函数 ;所谓模糊系统作 为函数逼近器的充分条件[16 - 17 ,28 - 30 ] 是指对于任意 给定的连续函数 ,每个输入变量要取多少个模糊子 集才能够保证所需要的逼近精度. 而模糊系统作为 通用逼近器的必要条件[ 31 - 34 ] 可以用来确定所选择 模糊系统的组成元素 ,包括模糊系统的输入模糊子 集、输出模糊子集和模糊规则 ,以及这些组成元素的 限制条件等. 而逼近精度[ 35 - 37 ]用来确定模糊系统的 误差上界 ,从而确定一个模糊系统的好坏程度. 模糊系统的理论研究和实际应用都是建立在模 糊系统通用逼近性的基础之上的. 这是因为从数学 的角度来看 ,模糊系统是从输入论域到输出论域的 一个函数映射. 当模糊系统用作系统建模和辨识时 , 通用逼近性决定了它是否能够逼近任意连续的非线 性动态模型 ;当模糊系统用作控制时 ,通用逼近性决