第2卷第1期 智能系统学报 Vol.2 Ng 1 2007年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Fcb.2007 模糊系统万能逼近理论研究综述 刘福才12陈超邵慧1，裴润 (1.燕山大学电气工程学院河北秦皇岛066004：2.哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨150001) 摘要：模糊系统通用逼近理论是模糊理论研究的一个重要方向.目前，对模糊系统通用逼近性的研究己经取得了 很大的进展.对模糊系统的通用逼近性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件和必要条件以及模糊系统的逼近精度 等方面的研究进行了较为详尽的综述，分析了各种分析方法的主要成果及其特点（包括优点和局限性），并指出了今 后模糊系统通用逼近理论研究中有待解决的许多问题. 关键词：模糊系统的通用逼近性；充分条件；必要条件；逼近精度 中图分类号：TP15文献标识码：A文章编号：1673-4785(2007)01-002510 Researches for universal a pproximation of fuzzy systems:a survey LIU Fucai'2,CHEN Chao',SHAO Hui',PEI Run2 (1.Department of Automation Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China;2.School of Astronautics, Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China) Abstract:The universal approximation of fuzzy systems is an important direction of fuzzy theory.At pres- ent,a lot of progress has been made in the research for the universal approximation of fuzzy systems.In this paper,a survey of the universal approximation of fuzzy systems,the sufficient and necessary condition for fuzzy systems as universal approximators,and approximation accuracy of fuzzy systems etc is made in details.The achievement and properties(including advantages and disadvantages)of each method are also analyzed,and then the problems of the universal approximation of fuzzy systems in future researches are pointed out further. Key words:universal approximation of fuzzy systems;sufficient conditions;necessary conditions;approxi- mation accuracy 自从20世纪60年代后期，由L.A.Zedeh所创 为函数逼近器的充分条件67,28.30是指对于任意 立模糊理论以来，模糊理论在许多领域得到了成功 给定的连续函数，每个输入变量要取多少个模糊子 的应用在许多应用中，主要的设计目标是根据给定 集才能够保证所需要的逼近精度.而模糊系统作为 的逼近精度建立一个模糊系统，逼近一个预定的模 通用逼近器的必要条件31，]可以用来确定所选择 型或控制过程刀，这就是所谓的逼近问题81).在 模糊系统的组成元素，包括模糊系统的输入模糊子 实际应用中，当设计一个模糊系统时，了解模糊系统 集、输出模糊子集和模糊规则，以及这些组成元素的 逼近预定的控制或决策的逼近机制是很重要 限制条件等.而逼近精度5.刀用来确定模糊系统的 的18.2).因此，模糊系统的通用逼近性研究成为20 误差上界，从而确定一个模糊系统的好坏程度 世纪90年代以来模糊理论研究的重要方向，同时也 模糊系统的理论研究和实际应用都是建立在模 是模糊理论的一个重要支柱23.刃.所谓模糊系统的 糊系统通用逼近性的基础之上的.这是因为从数学 通用逼近性是指模糊系统能否以任意精度逼近紧致 的角度来看，模糊系统是从输入论域到输出论域的 集（封闭，有界）上的任意连续函数；所谓模糊系统作 一个函数映射.当模糊系统用作系统建模和辨识时， 通用逼近性决定了它是否能够逼近任意连续的非线 收稿日期：200607-28. 基金项目：燕山大学博士基金资助项目(B111) 性动态模型，当模糊系统用作控制时，通用逼近性决 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 2 卷第 1 期 智 能 系 统 学 报 Vol. 2 №. 1 2007 年 2 月 CAA I Transactions on Intelligent Systems Feb. 2007 模糊系统万能逼近理论研究综述 刘福才1 ,2 ,陈 超1 ,邵 慧1 ,裴 润2 (1. 燕山大学 电气工程学院 ,河北 秦皇岛 066004 ;2. 哈尔滨工业大学 航天学院 ,黑龙江 哈尔滨 150001) 摘 要 :模糊系统通用逼近理论是模糊理论研究的一个重要方向. 目前 ,对模糊系统通用逼近性的研究已经取得了 很大的进展. 对模糊系统的通用逼近性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件和必要条件以及模糊系统的逼近精度 等方面的研究进行了较为详尽的综述 ,分析了各种分析方法的主要成果及其特点(包括优点和局限性) ,并指出了今 后模糊系统通用逼近理论研究中有待解决的许多问题. 关键词 :模糊系统的通用逼近性 ;充分条件 ;必要条件 ;逼近精度 中图分类号 : TP15 文献标识码 :A 文章编号 :167324785 (2007) 0120025210 Researches for universal approximation of fuzzy systems : a survey L IU Fu2cai 1 ,2 ,CH EN Chao 1 ,SHAO Hui 1 ,PEI Run 2 (1. Department of Automation Engineering , Yanshan University , Qinhuangdao 066004 , China ; 2. School of Astronautics , Harbin Institute of Technology , Harbin 150001 , China) Abstract :The universal approximation of f uzzy systems is an important direction of f uzzy theory. At pres2 ent , a lot of progress has been made in t he research for t he universal approximation of f uzzy systems. In t his paper , a survey of the universal approximation of f uzzy systems , the sufficient and necessary condition for f uzzy systems as universal app roximators , and approximation accuracy of f uzzy systems etc is made in details. The achievement and properties (including advantages and disadvantages) of each met hod are also analyzed , and then the problems of t he universal app roximation of f uzzy systems in f ut ure researches are pointed out f urt her. Keywords :universal approximation of f uzzy systems; sufficient conditions; necessary conditions; approxi2 mation accuracy 收稿日期 :2006207228. 基金项目 :燕山大学博士基金资助项目(B111) . 自从 20 世纪 60 年代后期 ,由 L. A. Zedeh 所创 立模糊理论以来 ,模糊理论在许多领域得到了成功 的应用. 在许多应用中 ,主要的设计目标是根据给定 的逼近精度建立一个模糊系统 ,逼近一个预定的模 型或控制过程[1 - 7 ] ,这就是所谓的逼近问题[8 - 17 ] . 在 实际应用中 ,当设计一个模糊系统时 ,了解模糊系统 逼近 预 定 的 控 制 或 决 策 的 逼 近 机 制 是 很 重 要 的[18 - 22 ] . 因此 ,模糊系统的通用逼近性研究成为 20 世纪 90 年代以来模糊理论研究的重要方向 ,同时也 是模糊理论的一个重要支柱[ 23 - 27 ] . 所谓模糊系统的 通用逼近性是指模糊系统能否以任意精度逼近紧致 集(封闭 ,有界) 上的任意连续函数 ;所谓模糊系统作 为函数逼近器的充分条件[16 - 17 ,28 - 30 ] 是指对于任意 给定的连续函数 ,每个输入变量要取多少个模糊子 集才能够保证所需要的逼近精度. 而模糊系统作为 通用逼近器的必要条件[ 31 - 34 ] 可以用来确定所选择 模糊系统的组成元素 ,包括模糊系统的输入模糊子 集、输出模糊子集和模糊规则 ,以及这些组成元素的 限制条件等. 而逼近精度[ 35 - 37 ]用来确定模糊系统的 误差上界 ,从而确定一个模糊系统的好坏程度. 模糊系统的理论研究和实际应用都是建立在模 糊系统通用逼近性的基础之上的. 这是因为从数学 的角度来看 ,模糊系统是从输入论域到输出论域的 一个函数映射. 当模糊系统用作系统建模和辨识时 , 通用逼近性决定了它是否能够逼近任意连续的非线 性动态模型 ;当模糊系统用作控制时 ,通用逼近性决
·26 智能系统学报 第2卷 定了它是否能够对任意非线性动态对象跟踪任意连 模糊系统是一种万能逼近器 续的非线性时间函数，并实现所要求的闭环系统的 模糊系统的分类如图1所示，可把目前已经证 动态品质.可见对模糊系统通用逼近理论的研究，无 明能够作为通用逼近器或通用控制器的模糊模型分 论在理论上还是在实际应用上都有极为重要的意 为3类：l)Mamdani模糊系统，2)线性T-S模糊系 义 统，3)其他模糊系统.线性TS模糊系统还包括：简 关于模糊模型通用逼近性的研究近几年国内外 化线性T下S模糊系统和典型TS模糊系统.其他模 相关学者又有了许多新的研究成果28.35) 糊系统主要包括：模糊控制器递阶模糊系统和加型 文献[35]研究了递阶模糊系统的逼近特性；文 模糊系统.在下面论述中，将对这些模糊模型做出简 献[36]研究了递阶模糊关系模型的语言解释与万能 要的概述 逼近性 文献[37]建立了D.C.隶属函数模糊集对模糊 模糊模型 集的万能逼近性.探讨了D.C.隶属函数模糊集与 模糊数之间的关系，给出了用D.C.隶属函数模糊 Mamdani模糊系统 线性T-S模糊系统 其他模糊系统 集逼近模糊数的&Celina逼近形式：针对广义递阶 Mamdani模糊系统，文献[38]借助方形分片线性函 数构造性的证明了在最大模和积分模意义下该系统 线性 型 是泛逼近器；文献[39]提出一种广义模糊双曲正切 T 模型，并证明了此模型是TS模型的真子集，它具 有全局逼近性，文献[40]证明了具有任意形状隶属 5模糊天 模糊系统 模控制器 阶模 加型模系统 函数的递阶模糊系统对紧集上连续函数的逼近性 统 质，为使用递阶模糊系统进行辨识或控制以避免模 图1模糊系统分类 糊规则数目随系统变量个数呈指数增长提供了理论 Fig.I The classify for fuzzy systems 依据；文献[41]讨论了由“交”和“并”的方式聚合推 1.1 Mamdani模糊系统 理规则所生成的2类模糊系统的插值性问题，因为 Mamdani模糊系统的一般定义为 当模糊系统具有插值性时，它必具有泛逼近性，因 R':if x is A ,and x2 isA 此，由插值性可以分析模糊系统的逼近能力；文献 x is Ah,then yy B3,j 1,2.....M.(1) [42]总结了模糊系统作为通用逼近器在存在性、充 式中：x是输入变量，i=1,2,n,A}和B,是模糊 分性和必要性3个方面所作过的主要理论研究，并 子集，y是输出变量，M是输入模糊规则总数.通常 分析了这些理论成果在工程上的若干应用」 B,取为模糊单点，即b∈U,如果a,(6)=1,则 粗略的说，现在对模糊系统作为通用逼近性的 对任意：∈U,z,时，a,(=0,式中：U为B,的 研究主要分为2个方面： 论域.此时称由式(I)定义的Mamdani模糊系统为 1)定性研究，主要分析各类具有通用逼近性模 特定Mamdani模糊系统， 糊系统以及产生这种逼近特性的内在机制； 对此特定Mamdani模糊系统，设0≤x,.对 2)定量研究，主要确定各类模糊系统的逼近误 每一个输入变量x(i=1,2,定义m个模糊子 差上界并分析其逼近精度， 模糊系统逼近理论的研究主要包括模糊系统的 集，从而规则总数为M=%.式)所给出的第1 通用逼近性、通用逼近性的存在性、模糊系统作为通 条规则的激活度为凸=叫(x).容易求得，特定 用逼近器的充分条件和模糊系统作为通用逼近器的 Mamdani模糊系统的输出为 必要条件以及逼近精度5个方面，文中将就这几个 M 方面近年来的研究方法及研究成果加以综合分析. f(x Γy.2 1模糊系统的通用逼近性 4( 4(x 近年来关于模糊系统通用逼近性的研究比较 式中：x=(x1,2,XaT,并且令0曰」 多，众多学者针对各种不同的模糊系统，应用不同的 学者们分别使用不同的数学工具证明了这种特 方法分别研究了其函数逼近特性，指出这些特殊的 定Mamdani模糊系统具有通用逼近性，).首先， 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
定了它是否能够对任意非线性动态对象跟踪任意连 续的非线性时间函数 ,并实现所要求的闭环系统的 动态品质. 可见对模糊系统通用逼近理论的研究 ,无 论在理论上还是在实际应用上都有极为重要的意 义. 关于模糊模型通用逼近性的研究近几年国内外 相关学者又有了许多新的研究成果[28 - 35 ] . 文献[35 ]研究了递阶模糊系统的逼近特性 ;文 献[ 36 ]研究了递阶模糊关系模型的语言解释与万能 逼近性. 文献[37 ]建立了 D. C. 隶属函数模糊集对模糊 集的万能逼近性. 探讨了 D. C. 隶属函数模糊集与 模糊数之间的关系 ,给出了用 D. C. 隶属函数模糊 集逼近模糊数的ε2Ce1ina 逼近形式 ;针对广义递阶 Mamdani 模糊系统 ,文献[ 38 ]借助方形分片线性函 数构造性的证明了在最大模和积分模意义下该系统 是泛逼近器 ;文献[ 39 ]提出一种广义模糊双曲正切 模型 ,并证明了此模型是 T2S 模型的真子集 ,它具 有全局逼近性 ;文献[ 40 ]证明了具有任意形状隶属 函数的递阶模糊系统对紧集上连续函数的逼近性 质 ,为使用递阶模糊系统进行辨识或控制以避免模 糊规则数目随系统变量个数呈指数增长提供了理论 依据 ;文献[ 41 ]讨论了由“交”和“并”的方式聚合推 理规则所生成的 2 类模糊系统的插值性问题 ,因为 当模糊系统具有插值性时 ,它必具有泛逼近性 ,因 此 ,由插值性可以分析模糊系统的逼近能力 ;文献 [42 ]总结了模糊系统作为通用逼近器在存在性、充 分性和必要性 3 个方面所作过的主要理论研究 ,并 分析了这些理论成果在工程上的若干应用. 粗略的说 ,现在对模糊系统作为通用逼近性的 研究主要分为 2 个方面 : 1) 定性研究 ,主要分析各类具有通用逼近性模 糊系统以及产生这种逼近特性的内在机制 ; 2) 定量研究 ,主要确定各类模糊系统的逼近误 差上界并分析其逼近精度. 模糊系统逼近理论的研究主要包括模糊系统的 通用逼近性、通用逼近性的存在性、模糊系统作为通 用逼近器的充分条件和模糊系统作为通用逼近器的 必要条件以及逼近精度 5 个方面 ,文中将就这几个 方面近年来的研究方法及研究成果加以综合分析. 1 模糊系统的通用逼近性 近年来关于模糊系统通用逼近性的研究比较 多 ,众多学者针对各种不同的模糊系统 ,应用不同的 方法分别研究了其函数逼近特性 ,指出这些特殊的 模糊系统是一种万能逼近器. 模糊系统的分类如图 1 所示 ,可把目前已经证 明能够作为通用逼近器或通用控制器的模糊模型分 为 3 类 :1) Mamdani 模糊系统 ,2) 线性 T2S 模糊系 统 ,3) 其他模糊系统. 线性 T2S 模糊系统还包括 :简 化线性 T2S 模糊系统和典型 T2S 模糊系统. 其他模 糊系统主要包括 :模糊控制器、递阶模糊系统和加型 模糊系统. 在下面论述中 ,将对这些模糊模型做出简 要的概述. 图 1 模糊系统分类 Fig. 1 The classify for fuzzy systems 1. 1 Mamdani 模糊系统 Mamdani 模糊系统的一般定义为 R j :if x1 is A j 1 ,and x2 is A j 2 …, x n is A j n ,t hen yj = B j , j = 1 ,2 ……M. (1) 式中 : xi 是输入变量 , i = 1 , 2 , …n , A j i 和 B j 是模糊 子集 , y 是输出变量 , M 是输入模糊规则总数. 通常 B j 取为模糊单点 ,即 Πbj ∈U ,如果μB j ( bj ) = 1 ,则 对任意 z ∈U , z ≠bj 时 ,μB j ( z) = 0 ,式中 :U 为 B j 的 论域. 此时称由式 (1) 定义的 Mamdani 模糊系统为 特定 Mamdani 模糊系统. 对此特定 Mamdani 模糊系统 ,设 0 ≤xi ≤1. 对 每一个输入变量 xi ( i = 1 , 2 , …n) 定义 nj 个模糊子 集 ,从而规则总数为 M = ∏ n j = 1 nj . 式 (1) 所给出的第 i 条规则的激活度为μj = ∏ n i = 1 μA j i ( xi) . 容易求得 ,特定 Mamdani 模糊系统的输出为 f ( x) = ∑ M j =1 (μj ( X) y j) ∑ M j = 1 μj ( x) = ∑ M j =1 μj ( x) ∑ M j =1 μj ( x) yj . (2) 式中 : x = ( x1 , x2 , …, x n ) T ,并且令 x0 ≡1. 学者们分别使用不同的数学工具证明了这种特 定 Mamdani 模糊系统具有通用逼近性[1 - 12 ] . 首先 , ·26 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第1期 刘福才，等：模糊系统万能逼近理论研究综述 ·27· 王立新川用Stone-Weierstrass定理证明了采用乘 【10]中指出：模糊控制其本质上是插值器.该结论是 积推理、中心去模糊、高斯隶属函数的Mamdani模 按“真值流动”的思想提出的.基于此，在文献[11] 糊系统能够以任意精度逼近紧致集上的任意连续实 中，提出了模糊系统的插值机理，对于模糊系统的函 函数.但由于证明过程使用了复杂的Stone 数逼近性提出了新的方法.受此启发，张恩勤)研 Weirstrass定理，这使得证明潜在的逼近机制并不 究了基于三角形隶属函数的一类模糊系统的插值特 清晰，并且对于一般的模糊系统是否成立也没能给 性，从模糊系统的结构分析上给出了一类模糊系统 出确切的答案.因此，在文献[2]中，王立新又提出了 与分段插值函数的等价性证明，并给出了相应的逼 模糊基函数(FBF)的概念.模糊基函数最大的优点 近误差估计. 是来自人类专家的模糊语言IF-THEN规则直接与 以上分析较为概括的阐述了目前证明Mamda- 模糊基函数相关。 模糊系统具有通用逼近性的方法.可以看出，对 既然模糊基函数在研究模糊系统的通用逼近性 于Mamdani模糊系统作为通用逼近器的研究方法 方面起了重要的作用，那么，模糊基函数又有哪些特 很多，并且每种方法都各有其优点和局限性，而且越 点呢？曾小军在文献[3-4]给出了较详细的分析， 来越完善.可以把这些方法存在的主要问题概括为： 并得出了模糊基函数的5种性质以及Mamdani模 I)每种方法所证明的Mamdani模糊系统都有 糊系统的一些基本特性.模糊基函数的5种性质为： 一定的限制条件（如推理机制、去模糊法、隶属函数 Structure Similarity;Compatibility;Complementar- 等) ity;Less Fuzzility;Composition of Fuzzy System; 2)没有给出模糊系统具有通用逼近性的内在本 Mamdani模糊系统的基本特性为：基本逼近特性； 质」 一致逼近特性；一致收敛特性；通用逼近特性 1.2下S模糊系统 王立新和曾小军的研究一方面为模糊系统的设 Mamdani模糊系统采用模糊集作为规则后件， 计指明了方向，另一方面也有其局限性.因为它们所 而TS模糊系统采用输入变量的线性或非线性函 证明的Mamdani模糊系统是“特定结构”的通用逼 数作为规则后件。 近器，即是采用乘法机制、中心去模糊、高斯隶属函 TS模糊系统的规则表示为 数或者具有紧支撑的隶属函数3的模糊系 Ry:IF xI is Af and x2 is A 统.分析至此，便可以提出2个问题： and…and xisA (3) 1)使用其他隶属函数、模糊逻辑、推理机制及去 乃=f1(x1,x2,x,j=1,2,,M 模糊法的Mamdani模糊系统是否具有通用逼近性？ 式中：x(i=1,2,为输入变量，A}为模糊子 2)使模糊系统成为通用逼近器的内在机制是什 集，M为规则总数，∫：()为线性或非线性函数.当 么？ f:()为输入变量的线性函数时，此系统为线性下 应浩5,61采用了将输入空间无限细分的方法， S模糊系统.而线性下S模糊系统在应浩3，)、曾 利用Weierstrass研究了特定Mamdani模糊系统 珂5.16]的证明方法中又分为简化线性TS模糊系 (包括中心去模糊和最大去模糊)是通用逼近器，揭 统和典型下S模糊系统的数学模型 示了函数逼近的内在机制，并推导出了这种模糊系 为了区分二者的不同点，必须首先给出简化线 统作为通用逼近器的充分条件.曾珂则使用了台 性下S模糊系统和典型下S模糊系统 劳展开法，利用拉格朗日余项证明了特定Mamdani 1.2.1简化线性TS模糊系统 模糊系统是通用逼近器 在TS模糊系统中，为了减少设计的参数，应 为了回答“基于其他类型隶属函数的模糊系统 浩采用了简化了的线性TS模糊系统 是否可以作为函数逼近器”这个问题，毛志宏81讨 对于SISO系统，系统表述如下： 论了采用模糊基函数的伸缩及平移作为隶属函数的 Rj:IF x is An, 情形，证明在隶属函数可积、积分非零且几乎处处连 THEN y k (ax +b),j 1,2...M.(4) 续的条件下，Mamdani模糊系统是通用逼近器 对于MISO系统，系统表述如下： 上面所提及的文献中，均用不同的方法证明了 Ry:IF xI is Af and x2 is A Mamdani模糊系统具有通用逼近性，然而模糊系统 and and xm is A 为何具有通用逼近性？模糊系统的本质何在？这一 THEN y kj(ao xo ax++anx, 关键性问题仍未得到很好的解决.李洪兴在文献 j=1,2,M. (5) 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
王立新[1 ] 用 Stone2Weierstrass 定理证明了采用乘 积推理、中心去模糊、高斯隶属函数的 Mamdani 模 糊系统能够以任意精度逼近紧致集上的任意连续实 函数. 但 由 于 证 明 过 程 使 用 了 复 杂 的 Stone2 Weirstrass 定理 ,这使得证明潜在的逼近机制并不 清晰 ,并且对于一般的模糊系统是否成立也没能给 出确切的答案. 因此 ,在文献[ 2 ]中 ,王立新又提出了 模糊基函数(FBF) 的概念. 模糊基函数最大的优点 是来自人类专家的模糊语言 IF2TH EN 规则直接与 模糊基函数相关. 既然模糊基函数在研究模糊系统的通用逼近性 方面起了重要的作用 ,那么 ,模糊基函数又有哪些特 点呢 ? 曾小军在文献[ 3 - 4 ]给出了较详细的分析 , 并得出了模糊基函数的 5 种性质以及 Mamdani 模 糊系统的一些基本特性. 模糊基函数的 5 种性质为 : Structure Similarity ;Compatibility ;Complementar2 ity ;Less Fuzzility ; Composition of Fuzzy System ; Mamdani 模糊系统的基本特性为 :基本逼近特性 ; 一致逼近特性 ;一致收敛特性 ;通用逼近特性. 王立新和曾小军的研究一方面为模糊系统的设 计指明了方向 ,另一方面也有其局限性. 因为它们所 证明的 Mamdani 模糊系统是“特定结构”的通用逼 近器 ,即是采用乘法机制、中心去模糊、高斯隶属函 数[1 - 2 ]或者具有紧支撑的隶属函数[ 3 - 4 ] 的模糊系 统. 分析至此 ,便可以提出 2 个问题 : 1) 使用其他隶属函数、模糊逻辑、推理机制及去 模糊法的 Mamdani 模糊系统是否具有通用逼近性 ? 2) 使模糊系统成为通用逼近器的内在机制是什 么 ? 应浩[5 - 6 ]采用了将输入空间无限细分的方法 , 利用 Weierstrass 研究了特定 Mamdani 模糊系统 (包括中心去模糊和最大去模糊) 是通用逼近器 ,揭 示了函数逼近的内在机制 ,并推导出了这种模糊系 统作为通用逼近器的充分条件. 曾珂[7 ] 则使用了台 劳展开法 ,利用拉格朗日余项证明了特定 Mamdani 模糊系统是通用逼近器. 为了回答“基于其他类型隶属函数的模糊系统 是否可以作为函数逼近器”这个问题 ,毛志宏[8 - 9 ] 讨 论了采用模糊基函数的伸缩及平移作为隶属函数的 情形 ,证明在隶属函数可积、积分非零且几乎处处连 续的条件下 ,Mamdani 模糊系统是通用逼近器. 上面所提及的文献中 ,均用不同的方法证明了 Mamdani 模糊系统具有通用逼近性 ,然而模糊系统 为何具有通用逼近性 ? 模糊系统的本质何在 ? 这一 关键性问题仍未得到很好的解决. 李洪兴在文献 [10 ]中指出 :模糊控制其本质上是插值器. 该结论是 按“真值流动”的思想提出的. 基于此 ,在文献[ 11 ] 中 ,提出了模糊系统的插值机理 ,对于模糊系统的函 数逼近性提出了新的方法. 受此启发 ,张恩勤[12 ] 研 究了基于三角形隶属函数的一类模糊系统的插值特 性 ,从模糊系统的结构分析上给出了一类模糊系统 与分段插值函数的等价性证明 ,并给出了相应的逼 近误差估计. 以上分析较为概括的阐述了目前证明 Mamda2 ni 模糊系统具有通用逼近性的方法. 可以看出 ,对 于 Mamdani 模糊系统作为通用逼近器的研究方法 很多 ,并且每种方法都各有其优点和局限性 ,而且越 来越完善. 可以把这些方法存在的主要问题概括为 : 1) 每种方法所证明的 Mamdani 模糊系统都有 一定的限制条件(如推理机制、去模糊法、隶属函数 等) . 2) 没有给出模糊系统具有通用逼近性的内在本 质. 1. 2 T2S 模糊系统 Mamdani 模糊系统采用模糊集作为规则后件 , 而 T2S 模糊系统采用输入变量的线性或非线性函 数作为规则后件. T2S 模糊系统的规则表示为 Rj :IF x1 is A j 1 and x2 is A j 2 and …and x n isA j n , (3) yj = f j ( x1 , x2 , …, x n ) , j = 1 ,2 , …, M. 式中 : xi ( i = 1 , 2 , …, n) 为输入变量 , A j i 为模糊子 集 , M 为规则总数 , f i ( ·) 为线性或非线性函数. 当 f i ( ·) 为输入变量的线性函数时 ,此系统为线性 T2 S 模糊系统. 而线性 T2S 模糊系统在应浩[13 - 14 ] 、曾 珂[15 - 16 ]的证明方法中又分为简化线性 T2S 模糊系 统和典型 T2S 模糊系统的数学模型. 为了区分二者的不同点 ,必须首先给出简化线 性 T2S 模糊系统和典型 T2S 模糊系统. 1. 2. 1 简化线性 T2S 模糊系统 在 T2S 模糊系统中 ,为了减少设计的参数 ,应 浩采用了简化了的线性 T2S 模糊系统. 对于 SISO 系统 ,系统表述如下 : Rj :IF x is A pj , T HEN y = kj ( ax + b) , j = 1 ,2 , …, M. (4) 对于 MISO 系统 ,系统表述如下 : Rj :IF x1 is A j 1 and x2 is A j 2 and …and x n is A j n , TH EN y = kj ( a0 x0 + a1 x1 + …+ an x n ) , j = 1 ,2 , …, M. (5) 第 1 期 刘福才 ,等 :模糊系统万能逼近理论研究综述 ·27 ·
·28 智能系统学报 第2卷 式中：a,b,m,m,,aa,k(j=1,2,M0,为要设 模糊系统和PDC控制器，并讨论了它们的基本性 计的参数.而每个规则中，a,b,m,m,an都是定 能，得到了2个结果： 值，要变动的只有kj=1,2,0.这样要设计的 1)线性TS模糊系统是光滑非线性动态系统 参数总共只有M+n+2个，几乎减少了一半.这样， 的通用逼近器； 得到的简化线性下$模糊系统的输出为 2)PDC控制器是非线性状态反馈控制器的通 M 用逼近器。 马(xy) f(x= TS模糊系统作为通用逼近器的基本思想是： 6) 4田 采用局部线性化实现全局非线性逼近.目前，对下S 模糊系统的研究并不多，并且主要集中在对线性下 对于这种简化的线性TS模糊系统，应浩从数 S模糊系统通用逼近性的研究上，应浩、曾珂、陈卫 学上推导出了简化了的SISO)与MISO]线性下 田所提出的方法虽然各不相同，但它们之间有一定 S模糊系统为通用逼近器，并给出了相应的充分条 的相关性，这从线性TS模糊系统作为通用逼近器 件.但是由于简化线性TS模糊系统的限制条件较 的充分条件的比较中可以看出.他们的方法有共同 多，虽然所需求解的规则后件的参数较少，但实际应 的优点：所证明的线性TS模糊系统对隶属函数类 用中仍有一定的局限性.为此，应浩又用类似的方法 型、模糊逻辑控制以及去模糊方法没有任何限制.但 证明了一般线性TS模糊系统的通用逼近性，，曾 与此同时，3种方法证明过程中的限制条件也提出 珂则证明了典型TS模糊系统的通用逼近性51. 了下S模糊系统研究中待解决的问题：线性TS模 1.2.2典型TS模糊系统 糊系统可以实现全局非线性逼近，那么非线性T下S 典型下S模糊系统的一般定义为 模糊系统是否也可以作为非线性逼近器？ R,:IF xI is Af and x is A2 and and 1.3其他模糊系统的逼近性问题 xmis A THEN 随着模糊逼近理论的不断发展，研究各种类型 y pno pixi ppx2++pixa= 的通用逼近器逐渐成为研究的热点.目前，除了 po >pnx..j=1,2.M. 7) Mamdani模糊系统和下S模糊系统，所研究的其他 式中：x:(i=1,2,m)为输入变量，A{为模糊子 主要模糊系统包括：1)模糊控制器，2)递阶模糊系 集，M为规则总数，Pmi=1,2,W为模糊系统的 统，3)加型模糊系统 参数.对典型TS模糊系统，设0≤x,.对每一个 1.3.1模糊控制器 输入变量x(i=1,2,W定义m个模糊子集，从而 近些年来，对于模糊控制器的研究不断增多，模 糊控制是一种基于规则的控制，它直接采用语言型 规则总数为M=.式)所给出的第i条规则的 控制规则，其依据是现场操作员的控制经验或相关 激活度为马=山(x).容易求得典型下S模糊系 专家的知识，在设计中不需要建立被控对象的精确 数学模型，因而使得控制机理和策略易于接受和理 统的输出为 解，设计简单，便于使用 在文献[19]中，Buckley将基本模糊控制器分 f(x) (8】 为3类：l)expert systems;2)approximation reason- 2%w ing(fuzzy logic);3)Sugeno controller. 式中：x=(x1,x2,x)T,并且令x0写 通用控制器研究方向的第一个结果是：如果一 对于这种典型TS模糊系统，曾珂证明，在 个过程可由一个连续控制器（不一定是模糊控制器） 采用广义全交叠输入隶属函数的前提下，该系统具 控制，那么这个过程也可由多元素同时运行的模糊 有通用逼近性，并得到了其作为通用逼近器的充分 控制器所控制 条件161 在文献[20]中，Buckley证明了基于Sugeno型 而陈卫田小则利用终值定理，对带有非模糊规 模糊控制器是通用模糊控制器，在Buckley!1,引中 则后件的模糊逻辑控制(FLC)系统进行分析，证明 又证明了基于系列的模糊控制器是通用逼近器。 了该系统具有通用逼近性，并得到了其作为通用逼 但是，在证明系列的模糊控制器是通用逼近器的 近器的充分条件1)。 过程中遇到了2个问题： 在文献[l8]中，Huao.Wang提到了线性TS l)6=FC(e,△e不是(e,△e的连续函数； 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
式中 : a , b, a0 , a1 , …, an , kj ( j = 1 , 2 , …, M) ,为要设 计的参数. 而每个规则中 , a , b, a0 , a1 , …, an 都是定 值 ,要变动的只有 kj ( j = 1 ,2 , …, M) . 这样要设计的 参数总共只有 M + n + 2 个 ,几乎减少了一半. 这样 , 得到的简化线性 T2S 模糊系统的输出为 f ( x) = ∑ M j = 1 (μj ( x) y j) ∑ M j = 1 μj ( x) . (6) 对于这种简化的线性 T2S 模糊系统 ,应浩从数 学上推导出了简化了的 SISO [13 ]与 MISO [13 ]线性 T2 S 模糊系统为通用逼近器 ,并给出了相应的充分条 件. 但是由于简化线性 T2S 模糊系统的限制条件较 多 ,虽然所需求解的规则后件的参数较少 ,但实际应 用中仍有一定的局限性. 为此 ,应浩又用类似的方法 证明了一般线性 T2S 模糊系统的通用逼近性[14 ] ,曾 珂则证明了典型 T2S 模糊系统的通用逼近性[15 ] . 1. 2. 2 典型 T2S 模糊系统 典型 T2S 模糊系统的一般定义为 Rj :IF x1 is A j 1 and x2 is A j 2 and …and x n is A j n T HEN , y = pj0 + pj1 x1 + pj2 x2 + …+ pjn x n = pj0 + ∑ n i = 1 pji x i , j = 1 ,2 , …, M. (7) 式中 : xi ( i = 1 , 2 , …, n) 为输入变量 , A j i 为模糊子 集 , M 为规则总数 , pji ( i = 1 , 2 , …, n) 为模糊系统的 参数. 对典型 T2S 模糊系统 ,设 0 ≤xi ≤1. 对每一个 输入变量 xi ( i = 1 ,2 , …n) 定义 ni 个模糊子集 ,从而 规则总数为 M = ∏ n i = 1 ni . 式(7) 所给出的第 i 条规则的 激活度为μj = ∏ n i = 1 μA j i ( xi) . 容易求得典型 T2S 模糊系 统的输出为 f ( x) = ∑ M j =1 μj ( x) ∑ n i = 0 pji x i ∑ M j = 1 μj ( x) . (8) 式中 : x = ( x1 , x2 , …, x n ) T ,并且令 x0 ≡1. 对于这种典型 T2S 模糊系统 ,曾珂[15 ] 证明 ,在 采用广义全交叠输入隶属函数的前提下 ,该系统具 有通用逼近性 ,并得到了其作为通用逼近器的充分 条件[ 16 ] . 而陈卫田[17 ]则利用终值定理 ,对带有非模糊规 则后件的模糊逻辑控制 (FLC) 系统进行分析 ,证明 了该系统具有通用逼近性 ,并得到了其作为通用逼 近器的充分条件[ 17 ] . 在文献[ 18 ]中 , Hua o. Wang 提到了线性 T2S 模糊系统和 PDC 控制器 ,并讨论了它们的基本性 能 ,得到了 2 个结果 : 1) 线性 T2S 模糊系统是光滑非线性动态系统 的通用逼近器 ; 2) PDC 控制器是非线性状态反馈控制器的通 用逼近器. T2S 模糊系统作为通用逼近器的基本思想是 : 采用局部线性化实现全局非线性逼近. 目前 ,对 T2S 模糊系统的研究并不多 ,并且主要集中在对线性 T2 S 模糊系统通用逼近性的研究上 ,应浩、曾珂、陈卫 田所提出的方法虽然各不相同 ,但它们之间有一定 的相关性 ,这从线性 T2S 模糊系统作为通用逼近器 的充分条件的比较中可以看出. 他们的方法有共同 的优点 :所证明的线性 T2S 模糊系统对隶属函数类 型、模糊逻辑控制以及去模糊方法没有任何限制. 但 与此同时 ,3 种方法证明过程中的限制条件也提出 了 T2S 模糊系统研究中待解决的问题 :线性 T2S 模 糊系统可以实现全局非线性逼近 ,那么非线性 T2S 模糊系统是否也可以作为非线性逼近器 ? 1. 3 其他模糊系统的逼近性问题 随着模糊逼近理论的不断发展 ,研究各种类型 的通用逼近器逐渐成为研究的热点. 目前 ,除了 Mamdani 模糊系统和 T2S 模糊系统 ,所研究的其他 主要模糊系统包括 :1) 模糊控制器 ,2) 递阶模糊系 统 ,3) 加型模糊系统. 1. 3. 1 模糊控制器 近些年来 ,对于模糊控制器的研究不断增多 ,模 糊控制是一种基于规则的控制 ,它直接采用语言型 控制规则 ,其依据是现场操作员的控制经验或相关 专家的知识 ,在设计中不需要建立被控对象的精确 数学模型 ,因而使得控制机理和策略易于接受和理 解 ,设计简单 ,便于使用. 在文献[ 19 ]中 ,Buckley 将基本模糊控制器分 为 3 类 :1) expert systems ;2) approximation reason2 ing (f uzzy logic) ;3) Sugeno controller. 通用控制器研究方向的第一个结果是 :如果一 个过程可由一个连续控制器(不一定是模糊控制器) 控制 ,那么这个过程也可由多元素同时运行的模糊 控制器所控制. 在文献[ 20 ]中 ,Buckley 证明了基于 Sugeno 型 模糊控制器是通用模糊控制器 ;在 Buckley [ 1 - 3 ] 中 , 又证明了基于ξ系列的模糊控制器是通用逼近器. 但是 ,在证明ξ系列的模糊控制器是通用逼近器的 过程中遇到了 2 个问题 : 1)δ= FC( e ,Δe) 不是( e ,Δe) 的连续函数; ·28 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第1期 刘福才，等：模糊系统万能逼近理论研究综述 ·29· 2)在多变量情况下不封闭，因此不能使用 通用逼近器，并且模糊规则数随着输入变量的增加 Stone-Weierstrass定理 而线性增加.后来，Campello2又进一步证明，一个 由于上面2个问题的存在，Buckley未能找到 参数较少的递阶模糊关系系统可以转化成一个等价 基于逼近原理（模糊逻辑）的通用模糊控制器，因此， 的非递阶模糊关系.这个等价模型可以用于提取模 寻找是否存在基于逼近原理的通用模糊控制器将成 糊规则，也可以用于减少所提取的规则 为一个深入研究的课题 从本质上讲，标准模糊系统的F部分需要包括 Castro2回答了一个基本的理论问题“为什么 整个论域，所以THEN部分要简单（可以是常数）； 模糊系统对各种各样的实际问题具有如此优越的性 递阶模糊系统的F部分不包括整个论域，从而使 能？”，同时提出了模糊逻辑控制器(FLC)的概念，模 THEN部分变得复杂， 糊逻辑控制器包括2种类型：具有模糊规则后件的 从上面的分析可以看出，虽然递阶模糊系统的 模糊逻辑控制器和具有非模糊规则后件的模糊逻辑 模糊规则总数比相对应的标准模糊系统要少，即较 控制器.在文献中，他一方面说明了一种特殊类型的 好地解决了“规则爆炸”问题，但递阶模糊系统的每 模糊逻辑控制器是通用逼近器，这种类型的模糊逻 一条规则要比标准模糊系统复杂得多.因为它的 辑控制器满足：高斯隶属函数、乘法模糊推理、中心 THEN部分是输入变量的顺序多项式」 去模糊.另一方面，又证明了其他类型的模糊逻辑控 1.3.3加型模糊系统 制器也是通用逼近器，这些模糊逻辑控制器包括： 所谓加型模糊系统(SAM)）,是指将模糊规则的 1)具有其他隶属函数的模糊系统（包括三角形 输出或结论部分子集加到输入之中，这样便得到一 隶属函数、梯形隶属函数等)； 个输入-输出状态空间，它覆盖函数的图像并将交 2)以任意协范数为模型的模糊连接器； 叠的模糊补块平均化.加型模糊系统就是通过用输 3)只需满足较弱特性的模糊推理； 入-输出状态空间的模糊补块覆盖来逼近函数的. 4)只需满足较弱条件的去模糊方法， 每一条模糊规则定义了一个模糊补块，从而将状态 证明了诸多模糊逻辑控制器是通用逼近器之 空间的几何图形与实际内容联系起来 后，又出现了一个比较实际的问题：给出一个特定的 Kosko2s,21利用有限覆盖定理研究了加型模 控制问题之后，哪一种类型的模糊逻辑控制器更适 糊系统的函数逼近性.证明了一个加型模糊系统通 合呢？文献[21]没有解决，另外，文献[21]也没有给 过神经元或统计聚类算法逼近一个位置的模糊补 出最优模糊逻辑控制器的结构和大小. 块，并从训练数据中产生一个模糊系统.Kosko在文 但是，尽管在实际应用中，由于不知道最优控制 献[25]对模糊集互相重叠个数做了假设，在文献 器是怎样进行选择的，但上面的叙述却从理论上说 [26]中对这一假设进行了削弱 明了模糊控制可以作为通用控制工具.有了这些理 张恩勤2列采用了较为简单的方法证明了一类 论基础，Ngnyen!2]证明了模糊控制可用于许多实 基于规则的加型模糊系统的通用逼近特性，由于很 际控制系统中（如分布式系统）.尽管如此，模糊控制 多环节的处理上更为自由，所研究的加型模糊系统 方法的选择还要由许多附加条件所决定，如控制结 更为广泛 果的光滑性、稳定性、灵敏性等 关于模糊系统在通用逼近性的存在性方面所取 1.3,2递阶模糊系统 得的研究成果可参见文献[42] 上面所讲述的模糊系统都是标准模糊系统，但 2 模糊系统作为通用逼近器的充分条 是限制典型模糊控制器广泛应用的一个重要问题是 “规则爆炸”问题，也就是模糊规则数随着模糊控制 件研究与分析 器输入变量数的增加而迅速增加.这就增加了模糊 2.1关于充分条件的研究 系统的复杂性.王立新2]提出了递阶模糊系统，从 由于充分条件决定了模糊系统逼近误差的上 而解决了“多维曲面”的问题.递阶模型的基本思想 界，对已得到的模糊系统一致逼近任意连续时函数 是把一个多维输入模糊系统转化成低维模糊系统的 的各种充分条件进行比较分析，判定哪一个充分条 集合.其中的低维模糊系统称为Takagi-Sugeno 件所确定的逼近误差上界更小，或者在什么情况下 Kang(TSK)模糊系统 更小，以及计算复杂程度等等，这些工作无疑在理论 在文献[23]中，王立新以三输入模糊系统为例 和应用上都有非常重要的意义 用Stone-Weierstrass定理证明了递阶模糊系统是 纵观国内所有关于模糊系统作为函数逼近器及 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
2) 在多变量情况下ξ不封闭 ,因此不能使用 Stone2Weierstrass 定理. 由于上面 2 个问题的存在 ,Buckley 未能找到 基于逼近原理(模糊逻辑) 的通用模糊控制器 ,因此 , 寻找是否存在基于逼近原理的通用模糊控制器将成 为一个深入研究的课题. Castro [ 21 ]回答了一个基本的理论问题“为什么 模糊系统对各种各样的实际问题具有如此优越的性 能 ?”,同时提出了模糊逻辑控制器(FLC) 的概念 ,模 糊逻辑控制器包括 2 种类型 :具有模糊规则后件的 模糊逻辑控制器和具有非模糊规则后件的模糊逻辑 控制器. 在文献中 ,他一方面说明了一种特殊类型的 模糊逻辑控制器是通用逼近器 ,这种类型的模糊逻 辑控制器满足 :高斯隶属函数、乘法模糊推理、中心 去模糊. 另一方面 ,又证明了其他类型的模糊逻辑控 制器也是通用逼近器 ,这些模糊逻辑控制器包括 : 1) 具有其他隶属函数的模糊系统 (包括三角形 隶属函数、梯形隶属函数等) ; 2) 以任意协范数为模型的模糊连接器 ; 3) 只需满足较弱特性的模糊推理 ; 4) 只需满足较弱条件的去模糊方法. 证明了诸多模糊逻辑控制器是通用逼近器之 后 ,又出现了一个比较实际的问题 :给出一个特定的 控制问题之后 ,哪一种类型的模糊逻辑控制器更适 合呢 ? 文献[21 ]没有解决 ,另外 ,文献[ 21 ]也没有给 出最优模糊逻辑控制器的结构和大小. 但是 ,尽管在实际应用中 ,由于不知道最优控制 器是怎样进行选择的 ,但上面的叙述却从理论上说 明了模糊控制可以作为通用控制工具. 有了这些理 论基础 ,Ngnyen [22 ] 证明了模糊控制可用于许多实 际控制系统中(如分布式系统) . 尽管如此 ,模糊控制 方法的选择还要由许多附加条件所决定 ,如控制结 果的光滑性、稳定性、灵敏性等. 1. 3. 2 递阶模糊系统 上面所讲述的模糊系统都是标准模糊系统 ,但 是限制典型模糊控制器广泛应用的一个重要问题是 “规则爆炸”问题 ,也就是模糊规则数随着模糊控制 器输入变量数的增加而迅速增加. 这就增加了模糊 系统的复杂性. 王立新[23 ] 提出了递阶模糊系统 ,从 而解决了“多维曲面”的问题. 递阶模型的基本思想 是把一个多维输入模糊系统转化成低维模糊系统的 集合. 其中的低维模糊系统称为 Takagi2Sugeno2 Kang ( TSK) 模糊系统. 在文献[23 ]中 ,王立新以三输入模糊系统为例 用 Stone2Weierstrass 定理证明了递阶模糊系统是 通用逼近器 ,并且模糊规则数随着输入变量的增加 而线性增加. 后来 ,Campello [24 ] 又进一步证明 ,一个 参数较少的递阶模糊关系系统可以转化成一个等价 的非递阶模糊关系. 这个等价模型可以用于提取模 糊规则 ,也可以用于减少所提取的规则. 从本质上讲 ,标准模糊系统的 IF 部分需要包括 整个论域 ,所以 T HEN 部分要简单 (可以是常数) ; 递阶模糊系统的 IF 部分不包括整个论域 ,从而使 TH EN 部分变得复杂. 从上面的分析可以看出 ,虽然递阶模糊系统的 模糊规则总数比相对应的标准模糊系统要少 ,即较 好地解决了“规则爆炸”问题 ,但递阶模糊系统的每 一条规则要比标准模糊系统复杂得多 ,因为它的 TH EN 部分是输入变量的顺序多项式. 1. 3. 3 加型模糊系统 所谓加型模糊系统(SAM) ,是指将模糊规则的 输出或结论部分子集加到输入之中 ,这样便得到一 个输入 - 输出状态空间 ,它覆盖函数的图像并将交 叠的模糊补块平均化. 加型模糊系统就是通过用输 入 - 输出状态空间的模糊补块覆盖来逼近函数的. 每一条模糊规则定义了一个模糊补块 ,从而将状态 空间的几何图形与实际内容联系起来. Kosko [25 - 26 ]利用有限覆盖定理研究了加型模 糊系统的函数逼近性. 证明了一个加型模糊系统通 过神经元或统计聚类算法逼近一个位置的模糊补 块 ,并从训练数据中产生一个模糊系统. Kosko 在文 献[25 ]对模糊集互相重叠个数做了假设 ,在文献 [26 ]中对这一假设进行了削弱. 张恩勤[27 ]采用了较为简单的方法证明了一类 基于规则的加型模糊系统的通用逼近特性 ,由于很 多环节的处理上更为自由 ,所研究的加型模糊系统 更为广泛. 关于模糊系统在通用逼近性的存在性方面所取 得的研究成果可参见文献[42 ]. 2 模糊系统作为通用逼近器的充分条 件研究与分析 2. 1 关于充分条件的研究 由于充分条件决定了模糊系统逼近误差的上 界 ,对已得到的模糊系统一致逼近任意连续时函数 的各种充分条件进行比较分析 ,判定哪一个充分条 件所确定的逼近误差上界更小 ,或者在什么情况下 更小 ,以及计算复杂程度等等 ,这些工作无疑在理论 和应用上都有非常重要的意义. 纵观国内所有关于模糊系统作为函数逼近器及 第 1 期 刘福才 ,等 :模糊系统万能逼近理论研究综述 ·29 ·
·30 智能系统学报 第2卷 其充分条件的研究，在前期的证明中有不少作者使 交叠隶属函数的TS模糊系统以任意精度一致逼 用了十分复杂的Weierstrass-stone定理)，使得证 近紧支集上任意连续时函数的一个充分条件，并给 明体现不出模糊系统的结构，难于实际应用.后来的 出了数值示例，所得结果远远优于文献[28]的结果。 证明不少采用了Weierstrass定理6,1.42s1,这样能 陈卫田川通过采用与[28]不同的方法，首次直接针 够揭示模糊系统作为函数逼近器的内部结构，并能 对一类模糊系统，给出了它们逼近函数的构造性充 很容易导出其作为函数逼近器的充分条件，根据 分条件，并给出了逼近精度与模糊规则数量之间的 Weierstrass定理，多项式可以任意精度逼近一个任 关系的显式公式： 意在实域上连续的非线性或线性函数.那么要证明 2.2关于模糊规则数量的比较 模糊系统能够逼近任意函数，只需证明该模糊系统 为了便于比较与分析，把上述3种方法获得的 能够逼近任意多项式即可.因此，一般有关模糊系统 充分条件列于表1.表中各符号的意义可参见文献 是通用逼近器及其充分条件的研究都遵循如下的2 [6,17,28-29].从表中可以看出，由Zng's方法得 个步骤：1)模糊系统能逼近任意多项式；2)采用 到的充分条件在形式上也更简洁.同时，注意到用 Weierstrass近似定理进行过渡 Zeng's方法计算所得的结果不会大于用ing's方 目前，对模糊系统作为通用逼近器的充分条件 法算得的结果.但是，由于Ying's方法仅取决于多 的研究主要集中于Mamdani模糊系统和TS模糊 项式函数的系数，其计算复杂度要比依赖于偏微分 系统.式中：文献[6-7]研究的是Mamdani模糊系极值的Zeng's方法低许多，特别在维数很高的情况 统，文献[13-14,16-17,28-29]研究的是TS模下更是如此.Zeng's方法和Chen's方法得出的充 糊系统.Hao Ying!1首先研究了简化Mamdani模 分条件和Yng's方法相比，均具有较低的保守性， 糊系统（规则后件是单点模糊集）作为通用逼近器的 那么，Zeng's方法和Chen's方法谁的保守性 充分条件，但是要求每一个输入变量的模糊子集有 更低？换句话说，这3个充分条件之间又有怎样的 相同的隶属函数形式，并且每一模糊子集的隶属函 关系呢？在文献[31]中已经给出了证明，有如下结 数在中心点以左是不减的，在中心点以右是不增的. 果 曾珂在文献[7]中引入广义全交叠的概念，对隶属函 1)对Mamdani模糊系统和线性TS模糊系统， 数的限定条件与文献[6]相比放宽了许多，所得到的 Yng's方法得到的模糊系统作为通用逼近器的充 充分条件在形式上更简洁. 分条件的保守性最大； Hao Ying在文献[13-14]中分别讨论了2种 2)对Mamdani模糊系统，当Chen's方法的模 采用比例的线性函数作为规则后件的简化TS模 糊系统对输入变量进行模糊等分时，其得到的充分 糊系统作为通用逼近器的充分条件.更进一步，在文 条件与Zeng's方法所得到的充分条件是等价的.而 献[28]中，Hao Ying研究了一般的采用输入变量的 不等分时，曾珂所得到的充分条件保守性要大些 线性函数作为规则后件和全交叠输入隶属函数的 3)对线性TS模糊系统，Zeng's方法和Chen TS模糊系统的充分条件.曾珂在文献[29]中研究 s方法所得的比较结果之间则不存在简单的大小关 了采用输入变量的线性函数作为规则后件和广义全 系 表1充分条件比较 Table 1 Comparison of coefficient conditions 方法 模糊规则后件为模糊集合（或单一实数） 模糊规则后件为下S模型 a)n ≥ 1月.o1+1611 Ying's 方法6,44 b)n'≈1 Zeng's 方法5 m> .1,r>1 卫4 ,aa Chen's 方法列 ,r>1 ≥ ,>1 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
其充分条件的研究 ,在前期的证明中有不少作者使 用了十分复杂的 Weierstrass2stone 定理[13 ] ,使得证 明体现不出模糊系统的结构 ,难于实际应用. 后来的 证明不少采用了 Weierstrass 定理[6 ,13 - 14 ,28 ] ,这样能 够揭示模糊系统作为函数逼近器的内部结构 ,并能 很容易导出其作为函数逼近器的充分条件. 根据 Weierstrass 定理 ,多项式可以任意精度逼近一个任 意在实域上连续的非线性或线性函数. 那么要证明 模糊系统能够逼近任意函数 ,只需证明该模糊系统 能够逼近任意多项式即可. 因此 ,一般有关模糊系统 是通用逼近器及其充分条件的研究都遵循如下的 2 个步骤 : 1) 模糊系统能逼近任意多项式 ; 2) 采用 Weierstrass 近似定理进行过渡. 目前 ,对模糊系统作为通用逼近器的充分条件 的研究主要集中于 Mamdani 模糊系统和 T2S 模糊 系统. 式中 :文献[ 6 - 7 ]研究的是 Mamdani 模糊系 统 ,文献[ 13 - 14 ,16 - 17 ,28 - 29 ]研究的是 T2S 模 糊系统. Hao Ying [ 6 ] 首先研究了简化 Mamdani 模 糊系统(规则后件是单点模糊集) 作为通用逼近器的 充分条件 ,但是要求每一个输入变量的模糊子集有 相同的隶属函数形式 ,并且每一模糊子集的隶属函 数在中心点以左是不减的 ,在中心点以右是不增的. 曾珂在文献[7 ]中引入广义全交叠的概念 ,对隶属函 数的限定条件与文献[6 ]相比放宽了许多 ,所得到的 充分条件在形式上更简洁. Hao Ying 在文献[ 13 - 14 ]中分别讨论了 2 种 采用比例的线性函数作为规则后件的简化 T2S 模 糊系统作为通用逼近器的充分条件. 更进一步 ,在文 献[ 28 ]中 , Hao Ying 研究了一般的采用输入变量的 线性函数作为规则后件和全交叠输入隶属函数的 T2S 模糊系统的充分条件. 曾珂在文献[ 29 ]中研究 了采用输入变量的线性函数作为规则后件和广义全 交叠隶属函数的 T2S 模糊系统以任意精度一致逼 近紧支集上任意连续时函数的一个充分条件 ,并给 出了数值示例 ,所得结果远远优于文献[ 28 ]的结果. 陈卫田[ 17 ]通过采用与[ 28 ]不同的方法 ,首次直接针 对一类模糊系统 ,给出了它们逼近函数的构造性充 分条件 ,并给出了逼近精度与模糊规则数量之间的 关系的显式公式. 2. 2 关于模糊规则数量的比较 为了便于比较与分析 ,把上述 3 种方法获得的 充分条件列于表 1. 表中各符号的意义可参见文献 [6 ,17 ,28 - 29 ]. 从表中可以看出 ,由 Zeng’s 方法得 到的充分条件在形式上也更简洁. 同时 ,注意到用 Zeng’s 方法计算所得的结果不会大于用 Ying’s 方 法算得的结果. 但是 ,由于 Ying’s 方法仅取决于多 项式函数的系数 ,其计算复杂度要比依赖于偏微分 极值的 Zeng’s 方法低许多 ,特别在维数很高的情况 下更是如此. Zeng’s 方法和 Chen’s 方法得出的充 分条件和 Ying’s 方法相比 ,均具有较低的保守性. 那么 ,Zeng’s 方法和 Chen’s 方法谁的保守性 更低 ? 换句话说 ,这 3 个充分条件之间又有怎样的 关系呢 ? 在文献[ 31 ]中已经给出了证明 ,有如下结 果 : 1) 对 Mamdani 模糊系统和线性 T2S 模糊系统 , Ying’s 方法得到的模糊系统作为通用逼近器的充 分条件的保守性最大 ; 2) 对 Mamdani 模糊系统 ,当 Chen’s 方法的模 糊系统对输入变量进行模糊等分时 ,其得到的充分 条件与 Zeng’s 方法所得到的充分条件是等价的. 而 不等分时 ,曾珂所得到的充分条件保守性要大些. 3) 对线性 T2S 模糊系统 ,Zeng’s 方法和 Chen’ s 方法所得的比较结果之间则不存在简单的大小关 系. 表 1 充分条件比较 Table 1 Comparison of coefficient conditions 方法 模糊规则后件为模糊集合(或单一实数) 模糊规则后件为 T2S 模型 Ying’s 方法[6 ,44 ] a) n 3 = c max 1 ε2 ∑ d d 1 =1 (| βd 1 | ·d1 ) , r = 1 b) n 3 ≈ 1 ε2 d∑i >0 | βd 1 , …, d r | ∑ r i =1 ( di ·c max i ) , r > 1 n 3 ≥ 1 ε2 | β1 ,0 | +| β0 ,1 | + ∑ M1 d 1 =0 ∑ M2 d 2 =0 | βd 1 , d 2 | (2 d 1 +d 2 - 1) , Zeng’s 方法[45 ] n0 > 1 ε2 ·∑ r i =1 5 Pq 5 xi ∞ - 1 , r > 1 n0 > 1 2ε2 ∑ r i =1 ∑ r j =1 5 2 Pq 5 xi5 x j ∞ - 1 Chen’s 方法[17 ] k f uz ≥ ∏ r i =1 int rM i1 ε2 + 1 , r > 1 k non ≥ ∏ r i =1 int rM i1 2ε2 + 1 , r > 1 ·30 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第1期 刘福才，等：模糊系统万能逼近理论研究综述 ·31· 2.3 Mamdani模糊系统与下S模糊系统之间的比较 进行了比较4]，指出了如何根据逼近精度和欲逼近 众所周知，TS模糊系统的通用逼近性要好于 连续函数极值点的个数来确定模糊系统的输入模糊 Mamdani模糊系统，一般的理解是，TS模糊系统 子集输出模糊子集和模糊规则 相当于用许多块可以由不同倾斜方向的超平面来拟 对于一般SISO模糊系统和一些典型MIS0模 合一个光滑曲面，因此其函数逼近性能要优于仅用 糊系统（单点模糊输出）作为通用逼近器的必要条 水平超平面进行拟合的Mamdani模糊系统.从 件，文献[32-33]分别给出了2个定理 Zeng所得的结论也可以看出，当e充分小时有，下S 基于上述定理，应浩得出了一般的结论： 模糊系统一致逼近时需要的模糊子集数m∝1/Je, 1)一方面，对于一些表达式复杂却有相对较少 而对于Mamdani模糊系统，mc∝l/e.而从Chen的 极点的函数，一致逼近所需的模糊规则较少.另一方 结论也可以直观地看出，T下S模糊系统一致逼近时 面，对于一些表达式简单却有相对较多极点的函数 所需要的模糊子集数k∝l/2e,而Mamdani模糊系 一致逼近所需的模糊规则较多.与其他逼近技术相 统k∝l/e.因此，与Mamdani模糊系统相比，对于同 比，在逼近一个较高频率的连续函数时，一般不用模 样给定的定义在紧致集上的连续实函数和一致精度 糊系统，尤其是使用三角形模糊子集的SIS0和 ￡，下S模糊系统每个输入变量所需的模糊子集数要 MISO模糊系统.这就是所谓的模糊系统的逼近强 少得多 度和局限性问题. 总的看来，目前对模糊系统的一致逼近定义在 2)典型TS模糊系统和一般Mamdani模糊系 紧致集上的任意连续时函数的充分条件己经取得了 统的最小配置由于逼近函数的极点数及位置决定」 一定的成果，但仍然存在着一些问题 当使用梯形或三角形模糊子集时，在最小配置方面， 1)逼近精度越高，所需的模糊子集数越多，这在 TS模糊系统和Mamdani模糊系统是兼容的；当使 理论上是可行的.但在实际应用中是非常困难甚至 用非梯形或非三角形模糊子集时，TS模糊系统的 是不可能的 最小配置比Mamdani模糊系统要小 2)在较小逼近上界的情况下，能否在数量上估 由于对模糊系统作为通用逼近器的必要条件的 计出模糊子集和模糊规则数？ 研究还不多，因此还有许多待解决的问题，例如： 下一步的主要工作应当致力于放宽限制条件和 1)文献[32]中所得到的必要条件是否可用于其 得到最小误差上界3列 他系统中： 3模糊系统作为通用逼近器的必要条 2)文献[33]中TS模糊系统和Mamdani模糊 系统所得到的比较结果还需要严格的数学证明 件 4 逼近精度简要分析 从实用角度出发，只要能够满足精度，希望采用 简单的模糊系统（控制器或模型）逼近给定的函数. 近年来，模糊系统发展很快，其优点是能够根据 这就激励人们去研究具有最小系统构成的Mamda 与逼近函数和语言信息进行设计，但这种优点同时 i模糊系统或T-S模糊系统作为通用逼近器的必 伴随着一个问题模糊系统的逼近精度问题 要条件.这些条件在实际应用中用来确定模糊系统 曾小军4.45通过研究隶属函数和逼近精度的 的输入子集输出子集和模糊规则.另外，这些必要 关系，讨论了怎样通过设计隶属函数来改善模糊系 条件为模糊系统的鲁棒性和局限性的深入分析提供 统的逼近精度：当模糊子集对应的隶属函数A,(x) 了基础.主要的鲁棒性是：对于一些表达式复杂却有 和A+1(x)的交点在中心点附近时，模糊系统的逼 相对较少极点函数，一致逼近所需的模糊规则较少. 近精度高，反之，逼近精度低」 主要的局限性是：为了以较高精度逼近连续函数，模 王立新6提出了设计模糊系统的2种方法：聚 糊规则必须很大 类法（包括三角形隶属函数和高斯型隶属函数）和查 目前，研究必要条件的文献还比较少，只有应浩 表法.在文献[46]中，王立新还得出了影响逼近精度 确定了一般SISO模糊系统21、一些典型MISO模 的2个因素：1)设计模糊系统时的解决方法：2)欲逼 糊系统（单点模糊输出）21、一般MIS0模糊系 近函数的光滑程度 统3]和下S模糊系统1作为通用逼近器的必要条 目前对模糊系统逼近精度的研究还很不够.一 件，并将TS模糊系统作为通用逼近器的必要条件 般而言，逼近精度越高，所设计的模糊系统越复杂 与Mamdani模糊系统作为通用逼近器的必要条件 从而影响模糊系统的实际应用.因此，研究模糊系统 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
2. 3 Mamdani 模糊系统与 T2S模糊系统之间的比较 众所周知 , T2S 模糊系统的通用逼近性要好于 Mamdani 模糊系统 ,一般的理解是 , T2S 模糊系统 相当于用许多块可以由不同倾斜方向的超平面来拟 合一个光滑曲面 ,因此其函数逼近性能要优于仅用 水平超平面进行拟合的 Mamdani 模糊系统. 从 Zeng 所得的结论也可以看出 ,当ε充分小时有 , T2S 模糊系统一致逼近时需要的模糊子集数 n0∝1/ ε, 而对于 Mamdani 模糊系统 , n0 ∝1/ε. 而从 Chen 的 结论也可以直观地看出 , T2S 模糊系统一致逼近时 所需要的模糊子集数 k∝1/ 2ε,而 Mamdani 模糊系 统 k∝1/ε. 因此 ,与 Mamdani 模糊系统相比 ,对于同 样给定的定义在紧致集上的连续实函数和一致精度 ε, T2S 模糊系统每个输入变量所需的模糊子集数要 少得多. 总的看来 ,目前对模糊系统的一致逼近定义在 紧致集上的任意连续时函数的充分条件已经取得了 一定的成果 ,但仍然存在着一些问题 : 1) 逼近精度越高 ,所需的模糊子集数越多 ,这在 理论上是可行的. 但在实际应用中是非常困难甚至 是不可能的. 2) 在较小逼近上界的情况下 ,能否在数量上估 计出模糊子集和模糊规则数 ? 下一步的主要工作应当致力于放宽限制条件和 得到最小误差上界[37 ] . 3 模糊系统作为通用逼近器的必要条 件 从实用角度出发 ,只要能够满足精度 ,希望采用 简单的模糊系统(控制器或模型) 逼近给定的函数. 这就激励人们去研究具有最小系统构成的 Mamda2 ni 模糊系统或 T2S 模糊系统作为通用逼近器的必 要条件. 这些条件在实际应用中用来确定模糊系统 的输入子集、输出子集和模糊规则. 另外 ,这些必要 条件为模糊系统的鲁棒性和局限性的深入分析提供 了基础. 主要的鲁棒性是 :对于一些表达式复杂却有 相对较少极点函数 ,一致逼近所需的模糊规则较少. 主要的局限性是 :为了以较高精度逼近连续函数 ,模 糊规则必须很大. 目前 ,研究必要条件的文献还比较少 ,只有应浩 确定了一般 SISO 模糊系统[32 ] 、一些典型 MISO 模 糊系统 (单点模糊输出) [32 ] 、一般 MISO 模糊系 统[33 ]和 T2S 模糊系统[33 ] 作为通用逼近器的必要条 件 ,并将 T2S 模糊系统作为通用逼近器的必要条件 与 Mamdani 模糊系统作为通用逼近器的必要条件 进行了比较[34 ] ,指出了如何根据逼近精度和欲逼近 连续函数极值点的个数来确定模糊系统的输入模糊 子集、输出模糊子集和模糊规则. 对于一般 SISO 模糊系统和一些典型 MISO 模 糊系统(单点模糊输出) 作为通用逼近器的必要条 件 ,文献[32 - 33 ]分别给出了 2 个定理. 基于上述定理 ,应浩得出了一般的结论 : 1) 一方面 ,对于一些表达式复杂却有相对较少 极点的函数 ,一致逼近所需的模糊规则较少. 另一方 面 ,对于一些表达式简单却有相对较多极点的函数 , 一致逼近所需的模糊规则较多. 与其他逼近技术相 比 ,在逼近一个较高频率的连续函数时 ,一般不用模 糊系统 ,尤其是使用三角形模糊子集的 SISO 和 MISO 模糊系统. 这就是所谓的模糊系统的逼近强 度和局限性问题. 2) 典型 T2S 模糊系统和一般 Mamdani 模糊系 统的最小配置由于逼近函数的极点数及位置决定. 当使用梯形或三角形模糊子集时 ,在最小配置方面 , T2S 模糊系统和 Mamdani 模糊系统是兼容的 ;当使 用非梯形或非三角形模糊子集时 , T2S 模糊系统的 最小配置比 Mamdani 模糊系统要小. 由于对模糊系统作为通用逼近器的必要条件的 研究还不多 ,因此还有许多待解决的问题 ,例如 : 1) 文献[32 ]中所得到的必要条件是否可用于其 他系统中 ; 2) 文献[33 ]中 T2S 模糊系统和 Mamdani 模糊 系统所得到的比较结果还需要严格的数学证明. 4 逼近精度简要分析 近年来 ,模糊系统发展很快 ,其优点是能够根据 与逼近函数和语言信息进行设计 ,但这种优点同时 伴随着一个问题 ———模糊系统的逼近精度问题. 曾小军[44 - 45 ]通过研究隶属函数和逼近精度的 关系 ,讨论了怎样通过设计隶属函数来改善模糊系 统的逼近精度 :当模糊子集对应的隶属函数 A i ( x) 和 A i + 1 ( x) 的交点在中心点附近时 ,模糊系统的逼 近精度高 ,反之 ,逼近精度低. 王立新[46 ]提出了设计模糊系统的 2 种方法 :聚 类法(包括三角形隶属函数和高斯型隶属函数) 和查 表法. 在文献[ 46 ]中 ,王立新还得出了影响逼近精度 的 2 个因素 :1) 设计模糊系统时的解决方法 ;2) 欲逼 近函数的光滑程度. 目前对模糊系统逼近精度的研究还很不够. 一 般而言 ,逼近精度越高 ,所设计的模糊系统越复杂 , 从而影响模糊系统的实际应用. 因此 ,研究模糊系统 第 1 期 刘福才 ,等 :模糊系统万能逼近理论研究综述 ·31 ·
·32 智能系统学报 第2卷 的逼近精度问题必将是模糊逼近理论研究的永恒的 Fuzzy Systems,1995,3(2):219.235 课题， [5]HAO Ying.General fuzzy systems are universal approxi- mators[A].Pro of the 32nd Conf on Decision and Con- 5结论 trol[C].San Antonio ,USA.1993 1739-1742. [6]HAO Ying.Sufficient condition on general fuzzy systems 在短短20多年的时间里，模糊理论得到长足的 as function approximatiors [J ]Automatic,1994,30 发展，而模糊系统通用逼近性的研究也越发显得重 (3):521-525. 要.它的应用领域涉及了诸多方面，控制方法也有了 [7]曾珂，徐文立，张乃尧.特定Mamdani模糊系统的通 很大进展.但是，模糊系统理论还有一些重要的理论 用逼近性[U].控制与决策，2000,15(4)：435.438 课题没有解决，其中几个重要的问题是： ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.Universal ap- 1)模糊规则设计方法的研究，包括模糊集合隶 proximation of special Mamdani fuzzy systems [J ]Con- 属函数设定方法、规则和隶属函数参数自动生成等 trol&decision,2000,15(4):435-438. 问题； [8]MAO Zhihong,LI Yanda,ZHANG Xuefeng.Approxi- 2)如何保证模糊系统的稳定性 mation capability of fuzzy systems using translation and dilations of one fixed function as membership functions 另外，模糊规则是建立在“IF-THEN”表达式之 [J ]IEEE Transaction on Fuzzy Systems,1997,5(3): 上，这种方式容易让人理解.但是在自动生成、调整 468-473. 参数和模糊规则上却很困难.而神经网络对环境的 [9]毛志宏，张雪枫，李衍达.模糊系统作为通用函数逼近器 变化具有较强的自适应能力，所以可结合神经网络 研究[U1.中国科学(E辑)，1997,27(4)：362.367. 的学习能力来训练模糊规则，提高整个系统的学习 MAO Zhihong,ZHANG Xuefeng,LI Yanda.Study on 能力和表达能力，这是目前最受注目的一个课题 fuzzy systems as universal function approximators [J. 文中针对在理论和实际应用中都具有极为重要 China Science(E,1997,27(4):362-367. 意义的模糊系统逼近理论，从模糊系统的通用逼近 [10]李洪兴.模糊系统的数学本质与一类高精度控制器的 性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件、模糊系统 设计[U].控制理论与应用，1997,14(6)：868-876 作为通用逼近器的必要条件和模糊系统的逼近精度 LI Hongxing.Mathematical essence of fuzzy systems 等4个方面的研究状况进行了分析.首先总结了目 and design of a kind of high accuracy controller [J]. Control Theory Application,1997,14 (6):868- 前已经证明能够作为通用逼近器或通用控制器的模 876. 糊模型，概括了各种不同的证明方法，指出了各种方 [11]李洪兴.模糊控制的插值机理[J].中国科学(E辑)， 法相应的优点及局限性.然后总结了Mamdani模糊 1998,28(3):259-267 系统和TS模糊系统作为通用逼近器的充分条件 LI Hongxing.Interpolation mechanism of fuzzy control 和必要条件，最后简要阐述了模糊系统的逼近精度 J].China Science(E),1998,28(3):259-267 问题.文中的综合性分析，为模糊系统在实际应用中 [12]张恩勤，施颂椒，翁正新.采用三角型隶属函数的模糊 作为通用逼近器提供了综合性参考，并为以后进一 逻辑系统的插值特性[J1.自动化学报，27(6)：784- 步进行这方面的工作奠定了理论基础 790. ZHANG Enqin,SHI Songjiao,WENG Zhengxin. 参考文献： Fuzzy systems using triangle MF as interpolation func- tions[U].Automatic,2001,27(6):784-790. [1 WAN G Lixin.Fuzzy systems are universal approxima- [13]HAO Ying.General SISO Takagi-Sugeno fuzzy sys- tors [C].IEEE Conf Fuzzy Systems.San Diego,USA. tems with linear rule consequent are universal approxi- 1992：1163-1170 mators [J ]IEEE Transaction on Fuzzy Systems, [2]WAN G Lixin J ERR Y M.Mendel fuzzy basis functions, 1998,6(4):582-587. universal approximation,and orthogonal least-squares [14]HAO Ying.General Takagi Sugeno fuzzy systems learning [J ]IEEE Transaction on Neural Networks, with simplified linear rule consequent are universal con- 1992,3(5):807.814. trollers,models and filters [J].IEEE Transaction on [3]ZENG Xiaojun,MADAN G.Singh approximation theory Fuzzy Systems,1998(108):91.107. of fuzzy systems-SISO case [J ]IEEE Transaction on [15]曾珂，徐文立，张乃尧.典型下S模糊系统是通用逼 Fuzzy Systems,1994,2(2):162,176. 近器U].控制理论与应用，2001,18(2)：294-297. [4]ZENG Xiaojun,MADAN G.Singh approximation theory ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.Typical TS of fuzzy systems-MIMO case [J ]IEEE Transaction on fuzzy systems are universal approximators [J ]Control 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
的逼近精度问题必将是模糊逼近理论研究的永恒的 课题. 5 结 论 在短短 20 多年的时间里 ,模糊理论得到长足的 发展 ,而模糊系统通用逼近性的研究也越发显得重 要. 它的应用领域涉及了诸多方面 ,控制方法也有了 很大进展. 但是 ,模糊系统理论还有一些重要的理论 课题没有解决 ,其中几个重要的问题是 : 1) 模糊规则设计方法的研究 ,包括模糊集合隶 属函数设定方法、规则和隶属函数参数自动生成等 问题 ; 2) 如何保证模糊系统的稳定性. 另外 ,模糊规则是建立在“IF2T HEN”表达式之 上 ,这种方式容易让人理解. 但是在自动生成、调整 参数和模糊规则上却很困难. 而神经网络对环境的 变化具有较强的自适应能力 ,所以可结合神经网络 的学习能力来训练模糊规则 ,提高整个系统的学习 能力和表达能力 ,这是目前最受注目的一个课题. 文中针对在理论和实际应用中都具有极为重要 意义的模糊系统逼近理论 ,从模糊系统的通用逼近 性、模糊系统作为通用逼近器的充分条件、模糊系统 作为通用逼近器的必要条件和模糊系统的逼近精度 等 4 个方面的研究状况进行了分析. 首先总结了目 前已经证明能够作为通用逼近器或通用控制器的模 糊模型 ,概括了各种不同的证明方法 ,指出了各种方 法相应的优点及局限性. 然后总结了 Mamdani 模糊 系统和 T2S 模糊系统作为通用逼近器的充分条件 和必要条件 ,最后简要阐述了模糊系统的逼近精度 问题. 文中的综合性分析 ,为模糊系统在实际应用中 作为通用逼近器提供了综合性参考 ,并为以后进一 步进行这方面的工作奠定了理论基础. 参考文献 : [1 ] WAN G Lixin. Fuzzy systems are universal approxima2 tors [C]. IEEE Conf Fuzzy Systems. San Diego , USA. 1992 : 1163 - 1170. [2 ]WAN G Lixin ,J ERR Y M. Mendel fuzzy basis functions , universal approximation , and orthogonal least - squares learning [J ]. IEEE Transaction on Neural Networks , 1992 , 3 (5) : 807 - 814. [3 ]ZEN G Xiaojun ,MADAN G. Singh approximation theory of fuzzy systems - SISO case [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1994 , 2 (2) : 162 - 176. [4 ]ZEN G Xiaojun ,MADAN G. Singh approximation theory of fuzzy systems - MIMO case [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1995 , 3 (2) : 219 - 235. [ 5 ] HAO Ying. General fuzzy systems are universal approxi2 mators[A ]. Pro of the 32nd Conf on Decision and Con2 trol[C]. San Antonio ,USA. 1993 : 1739 - 1742. [ 6 ] HAO Ying. Sufficient condition on general fuzzy systems as function approximatiors [J ]. Automatic , 1994 , 30 (3) : 521 - 525. [7 ]曾 珂 , 徐文立 , 张乃尧. 特定 Mamdani 模糊系统的通 用逼近性[J ]. 控制与决策 ,2000 ,15 (4) :435 - 438. ZEN G Ke , ZHAN G Naiyao , XU Wenli. Universal ap2 proximation of special Mamdani fuzzy systems [J ]. Con2 trol & decision , 2000 , 15 (4) : 435 - 438. [8 ]MAO Zhihong , L I Yanda , ZHAN G Xuefeng. Approxi2 mation capability of fuzzy systems using translation and dilations of one fixed function as membership functions [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1997 , 5 (3) : 468 - 473. [9 ]毛志宏 ,张雪枫 ,李衍达. 模糊系统作为通用函数逼近器 研究[J ]. 中国科学( E 辑) ,1997 ,27 (4) :362 - 367. MAO Zhihong , ZHAN G Xuefeng , L I Yanda. Study on fuzzy systems as universal function approximators [J ]. China Science ( E) , 1997 , 27 (4) : 362 - 367. [10 ]李洪兴. 模糊系统的数学本质与一类高精度控制器的 设计[J ]. 控制理论与应用 ,1997 ,14 (6) :868 - 876. L I Hongxing. Mathematical essence of fuzzy systems and design of a kind of high accuracy controller [J ]. Control Theory & Application , 1997 , 14 ( 6) : 868 - 876. [11 ]李洪兴. 模糊控制的插值机理 [J ]. 中国科学 ( E 辑) , 1998 ,28 (3) :259 - 267 L I Hongxing. Interpolation mechanism of fuzzy control [J ]. China Science ( E) , 1998 , 28 (3) : 259 - 267. [12 ]张恩勤 ,施颂椒 ,翁正新. 采用三角型隶属函数的模糊 逻辑系统的插值特性[J ]. 自动化学报 ,27 (6) : 784 - 790. ZHAN G Enqin , SHI Songjiao , WEN G Zhengxin. Fuzzy systems using triangle MF as interpolation func2 tions [J ]. Automatic , 2001 , 27 (6) : 784 - 790. [13 ] HAO Ying. General SISO Takagi - Sugeno fuzzy sys2 tems with linear rule consequent are universal approxi2 mators [ J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1998 , 6 (4) : 582 - 587. [14 ] HAO Ying. General Takagi - Sugeno fuzzy systems with simplified linear rule consequent are universal con2 trollers , models and filters [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1998 (108) :91 - 107. [15 ]曾 珂 ,徐文立 ,张乃尧. 典型 T2S 模糊系统是通用逼 近器[J ]. 控制理论与应用 ,2001 ,18 (2) :294 - 297. ZEN G Ke , ZHAN G Naiyao , XU Wenli. Typical T2S fuzzy systems are universal approximators [J ]. Control ·32 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第1期 刘福才，等：模糊系统万能逼近理论研究综述 ·33 Theory Application,2001,18(2):294-297. Humans,1998,28(4):515-520. [16]曾珂，徐文立，张乃尧.线性下S模糊系统作为通用 [29]ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.A compara- 逼近器的充分条件U].自动化学报，2001,27(5)：606- tive study on sufficient conditions for Takagi-Sugeno 612. fuzzy systems as universal approximators [J ]IEEE ZEN G Ke,XU Wenli,ZHANG Naiyao.Sufficient con Transaction on Fuzzy Systems,2000,8(6):773-780. dition on the linear T-S fuzzy systems as universal ap- [30]曾珂，徐文立，张乃尧.模糊系统作为通用逼近器的 proximatiors [J].Acta Automatica Sinica.,2001,27 充分条件及其比较分析[A].智能控制和自动化第三次 (5):606-612. 世界会议[C].中国，合肥，2000. [17 CHEN Weitian.Sufficient conditions on fuzzy logic ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.Comparison controllers as universal approximators [J ]IEEE and analysis of sufficient conditions for fuzzy systems as Transaction on Systems Man and Cybernetics-Part B: universal approximators[A].Proc.3rd World Congress Cybernetics,2001,31(2):270-274. on Intelligent control and Automatic[C].Hefei,China, [18]WANG Hua'o,LI Jing,DAVID N,KAZUO T.T-S 2000. fuzzy model with linear rule consequence and PDC con [31]刘福才，邵慧.两类模糊系统作为通用逼近器的充分 troller:a universal framework for nonlinear control 条件的研究及分析U].模糊系统与数学，2006,20(5)： systems[A].IEEE Conf Fuzzy Systems[C].[s.I.] 101.106 2000 LIU Fucai,SHAO Hui.Study and analysis of sufficient [19]BUCKL EYJ J.Universal fuzzy controllers [J ]Auto- conditions for two class fuzzy systems as universal ap- matic,1992,28(6):1245-1248. proximators [J ]Fuzzy Systems and Mathematics, [20]BUCKL EY JJ.Sugeno type controllers are universal 2006,20(5):101·106. controllers [J ]Fuzzy Sets and Systems,1993 (53): [32]HAO Ying,CHEN Guanrong.Necessary conditions for 299.303. some typical fuzzy systems as universal approximators [21]CASTRO J L.Fuzzy logic controllers are universal ap- [U].Automatic,1997,33(7):1333.1338 proximators [J ]IEEE Transaction on Systems Man [33]DIN G Yongsheng,HAO Ying,SHAO Shihuang.Nec- and Cybernetics,1995,25(4):629-635. essary conditions for general MISO fuzzy systems as u [22]HUNG T,NGU YEN,VLADIK K,ONGARD S. niversal approximators[A].IEEE Conf Fuzzy Systems Fuzzy control as a universal control tool [J ]Fuzzy [C].Anchorage,USA.1997. Sets and Systems,1996,80:71-86. [34]HAO Ying,DING Yongsheng,LI Shaokuan,SHAO [23 ]WAN G Lixin.Universal approximation by hierarchical Shihuang.Comparison of necessary conditions for Typi- fuzzy systems[J ]Fuzzy Sets and Systems,1998,93: cal Takaqi-Sugeno and Mamdani fuzzy systems as uni- 223.230 versal approximators [J].IEEE Transaction on Sys [24 CAMPELLO R J B,AMARAL W C.Hierarchical tems Man and Cybernetics Part A:Systems and Hu fuzzy relational models:lingustic interpretation and mans,1999,29(5):508-514. uiversal approximation[A].IEEE Conf Fuzzy Systems [35 ]ZEN G Xiaojun,JOHN A,KEANE.Approximation ca- [C].Hawaii,USA.2002. pabilities of hierarchical fuzzy systems[J ]IEEE Trans- [25 ]BART K.Fuzzy systems as universal approximators action on Fuzzy Systems,2005,13(5):659-672. [A].IEEE Conf Fuzzy Systems[C].[s.I.],1992. [36]RICARDO J.CAMPELLO GB,WA GNER C.Hierar- [26JULIE A.DICKERSON,BART K.Fuzzy function ap- chical fuzzy relational models:linguistic interpretation proximation with ellipsoidal rules [A ]IEEE Conf and universal approximation[J ]IEEE Trans on Fuzzy Fuzzy Systems [C].New Orleans,Louisiana,USA. Systems,2006,14(3):446-453. 1996. [37]邱中华，李雷.D.C.隶属函数模糊集及其应用 「27]张恩勤，施颂椒，翁正新.模糊系统的函数逼近特性研 (D一D.C.隶属函数模糊集的万能逼近性[J].模 究U].模糊系统与数学，2000,14(2)：60.64. 糊系统与数学，2006,20(2)：50.60. ZHANG Enqin,SHI Songjiao,WENG Zhengxin. QIU Zhonghua,LI Lei.Fuzzy set based on D.C.mem- Study on fuzzy systems as universal approximators [J ] bership functions and its applications(II)universal ap- Fuzzy Systems Math,2000,14(2):60-64. proximation of D.C.membership function fuzzy sets [28]HAO Ying.Sufficient conditions on uniform approxi- [J].Fuzzy Systems and Mathematics,2006,20(2): mation of multivariate function by T-S fuzzy systems 50.60 with linear rule consequent [J ]IEEE Transaction on [38]张宇卓，李洪兴.广义递阶Mamdani模糊系统及其泛 Systems Man and Cybernetics Part A:Systems and 逼近性[J].控制理论与应用，2006,23(3)：450.454. 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
Theory & Application , 2001 , 18 (2) : 294 - 297. [16 ]曾 珂 ,徐文立 ,张乃尧. 线性 T2S 模糊系统作为通用 逼近器的充分条件[J ]. 自动化学报 ,2001 ,27 (5) :606 - 612. ZEN G Ke , XU Wenli , ZHAN G Naiyao. Sufficient con2 dition on the linear T2S fuzzy systems as universal ap2 proximatiors [J ]. Acta Automatica Sinica. , 2001 , 27 (5) : 606 - 612. [ 17 ] CHEN Weitian. Sufficient conditions on fuzzy logic controllers as universal approximators [ J ]. IEEE Transaction on Systems Man and Cybernetics - Part B : Cybernetics , 2001 , 31 (2) : 270 - 274. [18 ]WAN G Hua’o , L I Jing , DAVID N , KAZUO T. T2S fuzzy model with linear rule consequence and PDC con2 troller : a universal framework for nonlinear control systems[ A ]. IEEE Conf Fuzzy Systems[ C]. [ s. l. ] , 2000. [19 ]BUCKL EY J J. Universal fuzzy controllers [J ]. Auto2 matic , 1992 , 28 (6) : 1245 - 1248. [20 ]BUCKL EY J J. Sugeno type controllers are universal controllers [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1993 ( 53) : 299 - 303. [21 ]CASTRO J L. Fuzzy logic controllers are universal ap2 proximators [J ]. IEEE Transaction on Systems Man and Cybernetics , 1995 , 25 (4) : 629 - 635. [22 ] HUN G T , N GU YEN , VLADIK K , ON GARD S. Fuzzy control as a universal control tool [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1996 , 80 : 71 - 86. [23 ] WAN G Lixin. Universal approximation by hierarchical fuzzy systems[J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1998 , 93 : 223 - 230. [24 ] CAMPELLO R J B , AMARAL W C. Hierarchical fuzzy relational models: lingustic interpretation and uiversal approximation[ A ]. IEEE Conf Fuzzy Systems [C]. Hawaii , USA. 2002. [25 ] BART K. Fuzzy systems as universal approximators [ A ]. IEEE Conf Fuzzy Systems[C]. [s. l. ] ,1992. [ 26 ]J UL IE A. DICKERSON , BART K. Fuzzy function ap2 proximation with ellipsoidal rules [ A ]. IEEE Conf Fuzzy Systems [ C ]. New Orleans , Louisiana , USA. 1996. [27 ]张恩勤 ,施颂椒 ,翁正新. 模糊系统的函数逼近特性研 究[J ]. 模糊系统与数学 ,2000 ,14 (2) :60 - 64. ZHAN G Enqin , SHI Songjiao , WEN G Zhengxin. Study on fuzzy systems as universal approximators [J ]. Fuzzy Systems & Math , 2000 , 14 (2) : 60 - 64. [28 ] HAO Ying. Sufficient conditions on uniform approxi2 mation of multivariate function by T2S fuzzy systems with linear rule consequent [J ]. IEEE Transaction on Systems Man and Cybernetics2Part A : Systems and Humans , 1998 , 28 (4) : 515 - 520. [29 ] ZEN G Ke , ZHAN G Naiyao , XU Wenli. A compara2 tive study on sufficient conditions for Takagi2Sugeno fuzzy systems as universal approximators [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 2000 , 8 (6) : 773 - 780. [30 ]曾 珂 ,徐文立 ,张乃尧. 模糊系统作为通用逼近器的 充分条件及其比较分析[A ]. 智能控制和自动化第三次 世界会议[C]. 中国 ,合肥 ,2000. ZEN G Ke , ZHAN G Naiyao , XU Wenli. Comparison and analysis of sufficient conditions for fuzzy systems as universal approximators[A ]. Proc. 3rd World Congress on Intelligent control and Automatic[C]. Hefei , China , 2000. [31 ]刘福才 ,邵 慧. 两类模糊系统作为通用逼近器的充分 条件的研究及分析[J ]. 模糊系统与数学 , 2006 ,20 (5) : 101 - 106. L IU Fucai ,SHAO Hui. Study and analysis of sufficient conditions for two class fuzzy systems as universal ap2 proximators [ J ]. Fuzzy Systems and Mathematics , 2006 ,20 (5) :101 - 106. [32 ] HAO Ying , CHEN Guanrong. Necessary conditions for some typical fuzzy systems as universal approximators [J ]. Automatic , 1997 , 33 (7) : 1333 - 1338. [33 ]DIN G Yongsheng , HAO Ying , SHAO Shihuang. Nec2 essary conditions for general MISO fuzzy systems as u2 niversal approximators[ A ]. IEEE Conf Fuzzy Systems [C]. Anchorage , USA. 1997. [34 ] HAO Ying , DIN G Yongsheng , L I Shaokuan , SHAO Shihuang. Comparison of necessary conditions for Typi2 cal Takaqi - Sugeno and Mamdani fuzzy systems as uni2 versal approximators [J ]. IEEE Transaction on Sys2 tems Man and Cybernetics2Part A : Systems and Hu2 mans , 1999 , 29 (5) : 508 - 514. [35 ]ZEN G Xiaojun , JO HN A , KEAN E. Approximation ca2 pabilities of hierarchical fuzzy systems[J ]. IEEE Trans2 action on Fuzzy Systems , 2005 , 13 (5) : 659 - 672. [ 36 ]RICARDO J. CAMPELLO GB , WA GNER C. Hierar2 chical fuzzy relational models: linguistic interpretation and universal approximation [J ]. IEEE Trans on Fuzzy Systems , 2006 ,14 (3) :446 - 453. [37 ] 邱中华 , 李 雷. D. C. 隶属函数模糊集及其应用 (II) ———D. C. 隶属函数模糊集的万能逼近性[J ]. 模 糊系统与数学 ,2006 ,20 (2) :50 - 60. QIU Zhonghua , L I Lei. Fuzzy set based on D. C. mem2 bership functions and its applications( II) universal ap2 proximation of D. C. membership function fuzzy sets [J ]. Fuzzy Systems and Mathematics , 2006 , 20 ( 2) : 50 - 60. [38 ]张宇卓 , 李洪兴. 广义递阶 Mamdani 模糊系统及其泛 逼近性[J ]. 控制理论与应用 , 2006 , 23 (3) : 450 - 454. 第 1 期 刘福才 ,等 :模糊系统万能逼近理论研究综述 ·33 ·
·34· 智能系统学报 第2卷 ZHAN G Yuzhuo,LI Hongxing.Generalized hierarchi- [44]ZEN G XiaoJ un ,MADAN G.Singh.Approximation ac- cal Mamdani fuzzy systems and their universal approxi- curacy analysis of fuzzy systems as function approxima- mation[J ]Control Theory Application,2006,23 tors [J].IEEE Transaction on Fuzzy Systems,1996,4 (3):450.454. (1):44.63. [39]张化光，王智良，黎明，等.广义模糊双曲正切模型： [45]ZEN G XiaoJ un,MADAN G.Singh.A relationship be- 一个万能逼近器[J].自动化学报，2004,30(3)：416- tween membership functions and approximation accura- 422. cy in fuzzy system [J].IEEE Transaction on Fuzzy Sys ZHANG Huaguang,WANG Zhiliang,LI Ming,et al. tems,Man and Cybernetics-Part B:Cybernetics,1996, Generalized fuzzy hyperbolic model a universal ap- 26(1):176-180 proximator[J ]Acta Automatica Sinica,2004,30(3): [46]WAN G Lixin,CHEN Wei.Approximation accuracy of 416-422. some nuero-fuzzy approaches [J].IEEE Transaction on [40]孙多青，霍伟.具有任意形状隶属函数的分层模糊系 Fuzzy Systems,2000,8(4):470.478. 统逼近性能研究[J].控制理论与应用，2003,20(3)： 作者简介： 377.381. 刘福才，男，1966年生，博士，教 SUN Duoqing,HUO Wei.Study on universal approxi- 授.主要研究方向为模糊辨识与预测 mation of hierarchical fuzzy systems with arbitrary 控制、电力拖动及其计算机控制.编写 membership functions[J].Control Theory Applica- 《现代控制理论》、《交流伺服运动控制 tion,2003,20(3):377-381. 系统》、《非线性系统的模糊模型辨识及 [41]侯健，李洪兴，王加银.两类模糊系统具有插值性的 其应用》等书籍：发表论文90余篇 充要条件U],控制理论与应用，2006,23(2)：287- E mail Ife_xb @263.net. 291. HOU Jian,LI Hongxing,WAN G Jiayi.Sufficient and necessary conditions for fuzzy systems possessing inter- 陈超，女，1982年生，硕士研究 polation property[J ]Control Theory&Application, 生，主要研究方向为模糊辨识与模糊控 2006,23(2):287-291. 制 [42]刘慧林，冯汝鹏，胡瑞栋，等.模糊系统作为通用逼近器 的10年历程D].控制与决策，2004,19(4)：367.371. LIU Huilin,FENG Rupeng,HU Ruidong,et al.De- cennary development of fuzzy system s as universal ap- proximators[J].Control and Decision,2004,19(4): 邵慧，女，1980年生，硕士研究 367.371. 生，主要研究方向为信号的检测与处 [43 ]DING Yongsheng,HAO Ying,SHAO Shihuang.Nec- 理。 essary conditions on minimal system configuration for general MISO Mamdani fuzzy systems as universal ap- proximators [J ]IEEE Transaction on Systems Man and Cybernetics-Part B:Cybernetics,2000,30(6): 857-864. 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
ZHAN G Yuzhuo , L I Hongxing. Generalized hierarchi2 cal Mamdani fuzzy systems and their universal approxi2 mation[J ]. Control Theory & Application , 2006 , 23 (3) : 450 - 454. [39 ]张化光 ,王智良 ,黎 明 ,等. 广义模糊双曲正切模型 : 一个万能逼近器[J ]. 自动化学报 , 2004 ,30 (3) :416 - 422. ZHAN G Huaguang , WAN G Zhiliang , L I Ming , et al. Generalized fuzzy hyperbolic model : a universal ap2 proximator[J ]. Acta Automatica Sinica , 2004 ,30 (3) : 416 - 422. [40 ]孙多青 ,霍 伟. 具有任意形状隶属函数的分层模糊系 统逼近性能研究[J ]. 控制理论与应用 ,2003 , 20 (3) : 377 - 381. SUN Duoqing , HUO Wei. Study on universal approxi2 mation of hierarchical fuzzy systems with arbitrary membership functions[J ]. Control Theory & Applica2 tion , 2003 , 20 (3) : 377 - 381. [41 ]侯 健 ,李洪兴 ,王加银. 两类模糊系统具有插值性的 充要条件[J ]. 控制理论与应用 , 2006 , 23 (2) : 287 - 291. HOU Jian , L I Hongxing , WAN G Jiayi. Sufficient and necessary conditions for fuzzy systems possessing inter2 polation property [J ]. Control Theory & Application , 2006 , 23 (2) : 287 - 291. [42 ]刘慧林 ,冯汝鹏 ,胡瑞栋 ,等. 模糊系统作为通用逼近器 的 10 年历程[J ]. 控制与决策 , 2004 ,19 (4) :367 - 371. L IU Huilin , FEN G Rupeng , HU Ruidong , et al. De2 cennary development of fuzzy system s as universal ap2 proximators[J ]. Control and Decision , 2004 , 19 ( 4) : 367 - 371. [43 ]DIN G Yongsheng , HAO Ying , SHAO Shihuang. Nec2 essary conditions on minimal system configuration for general MISO Mamdani fuzzy systems as universal ap2 proximators [J ]. IEEE Transaction on Systems Man and Cybernetics —Part B : Cybernetics , 2000 , 30 ( 6) : 857 - 864. [44 ]ZEN G XiaoJ un ,MADAN G. Singh. Approximation ac2 curacy analysis of fuzzy systems as function approxima2 tors [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 1996 , 4 (1) : 44 - 63. [45 ]ZEN G XiaoJ un ,MADAN G. Singh. A relationship be2 tween membership functions and approximation accura2 cy in fuzzy system [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Sys2 tems ,Man and Cybernetics - Part B :Cybernetics , 1996 , 26 (1) : 176 - 180. [46 ]WAN G Lixin , CHEN Wei. Approximation accuracy of some nuero2fuzzy approaches [J ]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems , 2000 , 8 (4) : 470 - 478. 作者简介 : 刘福才 , 男 , 1966 年生 ,博士 ,教 授. 主要研究方向为模糊辨识与预测 控制、电力拖动及其计算机控制. 编写 《现代控制理论》《、交流伺服运动控制 系统》《、非线性系统的模糊模型辨识及 其应用》等书籍 ;发表论文 90 余篇. E2mail : lfc xb @263. net. 陈 超 , 女 , 1982 年生 ,硕士研究 生 ,主要研究方向为模糊辨识与模糊控 制. 邵 慧 ,女 , 1980 年生 ,硕士研究 生 ,主要研究方向为信号的检测与处 理. ·34 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷