第2卷第3期 智能系统学报 Vol.2 N23 2007年6月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jun.2007 四轮全方位移动机器人各向相异性研究 冷春涛，曹其新 (上海交通大学机器人研究所，上海200030) 摘要：由于全方位轮的特殊构造，使得全方位移动机器人沿不同方向运动时具有的最大速度不同，以及在不同方 向上的加速性能也不同，称之为各向相异性(anisotropy).为了充分发挥全方位移动机器人的优越性，通过对4轮全 方位移动机器人进行运动学动力学建模，分析了机器人各向相异性，确定了轮系布置与最大速度曲线的相关规律， 以及当机器人沿某一方向以一定加速度运动时，不同轮子上驱动电机所需提供的转矩，从而使得机器人加速运动时 更好地避免轮子打滑.并且通过MatlabrADAMS联合仿真以及实际实验，验证了分析结果的正确性.对机器人的各 向相异性作了全面系统的研究，从而更清楚地表述了模型特性，为更好地控制全方位移动机器人提供了基础 关键词：全方位移动机器人；全方位轮；相异性 中图分类号：TP24文献标识码：A文章编号：1673-4785(2007)03-004500 Anisotropy of 4-wheeled omnidirectionally mobile robots L EN G Chumtao,CAO Qi-xin (Research Institute of Robotics,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200030,China) Abstract:Due to the special structure of omnidirectional wheels,the maximum velocity that a robot can a- chieve is different when the robot moves in different directions,and acceleration in different directions also varies.This is called anisotropy.To understand issues with omnidirectionally mobile robots,kinematic and dynamic models were established and the effects of anisotropy discussed.The relationship between the arrangement of omnidirectional wheels and the curve of maximal velocity was then determined.In order to reduce the effects of slipping on results,values of torques were given on every wheel that was being driven while the robot moved in each direction with acceleration.Simulations by ADAMS and MA TLAB,and our experiments,verify the effectiveness of the theory.This thorough study of the anisotropy of omnidirec- tionally mobile robots provides a foundation for optimization of their control. Key words :omnidirectional mobile robot;omnidirectional wheel;anisotropy 轮式移动机器人由于控制简单、移动灵活，己经显的差异.文献[2·3]提出了当轮子速度相同，轮系 被广泛应用于人类的生产、生活实践中，全方位移动 布置不同时，全方位移动机器人速度将改变，因此可 机器人采用全方位轮这种特殊的驱动机构，在二维 以通过改变轮子的布置，来实现机器人速度的无级 平面上具有3个自由度，可以沿任意方向同时作平 变速：文献[4]则提出了当全方位机器人由不同数量 动与转动，在保持姿态不变的情况下，可以完成任意 轮子组成时，机器人所能达到的最大速度不同.而对 方向的移动，因此引起了研究人员的广泛关注，特别 模型进一步分析可知，由相同数量轮子组成的机器 是四轮全方位移动机器人在竞赛机器人山、服务机 人，当沿不同方向运动时，机器人也将体现出不同的 器人)领域中都有所应用 性能.虽然研究全方位移动机器人运动学的文献有 正是由于全方位轮的特殊构造，使得全方位移 很多5.)，但在建立模型的基础上并没有对运动性 动机器人的运动特性与传统轮式机器人相比有着明 能的各向相异性进行研究，因此文中通过建立4轮 全方位移动机器人的运动学模型，分析在4个全方 收稿日期：200607-26. 位轮的不同布置方式下，机器人各个方向上所能达 基金项目：因家自然科学基金资助项目(60443007) 到的最大速度，并推导出了最大速度曲线与轮子间 @1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 2 卷第 3 期 智 能 系 统 学 报 Vol. 2 №. 3 2007 年 6 月 CAA I Transactions on Intelligent Systems J un. 2007 四轮全方位移动机器人各向相异性研究 冷春涛 ,曹其新 (上海交通大学 机器人研究所 ,上海 200030) 摘 要 :由于全方位轮的特殊构造 ,使得全方位移动机器人沿不同方向运动时具有的最大速度不同 ,以及在不同方 向上的加速性能也不同 ,称之为各向相异性(anisotropy) . 为了充分发挥全方位移动机器人的优越性 ,通过对 4 轮全 方位移动机器人进行运动学、动力学建模 ,分析了机器人各向相异性 ,确定了轮系布置与最大速度曲线的相关规律 , 以及当机器人沿某一方向以一定加速度运动时 ,不同轮子上驱动电机所需提供的转矩 ,从而使得机器人加速运动时 更好地避免轮子打滑. 并且通过 Matlab2ADAMS 联合仿真以及实际实验 ,验证了分析结果的正确性. 对机器人的各 向相异性作了全面系统的研究 ,从而更清楚地表述了模型特性 ,为更好地控制全方位移动机器人提供了基础. 关键词 :全方位移动机器人 ;全方位轮 ;相异性 中图分类号 : TP24 文献标识码 :A 文章编号 :167324785 (2007) 0320045200 Anisotropy of 42wheeled omnidirectionally mobile robots L EN G Chun2tao , CAO Qi2xin (Research Institute of Robotics , Shanghai Jiaotong University , Shanghai 200030 , China) Abstract :Due to the special struct ure of omnidirectional wheels , t he maximum velocity t hat a robot can a2 chieve is different when t he robot moves in different directions , and acceleration in different directions also varies. This is called anisotropy. To understand issues wit h omnidirectionally mobile robots , kinematic and dynamic models were established and t he effects of anisotropy discussed. The relationship between t he arrangement of omnidirectional wheels and t he curve of maximal velocity was t hen determined. In order to reduce t he effects of slipping on results , values of torques were given on every wheel t hat was being driven while t he robot moved in each direction with acceleration. Simulations by ADAMS and MA TLAB , and our experiments , verify the effectiveness of the t heory. This t horough study of t he anisotropy of omnidirec2 tionally mobile robots provides a foundation for optimization of t heir control. Keywords :omnidirectional mobile robot ; omnidirectional wheel ; anisotropy 收稿日期 :2006207226. 基金项目 :国家自然科学基金资助项目(60443007) . 轮式移动机器人由于控制简单、移动灵活 ,已经 被广泛应用于人类的生产、生活实践中 ,全方位移动 机器人采用全方位轮这种特殊的驱动机构 ,在二维 平面上具有 3 个自由度 ,可以沿任意方向同时作平 动与转动 ,在保持姿态不变的情况下 ,可以完成任意 方向的移动 ,因此引起了研究人员的广泛关注 ,特别 是四轮全方位移动机器人在竞赛机器人[1 ] 、服务机 器人[ 2 ]领域中都有所应用. 正是由于全方位轮的特殊构造 ,使得全方位移 动机器人的运动特性与传统轮式机器人相比有着明 显的差异. 文献[ 2 - 3 ]提出了当轮子速度相同 ,轮系 布置不同时 ,全方位移动机器人速度将改变 ,因此可 以通过改变轮子的布置 ,来实现机器人速度的无级 变速 ;文献[ 4 ]则提出了当全方位机器人由不同数量 轮子组成时 ,机器人所能达到的最大速度不同. 而对 模型进一步分析可知 ,由相同数量轮子组成的机器 人 ,当沿不同方向运动时 ,机器人也将体现出不同的 性能. 虽然研究全方位移动机器人运动学的文献有 很多[5 - 6 ] ,但在建立模型的基础上并没有对运动性 能的各向相异性进行研究 ,因此文中通过建立 4 轮 全方位移动机器人的运动学模型 ,分析在 4 个全方 位轮的不同布置方式下 ,机器人各个方向上所能达 到的最大速度 ,并推导出了最大速度曲线与轮子间
·46 智能系统学报 第2卷 夹角的规律」 o°=Pr+V. 1) 一般在建立轮式移动机器人的动力学模型时， 式中：o为第i个全方位轮中心的速度，pr为与地面 为了简化计算，提高实时性，均假设驱动轮只滚不 相接触的从动轮的轴心速度，为点O,与P,的相 滑，即存在理想纯滚动下的非完整约束条件，如文献 对速度 [7]在不考虑打滑的情况下利用拉格朗日方程建立 动力学模型.但在实际运动过程中，轮子打滑现象往 往难以避免，纯滚动假设并不成立，在此基础上建立 的动力学模型也并不精确，从而影响了机器人的运 动轨迹规划和作业定位精度.为了提高模型的正确 性，文献[8]讨论了在打滑情况下，如何建立轮子滚 动方向和侧向的滑动摩擦力模型，而文献[9]提出采 用滑移率函数作为滑动摩擦系数，对机器人的滑动 进行建模.但在运动过程中加速阶段的打滑现象尤 图2全方位轮参数 其严重，很多文献并未对轮子加速时的动力学进行 Fig.2 Parameters of omnidirectional wheel 分析，文中引入驱动轮、从动轮的动力学模型，提出 设主动轮与从动轮的角速度矢量分别为：、 了一种基于车辆动力学理论1的动力学建模方法， ,它们有式2)的关系，而由式1)、(2)可推得式 并在此基础上分析为了减少轮子打滑，机器人各个 3).而由己知关系3)、(4)可最终推导得(5)，获得 方向上所能达到的最大加速度，以及当运动方向、加 主动轮中心的速度公式： 速度大小确定的情况下，各电机所需提供的转矩值」 ⊙a=k+6:,0p=4,E, (2) 1全方位轮 pr @p XQ:P,=-r(0T,+) (3) 式中：ω为机器人角速度，r为从动轮的半径，？表 全方位轮种类很多，文中以图1中所示模型 示主动轮的转速，$表示从动轮的转速： 为例进行讨论，它的组成是在轮毂的外缘上设置有 vi =@a XPiO =-0(R-r)T, (4) 可绕自己的轴旋转的辊子，且均匀分布于轮毂周围。 o°=-R0T:-F, (5) 这些辊子轴线(E)和轮毂轴线(S)的夹角a为90° 同时由于主动轮中心速度可以由机器人中心速 运动时轮毂是驱动机构，辊子是从动机构，因此在文 中主动轮由图1所示车轮轮毂与边沿辊子组成，从 度变量c和u表示，见式16,50 .由于辊 动轮为车轮辊子，主动轮、从动轮与地面接触点均为 子是随动的，并不由驱动器驱动，是非控制量，在运 辊子与地面的接触点 动分析时不考虑该速度，因此将式5)、(6)两边点 主动轮 乘E,将两式联立从而最终可导出式(7)，t目 为 运动旋量矢量 o=c+adi. (6) -R0:=kt,i=1,2,…n o 从动轮 0.≡[440l, J三R·1. (8) 图1全方位轮模型 现取式8)所示的定义，则可将4轮全方位机器 Fig.I Model of omnidirectional wheel 人的运动学模型表示成式9)所示的矩阵形式. 「 Ef d E 2全方位移动机器人速度分析 K≡ … 2.1运动学建模 LEiSd ET 为清楚的分析全方位移动机器人比传统轮式机 J0.=K (9) 器人具有的优越性，必须进行相关的运动学建 2.2最大速度分析 模).由如图2所示主动轮与从动轮的关系，可以 在绝大多数应用场合，如竞赛机器人，能够达到 得到式 多大的速度，是衡量系统设计优劣的一个标准 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
夹角的规律. 一般在建立轮式移动机器人的动力学模型时 , 为了简化计算 ,提高实时性 ,均假设驱动轮只滚不 滑 ,即存在理想纯滚动下的非完整约束条件 ,如文献 [7 ]在不考虑打滑的情况下利用拉格朗日方程建立 动力学模型. 但在实际运动过程中 ,轮子打滑现象往 往难以避免 ,纯滚动假设并不成立 ,在此基础上建立 的动力学模型也并不精确 ,从而影响了机器人的运 动轨迹规划和作业定位精度. 为了提高模型的正确 性 ,文献[ 8 ]讨论了在打滑情况下 ,如何建立轮子滚 动方向和侧向的滑动摩擦力模型 ,而文献[9 ]提出采 用滑移率函数作为滑动摩擦系数 ,对机器人的滑动 进行建模. 但在运动过程中加速阶段的打滑现象尤 其严重 ,很多文献并未对轮子加速时的动力学进行 分析 ,文中引入驱动轮、从动轮的动力学模型 ,提出 了一种基于车辆动力学理论[10 ]的动力学建模方法 , 并在此基础上分析为了减少轮子打滑 ,机器人各个 方向上所能达到的最大加速度 ,以及当运动方向、加 速度大小确定的情况下 ,各电机所需提供的转矩值. 1 全方位轮 全方位轮种类很多 ,文中以图 1 中所示模型[11 ] 为例进行讨论 ,它的组成是在轮毂的外缘上设置有 可绕自己的轴旋转的辊子 ,且均匀分布于轮毂周围 , 这些辊子轴线( Ei) 和轮毂轴线( S i) 的夹角α为 90°. 运动时轮毂是驱动机构 ,辊子是从动机构 ,因此在文 中主动轮由图 1 所示车轮轮毂与边沿辊子组成 ,从 动轮为车轮辊子 ,主动轮、从动轮与地面接触点均为 辊子与地面的接触点. 图 1 全方位轮模型 Fig. 1 Model of omnidirectional wheel 2 全方位移动机器人速度分析 2. 1 运动学建模 为清楚的分析全方位移动机器人比传统轮式机 器人具有的优越性 , 必须进行相关的运动学建 模[11 ] . 由如图 2 所示主动轮与从动轮的关系 ,可以 得到式 o·i = p·i + vi . (1) 式中 :o·i 为第 i 个全方位轮中心的速度 , p·i 为与地面 相接触的从动轮的轴心速度 , vi 为点 Oi 与 Pi 的相 对速度. 图 2 全方位轮参数 Fig. 2 Parameters of omnidirectional wheel 设主动轮与从动轮的角速度矢量分别为 ωd 、 ωp ,它们有式 (2) 的关系 ,而由式 (1) 、(2) 可推得式 (3) . 而由已知关系(3) 、(4) 可最终推导得(5) ,获得 主动轮中心的速度公式 : ωd = ωk +θ·iSi ,ωp = ωd , <·i Ei , (2) p·i = ωp ×Qi Pi = - r(θ·i Ti + <·i Fi) , (3) 式中 :ω为机器人角速度 , r 为从动轮的半径 ,θ·i 表 示主动轮的转速 , <·i 表示从动轮的转速 : vi = ωd ×PiOi = - θ·i ( R - r) Ti , (4) o·i = - Rθ·i Ti - r<·i Fi , (5) 同时由于主动轮中心速度可以由机器人中心速 度变量 c·和ω表示 ,见式 (6) ,ξ≡ 0 - 1 1 0 . 由于辊 子是随动的 ,并不由驱动器驱动 ,是非控制量 ,在运 动分析时不考虑该速度 <·i ,因此将式(5) 、(6) 两边点 乘 Ei ,将两式联立从而最终可导出式(7) , t ≡ ω c· 为 运动旋量矢量. o·= c·+ωξdi . (6) - Rθ·i = ki t , i = 1 ,2 , …, n. (7) θ·≡[θ·1 θ·2 θ·3 θ·4 ] , J ≡- R ·1 , (8) 现取式(8) 所示的定义 ,则可将 4 轮全方位机器 人的运动学模型表示成式(9) 所示的矩阵形式. K ≡ E T 1ξd1 E T 1 … … E T nξdn E T n , Jθ·= Kt . (9) 2. 2 最大速度分析 在绝大多数应用场合 ,如竞赛机器人 ,能够达到 多大的速度 ,是衡量系统设计优劣的一个标准. · 64 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第3期 冷春涛，等：四轮全方位移动机器人各向相异性研究 ·47· 针对全方位轮特殊的机构特性，对机器人系统 形，而四边形的各内角值即是各轮子中心与机器人 的最大速度进行相应的分析，可以更好地配置全方 中心连线的夹角值.根据该结论，只要确定该夹角值 位轮，以及使得设计的机器人能够达到所要求的速 便可以清楚的知道机器人沿不同方向所能达到的最 度提供依据，同时也为控制提供了更详细的模型特 大速度 性，因此它是全方位移动机器人系统研究中不可缺 1.5 最小夹角为3) 少的一个环节.本节只分析机器人只有线速度的情 夹角为6) 1.0 况 0.5 为分析方便将上述全方位移动机器人运动学方 0+ 程转化成式10)的形式： 0.5 10 ROr csin(B Y)+@di. (10) 为求得机器人在B方向上的最大速度，问题转 沿x方向的速度分量/m·s 化为求当B值一定时，上式中c的最大值.设M= sin(B.),且lM的最大值为列Mms,则机器人在 图4最大速度曲线 B方向上的最大速度VB=1/八Max(设每个轮子所 Fig.4 Curves of maximal velocity 能提供的最大速度为1m/s. 但上述结论只是根据运动学关系求解出的速 当机器人沿B方向运动时，由三角函数性质可 度性能，由动力学特性知，当轮子中心与机器人中心 知，要求！M的最大值，即求出i值，使得B.Y与 连线的夹角值过小时，在最大速度的方向上机器人 Y轴的夹角最小，因此i必须满足不等式(11)，此时 的驱动能力较弱，并不能无限制的缩小夹角而达到 i即为确定机器人最大速度的轮子序号，即第ⅰ个轮 增大速度的效果，从而使得在设计机器人时在考虑 子转速最快，已知i为整数，即可求出i=i',此时机 运动学的同时必须考虑动力学特性，以获得最优性 器人在该方向上的最大速度为VB=1/八sin(B- 能 )川.其中4个全方位轮最小夹角为6 0-+/2|≤A, 3全方位移动机器人动力学特性 (11) |0.出+3/21≤A. 3.1单个轮子动力学模型 式中：A=m-/2. 基于车辆动力学理论，当全方位移动机器人 根据以上分析，当每个轮子的最大速度为1m/s 加速运动时，驱动轮与地面的接触变形所产生的切 时，机器人在任一方向的最大速度V®都可以求解. 向力是车辆或移动机器人运动的牵引驱动力.只要 当机器人轮子布置如图3所示时，为了清楚的分析 轮子和地面间的接触区域，即轮子接地印迹上承受 轮子安装位置对机器人运动速度的影响，得到更一 切向力，就会出现不同程度的打滑，因此严格来讲理 般性的结论，将各方向的V分别求解后画出机器人 想纯滚动假设条件并不符合实际情况.将加速过程 沿不同方向运动时所能达到的最大速度曲线（如图 中的车轮的打滑减少到最少是机器人运动控制的目 4),图中C为机器人中心，V的长度即为机器人沿B 标，而对单个轮子进行动力学分析是前提 方向运动时所能达到的最大速度值 4 2 90 (a)驱动轮 (b)从动轮 (a)最小夹角90 (b)最小夹角为60° (c)最小夹角为30° 图5单个车轮动力学分析 图3四轮机器人轮系布置示意图 Fig.5 Dynamics modeling of single wheel Fig.3 Arrangement of wheels of 4-wheeled robot 图5中分别是驱动轮、从动轮在加速过程中的 通过分析可知如下规律：当单个轮子最大速度 受力图，.各参数说明如下：Pa、Pp为驱动轮从动 为1m/s时，4轮全方位移动机器人沿不同方向运 轮上的载荷，F弘、Fp为地面对驱动轮从动轮的法向 动所能达到的最大速度值曲线为单位圆的外接四边 反作用力，Fa、Fp表示作用在驱动轮从动轮上的 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
针对全方位轮特殊的机构特性 ,对机器人系统 的最大速度进行相应的分析 ,可以更好地配置全方 位轮 ,以及使得设计的机器人能够达到所要求的速 度提供依据 ,同时也为控制提供了更详细的模型特 性 ,因此它是全方位移动机器人系统研究中不可缺 少的一个环节. 本节只分析机器人只有线速度的情 况. 为分析方便将上述全方位移动机器人运动学方 程转化成式(10) 的形式 : Rθ·i = c·sin (β- γi) +ωd i . (10) 为求得机器人在β方向上的最大速度 ,问题转 化为求当β值一定时 ,上式中 c·的最大值. 设 Mi = sin (β- γi) ,且| Mi | 的最大值为| Mi | max ,则机器人在 β方向上的最大速度 V βc = 1/ | Mi | max (设每个轮子所 能提供的最大速度为 1 m/ s) . 当机器人沿β方向运动时 ,由三角函数性质可 知 ,要求| Mi | 的最大值 ,即求出 i 值 ,使得β- γi 与 Y 轴的夹角最小 ,因此 i 必须满足不等式(11) ,此时 i 即为确定机器人最大速度的轮子序号 ,即第 i 个轮 子转速最快 ,已知 i 为整数 ,即可求出 i = i′,此时机 器人在该方向上的最大速度为 V βc = 1/ | sin (β- γi) | . 其中 4 个全方位轮最小夹角为δ. | θ- γi +π/ 2 | ≤A , | θ- γi + 3π/ 2 | ≤A . (11) 式中 :A = (π- δ) / 2. 根据以上分析 ,当每个轮子的最大速度为1 m/ s 时 ,机器人在任一方向的最大速度 V βc 都可以求解. 当机器人轮子布置如图 3 所示时 ,为了清楚的分析 轮子安装位置对机器人运动速度的影响 ,得到更一 般性的结论 ,将各方向的 V βc 分别求解后画出机器人 沿不同方向运动时所能达到的最大速度曲线 (如图 4) ,图中 C为机器人中心 ,V βc 的长度即为机器人沿β 方向运动时所能达到的最大速度值. 图 3 四轮机器人轮系布置示意图 Fig. 3 Arrangement of wheels of 42wheeled robot 通过分析可知如下规律 :当单个轮子最大速度 为 1 m/ s 时 ,4 轮全方位移动机器人沿不同方向运 动所能达到的最大速度值曲线为单位圆的外接四边 形 ,而四边形的各内角值即是各轮子中心与机器人 中心连线的夹角值. 根据该结论 ,只要确定该夹角值 便可以清楚的知道机器人沿不同方向所能达到的最 大速度. 图 4 最大速度曲线 Fig. 4 Curves of maximal velocity 但上述结论只是根据运动学关系求解出的速 度性能 ,由动力学特性知 ,当轮子中心与机器人中心 连线的夹角值过小时 ,在最大速度的方向上机器人 的驱动能力较弱 ,并不能无限制的缩小夹角而达到 增大速度的效果 ,从而使得在设计机器人时在考虑 运动学的同时必须考虑动力学特性 ,以获得最优性 能. 3 全方位移动机器人动力学特性 3. 1 单个轮子动力学模型 基于车辆动力学理论[10 ] ,当全方位移动机器人 加速运动时 ,驱动轮与地面的接触变形所产生的切 向力是车辆或移动机器人运动的牵引驱动力. 只要 轮子和地面间的接触区域 ,即轮子接地印迹上承受 切向力 ,就会出现不同程度的打滑 ,因此严格来讲理 想纯滚动假设条件并不符合实际情况. 将加速过程 中的车轮的打滑减少到最少是机器人运动控制的目 标 ,而对单个轮子进行动力学分析是前提. 图 5 单个车轮动力学分析 Fig. 5 Dynamics modeling of single wheel 图 5 中分别是驱动轮、从动轮在加速过程中的 受力图[10 ] . 各参数说明如下 : Pd 、Pp 为驱动轮从动 轮上的载荷 , FZd 、FZp为地面对驱动轮从动轮的法向 反作用力 , FXd 、FXp 表示作用在驱动轮从动轮上的 第 3 期 冷春涛 ,等 :四轮全方位移动机器人各向相异性研究 · 74 ·
·48· 智能系统学报 第2卷 地面切向反作用力，Fa、Fn为驱动轮从动轮滚动阻 mRxc=(Fx Fxas)sin(a-0 +(Fxa 力（未在图中画出），且滚动阻力F,=fRF:,fR为滚 Fxa)sin(a+0-(Fxp2 Fxps)cos(a- 动阻力系数，FM、Fm是驱动轴从动轴作用于驱动轮 0-(Fxpl +Fxps)cos(a+0, 从动轮的平行于地面的力，Ma、M是驱动轮从动 mRye=(Fxa Fxa)cos(a-0-(Fxa 轮滚动阻力偶矩，在机器人载荷一定的情况下，近似 Fxas)cos(a++(Fxp2 Fxp)sin(a- 不变.(、6为驱动轮从动轮的角加速度，aa、ap为 0-(Fxpt Fxps)sin(a+0. 驱动轮从动轮轴心平行于地面的加速度，J:、J。分 14 别为主动轮与从动轮的转动惯量，T为电机作用于 3.3机器人各向最大加速度 驱动轮的转矩，ea、ep是由于轮子与地面之间的印迹 打滑现象容易出现在轮子加速阶段，因此当机 表面上存在着压力分布问题，而使得地面对轮子法 器人向某一方向运动时，为了避免发生打滑，必须明 向反作用力偏移的距离， 确知道沿该方向运动时所能达到的最大加速度以及 根据图5所示受力情况，驱动轮与从动轮的动 此时所对应各电机的转矩， 力学模型1分别如式12)、(13)所示。 如3.1节中所述，当转矩T过大时，轮子就会打 maad Fxd-Fpd, 滑，但由于在实际情况中驱动轮与从动轮都可能打 JaEd T-(Fxa Frd)r. 12) 滑，因此下面将分析2种极限情况下，机器人所能达 mpap Frp-Fxp, 到的最大加速度 Jpep=(Fxp-Fp)·r (13) 由于机器人的对称性，只分析0≤B90的情 地面对轮子切向反作用力F:的极限值称为附 况，B是在局部坐标系/c,X,Y}中机器人的运动方 着力F,且F=Fz中，中为附着系数，它是由地面与 位角.首先分析BF如，Fx4.> (x,y为机器人中心位置坐标 Ff时，aB.>aax mRapl Fxa sin(2a)Fxas sin(2a)- Fxp2coS(2)-Fxpcos(2a)-Fxpl-Fxp3, (15) mRap Fxa sin(20)Fxas sin(2a)- Fxp2-Fxp4-Fxpi c0s2四-Fxps COS(2四 (16) aa=ad=aesin(a-月， apt=ap3=aRCOS(a.月， 17) 图6全方位移动机器人运动坐标系统 aa=aw=aesin(a+月， Fig.6 Omnidirectional mobile robots ap=aA=acos(a+月 moving coordinate system (Ere Exa)sin(2a)-2cos(2a Etn2-2 Fcl a时= mc0s(a-月+2cos(2gJ2c0s1a+月/2+2 Jpicos(a-月/2 (18) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
地面切向反作用力 , Ff d 、Ff p为驱动轮从动轮滚动阻 力(未在图中画出) ,且滚动阻力 Ff = f R Fz , f R 为滚 动阻力系数 , F Pd 、F Pp是驱动轴从动轴作用于驱动轮 从动轮的平行于地面的力 , MPd 、MPp 是驱动轮从动 轮滚动阻力偶矩 ,在机器人载荷一定的情况下 ,近似 不变.ε1 、ε2 为驱动轮从动轮的角加速度 , a d 、a p 为 驱动轮从动轮轴心平行于地面的加速度 , J d 、J p 分 别为主动轮与从动轮的转动惯量 , T 为电机作用于 驱动轮的转矩 , ed 、ep 是由于轮子与地面之间的印迹 表面上存在着压力分布问题 ,而使得地面对轮子法 向反作用力偏移的距离. 根据图 5 所示受力情况 ,驱动轮与从动轮的动 力学模型[10 ]分别如式(12) 、(13) 所示. md a d = FXd - F Pd , J dεd = T - ( FXd + Ff d ) r. (12) mp a p = F Pp - FXp , J pεp = ( FXp - Ff p ) ·r. (13) 地面对轮子切向反作用力 Fx 的极限值称为附 着力 Fφ ,且 Fφ = FZφ,φ为附着系数 ,它是由地面与 轮子决定的 ,所以地面切向反作用力不可能大于附 着力 ,由式(12) 可知 , a d 有一极限值 ,当电机转矩 T 过大时 ,使得附着力提供的轮子中心的最大加速度 小于由 T作用而产生的加速度 ,即 a dmax Fφd2 , FXd4 - > Fφd4时, aRβ- > aRβmax . mR a p1 = FXd2 sin (2α) + FXd4 sin (2α) - FXp2 cos(2α) - FXp4 co s(2α) - FXp1 - FXp3 , (15) mR a p2 = FXd1 sin (2α) + FXd3 sin (2α) - FXp2 - FXp4 - FXp1 cos(2α) - FXp3 cos(2α) . (16) a d1 = a d3 = aRβsin (α- β) , a p1 = a p3 = aRβcos(α- β) , a d2 = a d4 = aRβsin (α+β) , a p2 = a p4 = aRβcos(α+β) . (17) a Rβ = ( FXd2 + FXd2 ) sin (2α) - 2cos(2α) Ff p2 - 2 Ff p1 mcos(α- β) + 2cos(2α) J p2 cos(α+β) / r 2 + 2J p1 cos(α- β) / r 2 . (18) · 84 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第3期 冷春涛，等：四轮全方位移动机器人各向相异性研究 ·49· 现在分析当T足够大，从动轮先于驱动轮打滑 ■55 的情况.从图6中加速度的关系知，从动轮13比从 5.0 动轮24容易打滑，即作用于从动轮1、3的地面切 45 向反作用力先达到附着力F 4.0 根据式13)可以得到从动轮打滑时的最大角加 35 3.0 速度，如式19)、(20)，而此时机器人的加速度即最 25 大加速度 100 2.0 Eplmax (Fpl Efpl)r Jp, (19) 加速度/ms22 0 a 'gfmax Eplmax r/cos(aB. 20 由经验数据以及实际测试可知，a网ax<a'Aax, 图7第13轮电机转矩值 即当转矩T足够大时，主动轮先打滑.而由式(12)， Fig.7 The torque of Ith and 3th motor 可以得到各电机此时的转矩T: Tan3max Jaarmax sin(a-B/R+(Fxa Fr)R, Te4max=Ja脶x Sin(a+月/R+(F+Fn)R 21) 其中由于对称性Fx=FxB,而其大小可由 (16)获得. 以上分析是B<a时的情况，同理可得B在其他 60 加速度/ms22 40 范围内时a网mx、Ta3mx、T4mx的值，由于篇幅限制， 20 0 在此不再阐述 3.4电机转矩分析 图8第2、4轮电机转矩值 打滑现象在机器人加速阶段尤为突出，各电机 Fig.8 The torque of 2th and 4th motor 转矩的不协调，必然导致机器人的打滑，因此对机器 人加速时各电机转矩关系进行分析非常重要.下面 4 仿真分析与实验结果 将分析当机器人沿某一方向以某一加速度运动时， 本节首先通过ADAMS-Matlab联合仿真，验 各电机转矩的大小 证以上分析结果.在ADAMS中建立如图9所示的 当B<a时，机器人加速度小于amas,主动轮与 四轮全方位移动机器人模型（轮系布置方式如图3 从动轮均不打滑.由式(I3)可知Fxp1、F2的大小， (b)所示)，确定输入输出变量.而后在Matlab中建 将其代入22)、23)可得Fxa、Fxn,再将它们代入 立控制模型，这里采用简单的单个轮子的PD控 (12)便可以得到电机所需提供的转矩Tm3、T4(如 制，整个控制结构框图如图10所示 式24、(25) Fxn =Fw2+Exeicos2a)+macos(aB sin(2a) (22) FR=Eans2a+EaL+0sa.月⊥ sin(2a) 23) Tas Jaasin(a-B/R Fxan R/2 Fra,(24) T2A JaaRasin(a+B/R+Fxa R/2 F.(25) 图9 ADAMS建模 同理，可分别求得a<B<90°.a、90°.a<B< Fig.9 ADAMS modeling 90情况下Tm3、T24的值.图7、8分别所示为当时 0°孕90°，Tn3、T4的值.其中各参数值定义为：机 首先测试当机器人轮子最大速度为1m/s时， 器人重量P=196N,R=0.09m,r=0.0125m, 机器人各向最大速度值.为减少循环次数，每10°离 fR=0.2,φ=1.0，Jp=5.235×107kg2,Ja= 散采样一个测试点，轮子速度变化间隔为0.1mls. 3.669 X10*3 kg2,Fid=Fip =9.8N.Fi Fap =49 N. 此时输入模块中各轮输入量为转速，ADAMS模型 输入输出均为各轮转速，输出模块为机器人速度.最 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
现在分析当 T 足够大 ,从动轮先于驱动轮打滑 的情况. 从图 6 中加速度的关系知 ,从动轮 1、3 比从 动轮 2、4 容易打滑 ,即作用于从动轮 1、3 的地面切 向反作用力先达到附着力 Fφ. 根据式(13) 可以得到从动轮打滑时的最大角加 速度 ,如式(19) 、(20) ,而此时机器人的加速度即最 大加速度. εp1max = ( Fφp1 - Ff p1 ) r/ J p , (19) a′Rβmax =εp1max r/ cos(α- β) . (20) 由经验数据以及实际测试可知 , a Rβmax < a′Rβmax , 即当转矩 T足够大时 ,主动轮先打滑. 而由式(12) , 可以得到各电机此时的转矩 T: Td13max = J d a Rβmax sin (α- β) / R + ( FXd1 + Ff d1 ) R , Td24max = J d a Rβmax sin (α+β) / R + ( Fφd2 + Ff d2 ) R. (21) 其中由于对称性 FXd1 = FXd3 , 而其大小可由 (16) 获得. 以上分析是β<α时的情况 ,同理可得β在其他 范围内时 a Rβmax 、Td13max 、Td24max的值 ,由于篇幅限制 , 在此不再阐述. 3. 4 电机转矩分析 打滑现象在机器人加速阶段尤为突出 ,各电机 转矩的不协调 ,必然导致机器人的打滑 ,因此对机器 人加速时各电机转矩关系进行分析非常重要. 下面 将分析当机器人沿某一方向以某一加速度运动时 , 各电机转矩的大小. 当β<α时 ,机器人加速度小于 aRβmax ,主动轮与 从动轮均不打滑. 由式 (13) 可知 FXp1 、FXp2 的大小 , 将其代入(22) 、(23) 可得 FXd1 、FXd2 ,再将它们代入 (12) 便可以得到电机所需提供的转矩 Td13 、Td24 (如 式(24) 、(25) ) . FXd1 = ( FXp2 + FXp1 co s(2α) + mR a Rβcos(α+β) ) sin (2α) , (22) FXd2 = ( FXp2 cos(2α) + FXp1 + mR a Rβcos(α- β) ) sin (2α) , (23) Td13 = J d a Rβsin (α- β) / R + FXd1 R/ 2 + Ff d1 , (24) Td24 = J d a Rβsin (α+β) / R + FXd2 R/ 2 + Ff d2 . (25) 同理 ,可分别求得α<β< 90°- α、90°- α<β< 90°情况下 Td13 、Td24 的值. 图 7、8 分别所示为当时 0°≤β≤90°, Td13 、Td24的值. 其中各参数值定义为 :机 器人重量 P = 196 N , R = 0109 m , r = 01012 5 m , f R = 012 ,φ= 110 , J p = 51235 ×10 - 7 kg 2 , J d = 31669 ×10 - 3 kg 2 , Ff d = Ff p = 918 N , Fφd = FφP = 49 N. 图 7 第 1、3 轮电机转矩值 Fig. 7 The torque of 1th and 3th motor 图 8 第 2、4 轮电机转矩值 Fig. 8 The torque of 2th and 4th motor 4 仿真分析与实验结果 本节首先通过 ADAMS - Matlab 联合仿真 ,验 证以上分析结果. 在 ADAMS 中建立如图 9 所示的 四轮全方位移动机器人模型 (轮系布置方式如图 3 (b) 所示) ,确定输入输出变量. 而后在 Matlab 中建 立控制模型 ,这里采用简单的单个轮子的 PID 控 制 ,整个控制结构框图如图 10 所示. 图 9 ADAMS 建模 Fig. 9 ADAMS modeling 首先测试当机器人轮子最大速度为 1 m/ s 时 , 机器人各向最大速度值. 为减少循环次数 ,每 10°离 散采样一个测试点 ,轮子速度变化间隔为011 m/ s. 此时输入模块中各轮输入量为转速 ,ADAMS 模型 输入输出均为各轮转速 ,输出模块为机器人速度. 最 第 3 期 冷春涛 ,等 :四轮全方位移动机器人各向相异性研究 · 94 ·
·50 智能系统学报 第2卷 终通过循环测试，机器人各向最大速度值如图11所 0.7 ·仿直轨迹 示 实验轨迹 0.6 一H标轨迹 输入模块 PID控制模块ADAMS模型 输出模块 0.5 轮1 PID 0.4 机器人速度 轮2 PID 0.3 机器人X坐标 3 PID 01 机器人Y坐标 轮4 PID 0.10.2030.40.50.60.7 X方向位移m 图12加速运动轨迹分析 图10控制结构框图 Fig.12 Tracking with accelerated motion Fig.10 Control system diagram 1.5 ·仿直数据 实验数据 自 1.0 理论分析数据 0.5 0.5 -10 -152-13-1.0-0.500的101内Z.0 图13四轮全方位移动机器人实物图 沿x方向的速度分量/ms Fig.13 4-wheeled omnidirectional robot 由图可知，仿真与实验结果与上文分析数据 图11最大速度仿真分析 基本符合，从而验证了机器人各向最大速度曲线 Fig.11 Simulation analysis of maximal velocity 以及各轮子转矩值分析的正确性.但上述结果与 根据3.4节所设参数值，机器人以1mls2加速 理想值仍存在一定误差，分析原因主要是对于实 度沿B=45°方向直线运动，输入模块中各轮输入量 际机器人，很难精确确定3.4节各参数值，同时由 为转矩，ADAMS模型输入也为各轮转矩，输出为各 于实验场地的不确定性等因素的存在，都对实验 轮转速，输出模块为机器人轨迹.电机转矩按3.4节 产生影响 结论计算出的、4加载.图12所示为机器人的 5结束语 运动轨迹，由图可知，机器人由正确的转矩值驱动 时，几乎没有打滑 文中分析了四轮全方位移动机器人在轮子不同 上海交通大学机器人研究所实际研制开发了四 布置方式下，沿任意方向运动时所能达到的最大速 轮全方位移动机器人，具体结构如图13所示，轮系 度，并提出了各方向上最大速度与轮子间夹角相关 布置与仿真分析中模型相同.为了进一步验证上述 的规律，从而为今后更好地设计全方位移动机器人 分析结果的正确性，做了以下实验：首先测试了机器 驱动机构提供了基础.同时基于车辆动力学理论，提 人实际各向所能达到的最大速度，实验方法为：根据 出了单个驱动轮、从动轮动力学建模方法，分析得出 运动方程确定好的各轮速度关系，将转速最快的那 了机器人各向最大加速度，以及当机器人按要求沿 个轮子速度设为1m/s,利用里程计记录数据测试 某一方向以某一加速度运动时各电机所需提供的转 机器人所能达到的速度.其次是测试在加速阶段直 矩值，从而为机器人在加速阶段减少轮子打滑提供 线轨迹跟踪情况，实验方法与仿真相同，各轮电机转 理论依据 矩均按分析结果加载，机器人运动过程中记录坐标 今后的研究将进一步精确机器人各参数值，根 值.为防止打滑现象造成里程计数据错误，所有数据 据全方位移动机器人运动学、动力学方面的各向相 均为多次实验的平均值.为方便比较，最后实验数据 异性，对运动控制、路径规划等算法进行优化设计， 与仿真数据共同表示在图11、图12中 并通过实际实验完善以上分析结果 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
终通过循环测试 ,机器人各向最大速度值如图 11 所 示. 图 10 控制结构框图 Fig. 10 Control system diagram 图 11 最大速度仿真分析 Fig. 11 Simulation analysis of maximal velocity 根据 3. 4 节所设参数值 ,机器人以 1 m/ s 2 加速 度沿β= 45°方向直线运动 ,输入模块中各轮输入量 为转矩 ,ADAMS 模型输入也为各轮转矩 ,输出为各 轮转速 ,输出模块为机器人轨迹. 电机转矩按 3. 4 节 结论计算出的 T13 、T24 加载. 图 12 所示为机器人的 运动轨迹 ,由图可知 ,机器人由正确的转矩值驱动 时 ,几乎没有打滑. 上海交通大学机器人研究所实际研制开发了四 轮全方位移动机器人 ,具体结构如图 13 所示 ,轮系 布置与仿真分析中模型相同. 为了进一步验证上述 分析结果的正确性 ,做了以下实验 :首先测试了机器 人实际各向所能达到的最大速度 ,实验方法为 :根据 运动方程确定好的各轮速度关系 ,将转速最快的那 个轮子速度设为 1 m/ s ,利用里程计记录数据测试 机器人所能达到的速度. 其次是测试在加速阶段直 线轨迹跟踪情况 ,实验方法与仿真相同 ,各轮电机转 矩均按分析结果加载 ,机器人运动过程中记录坐标 值. 为防止打滑现象造成里程计数据错误 ,所有数据 均为多次实验的平均值. 为方便比较 ,最后实验数据 与仿真数据共同表示在图 11、图 12 中. 图 12 加速运动轨迹分析 Fig. 12 Tracking with accelerated motion 图 13 四轮全方位移动机器人实物图 Fig. 13 42wheeled omnidirectional robot 由图可知 ,仿真与实验结果与上文分析数据 基本符合 ,从而验证了机器人各向最大速度曲线 以及各轮子转矩值分析的正确性. 但上述结果与 理想值仍存在一定误差 ,分析原因主要是对于实 际机器人 ,很难精确确定 3. 4 节各参数值 ,同时由 于实验场地的不确定性等因素的存在 ,都对实验 产生影响. 5 结束语 文中分析了四轮全方位移动机器人在轮子不同 布置方式下 ,沿任意方向运动时所能达到的最大速 度 ,并提出了各方向上最大速度与轮子间夹角相关 的规律 ,从而为今后更好地设计全方位移动机器人 驱动机构提供了基础. 同时基于车辆动力学理论 ,提 出了单个驱动轮、从动轮动力学建模方法 ,分析得出 了机器人各向最大加速度 ,以及当机器人按要求沿 某一方向以某一加速度运动时各电机所需提供的转 矩值 ,从而为机器人在加速阶段减少轮子打滑提供 理论依据. 今后的研究将进一步精确机器人各参数值 ,根 据全方位移动机器人运动学、动力学方面的各向相 异性 ,对运动控制、路径规划等算法进行优化设计 , 并通过实际实验完善以上分析结果. · 05 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第3期 冷春涛，等：四轮全方位移动机器人各向相异性研究 ·51 wheels[A].7th International Conference on Control, 参考文献： Automation,Robotics and Vision[C].Singapore,2002. [1]HE Zhenfeng,L IN Lanfen,MA Xueying.Design,mod- [7]VIBOONCHAICHEEP P,SHIMADA A,KOSAKA Y eling and trajectory generation of a kind of four wheeled et al.Rectification control for mecanum wheeled omnidi- omnidirectional vehicle[A].IEEE International Confer- rectional vehicles [A].The 29th Annual Conference of ence on systems,Man and Cyberneties [C].Hague, the IEEE[C].Virginia,USA,2003. Netherland.2004,. (8]WILLIAMS RL,CARTER B E,GALL INA P.Dynam- [2]WADA M,ASADA HH.Design and control of a varia- ic model with slip for wheeled omnidirectional robots[J]. ble footprint mechanism for holonomic omnidirectional IEEE transactions on robotics and automation,2002,18 vehicles and its application to wheelchairs [J ]IEEE (3):285.293. Transactions on Robotics and Automation,1999,15(6): [9]BALA KRISHNA R,GHOSAL A.Modeling of slip for 978.989. wheeled mobile robots[J ]IEEE Transactions on Robot- [3]SON GJ B,BYUN K S.Design and control of a four- ics and Automation,1995,11(1):126-132. Wheeled omnidirectional mobile robot with steerable om- [10]余志生.汽车理论[M们.北京：机械工业出版社，1990. nidirectional wheels [J ]Journal of Robotic Systems, [11 ]AN GEL ES J.Fundamentals of robotic mechanical sys- 2004,21(4):193-208. tems:Theory,methods,and algorithms:2nd Ed[M]. [4]ASHMORE M,BARNES N.Omni-drive robot motion New York:Springer-Verlag,2003. on curved paths:the fastest path between two points is 作者简介： not a straight-line[A].Proc Australian Joint Conference 冷春涛，男，1981年生，博士研究生， on Artificial Intelligence [C ]Canberra,Australia, 主要研究方向为机器人、智能控制. 2002. Email ctleng @sjtu.edu.cn. [5]张翻，熊蓉等，褚健，等.一种全方位移动机器人的运 动分析与控制实现[J].浙江大学学报（工学版），2004,38 (12):1650.1653. ZHANG He,XIONG Rong,CHU Jian,et al.Motion a nalysis and control realization of omnidirectional robot [J ]Journal of Zhejiang University Engineering Sci- 曹其新，男，1960年生，教授，博士生 ence),2004,38(12):1650.1653. 导师，现任上海交通大学机器人研究所 [6]L EOW Y P,LOW K H,LOH W K.Kinematic model- 常务副所长.主要研究方向为机器视觉与 ling and analysis of mobile robots with omni-directional 模式识别、异构多机器人的协作与控制. E mail qxcao @sjtu.edu.cn. 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
参考文献 : [1 ] HE Zhenfeng , L IN Lanfen , MA Xueying. Design , mod2 eling and trajectory generation of a kind of four wheeled omni2directional vehicle[ A ]. IEEE International Confer2 ence on systems , Man and Cyberneties [ C ]. Hague , Netherland. 2004 ,. [2 ]WADA M , ASADA H H. Design and control of a varia2 ble footprint mechanism for holonomic omnidirectional vehicles and its application to wheelchairs [J ]. IEEE Transactions on Robotics and Automation , 1999 , 15 (6) : 978 - 989. [3 ]SON G J B , B YUN K S. Design and control of a four2 Wheeled omnidirectional mobile robot with steerable om2 nidirectional wheels [J ]. Journal of Robotic Systems , 2004 , 21 (4) :193 - 208. [4 ] ASHMORE M , BARNES N. Omni2drive robot motion on curved paths: the fastest path between two points is not a straight2line[ A ]. Proc Australian Joint Conference on Artificial Intelligence [ C ]. Canberra , Australia , 2002. [5 ]张 翮 ,熊蓉等 ,褚 健 ,等. 一种全方位移动机器人的运 动分析与控制实现[J ]. 浙江大学学报(工学版) ,2004 ,38 (12) :1650 - 1653. ZHAN G He , XION G Rong , CHU Jian , et al. Motion a2 nalysis and control realization of omnidirectional robot [J ]. Journal of Zhejiang University ( Engineering Sci2 ence) , 2004 , 38 (12) :1650 - 1653. [6 ]L EOW Y P , LOW K H , LO H W K. Kinematic model2 ling and analysis of mobile robots with omni2directional wheels [ A ]. 7th International Conference on Control , Automation , Robotics and Vision[C]. Singapore , 2002. [7 ]VIBOONCHAICHEEP P , SHIMADA A , KOSA KA Y et al. Rectification control for mecanum wheeled omni2di2 rectional vehicles [ A ]. The 29th Annual Conference of the IEEE[C]. Virginia , USA , 2003. [8 ]WILL IAMS R L , CARTER B E , GALL INA P. Dynam2 ic model with slip for wheeled omnidirectional robots[J ]. IEEE transactions on robotics and automation , 2002 , 18 (3) :285 - 293. [9 ]BALA KRISHNA R , GHOSAL A. Modeling of slip for wheeled mobile robots[J ]. IEEE Transactions on Robot2 ics and Automation , 1995 ,11 (1) :126 - 132. [10 ]余志生. 汽车理论[ M]. 北京 :机械工业出版社 ,1990. [11 ]AN GEL ES J. Fundamentals of robotic mechanical sys2 tems: Theory , methods , and algorithms: 2nd Ed [ M ]. New York : Springer2Verlag , 2003. 作者简介 : 冷春涛 ,男 ,1981 年生 ,博士研究生 , 主要研究方向为机器人、智能控制. E2mail :ctleng @sjtu. edu. cn. 曹其新 ,男 ,1960 年生 ,教授 ,博士生 导师 ,现任上海交通大学机器人研究所 常务副所长. 主要研究方向为机器视觉与 模式识别、异构多机器人的协作与控制. 15 · E2mail :qxcao @sjtu. edu. cn. 第 3 期 冷春涛 ,等 :四轮全方位移动机器人各向相异性研究 ·