第2卷第3期 智能系统学报 Vol.2 Ne 3 2007年6月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jun.2007 使用不同的博弈树搜索算法解决 计算机围棋的吃子问题 张培刚，陈克训 (Department of Computer Science,University of North Carolina at Charlotte,Charlotte NC 28223,USA) 摘要：使用AlpharBeta搜索和proof-number(pn)搜索解决计算机围棋的吃子问题.对吃子问题形式化并给出了 简单有效的评估函数.Alpha-Beta搜索使用了包括置换表在内的各种扩展技术.pn搜索使用了包括dfpn在内的4 种变体.研究结果显示，对于解决吃子问题pn搜索优于Alpha-Beta搜索.并且搜索过程中所产生的数据的一些模式 可以帮助在结果未知的情况下对结果进行预测，所设计的算法可以用于解决单独的吃子问题或者计算机围棋比赛 中的吃子计算 关键词：计算机围棋；博弈树搜索；启发式搜索；AlphaBeta搜索proof-number搜索；吃子问题 中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：16734785(2007)03008407 Using different search algorithms to solve computer Go ca pturing problems ZHAN G Pei-gang ,CHEN Kehhsun (Department of Computer Science,University of North Carolina at Charlotte,Charlotte NC 28223,USA) Abstract:The capturing problem is an important tactical sub-problem in computer Go.Alpha-Beta() search and proof-number (pn)searches are used to solve computer Go capturing problems with the same e- valuation function.The performance of the capturing algorithm is favorable and practical.The algorithm could be used to solve post game capturing problems or to perform real time capturing calculations in com- puter Go tournament matches.Our results show that pmsearch is superior to-search at solving capturing problems.Some patterns can be found in the searching process that could help predict the search outcome when it is still unknown.Our work also provides a framework that could be used to solve other computer Go subproblems and other games. Keywords:computer Go:game tree search:Heuristic search:Alpha-Beta search:proof-number search; block capturing 博弈树搜索算法是博弈程序的核心组成部分」 好地解决这些战术问题 Alpha-Beta搜索是最广泛使用的博弈树搜索算法， 文中尝试使用不同的树搜索算法解决围棋的吃 pn搜索对于解决非对称博弈树问题也非常有效 子问题.首先设计和实现了Alpha-Beta搜索及其扩 面对博弈程序设计人员的一些问题包括： 展和pn搜索及其变体去解决吃子问题.进一步对 1)每种搜索算法的特性是什么？2)对于解决一 这些算法的结果进行比较并总结不同算法的特征： 类特定问题哪种搜索算法比较好？3)如何将搜索算 最后对搜索过程中产生的数据进行分析并发现一些 法嵌入博弈程序用于实时地解决问题？计算机围棋 模式可以用于对搜索结果进行预测.这个吃子算法 是当前人工智能领域的一大难题.计算机围棋包括 的表现是出色和实用的.这个算法可以用于解决单 很多战术问题例如死活问题·】、吃子问题到和连 独的吃子问题或者计算机围棋比赛中的吃子计算 接问题.构建一个强大的计算机围棋程序需要很 结果显示，对于解决吃子问题pn搜索优于Alpha Beta搜索.并且发现搜索过程中的一些模式可以帮 收稿日期：20060821. 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 2 卷第 3 期 智 能 系 统 学 报 Vol. 2 №. 3 2007 年 6 月 CAA I Transactions on Intelligent Systems J un. 2007 使用不同的博弈树搜索算法解决 计算机围棋的吃子问题 张培刚 ,陈克训 (Department of Computer Science , University of North Carolina at Charlotte , Charlotte NC 28223 , USA) 摘 要 :使用 Alpha2Beta 搜索和 proof2number (pn) 搜索解决计算机围棋的吃子问题. 对吃子问题形式化并给出了 简单有效的评估函数. Alpha2Beta 搜索使用了包括置换表在内的各种扩展技术. pn 搜索使用了包括 df2pn 在内的 4 种变体. 研究结果显示 ,对于解决吃子问题 pn 搜索优于 Alpha2Beta 搜索. 并且搜索过程中所产生的数据的一些模式 可以帮助在结果未知的情况下对结果进行预测. 所设计的算法可以用于解决单独的吃子问题或者计算机围棋比赛 中的吃子计算. 关键词 :计算机围棋 ;博弈树搜索 ;启发式搜索 ;Alpha2Beta 搜索 ;proof2number 搜索 ;吃子问题 中图分类号 : TP18 文献标识码 :A 文章编号 :167324785 (2007) 0320084207 Using different search algorithms to solve computer Go capturing problems ZHAN G Pei2gang ,CH EN Keh2hsun (Department of Computer Science , University of North Carolina at Charlotte , Charlotte NC 28223 , USA) Abstract :The capturing problem is an important tactical sub2problem in comp uter Go. Alp ha2Beta ( ) search and proof2number (p n) searches are used to solve comp uter Go capt uring problems wit h t he same e2 valuation f unction. The performance of t he capt uring algorithm is favorable and practical. The algorit hm could be used to solve post game capt uring problems or to perform real time capt uring calculations in com2 p uter Go tournament matches. Our results show that p n2search is superior to2search at solving capt uring problems. Some patterns can be found in the searching process t hat could help predict t he search outcome when it is still unknown. Our work also provides a framework that could be used to solve ot her comp uter Go sub2problems and ot her games. Keywords : comp uter Go ; game tree search ; Heuristic search ; Alp ha2Beta search ; proof - number search ; block capt uring 收稿日期 :2006208221. 博弈树搜索算法是博弈程序的核心组成部分. Alp ha2Beta 搜索是最广泛使用的博弈树搜索算法. p n 搜索对于解决非对称博弈树问题也非常有效. 面对博弈程序设计人员的一些问题包括 : 1) 每种搜索算法的特性是什么 ? 2) 对于解决一 类特定问题哪种搜索算法比较好 ? 3) 如何将搜索算 法嵌入博弈程序用于实时地解决问题 ? 计算机围棋 是当前人工智能领域的一大难题. 计算机围棋包括 很多战术问题例如死活问题[ 1 - 2 ] 、吃子问题[3 ] 和连 接问题[4 ] . 构建一个强大的计算机围棋程序需要很 好地解决这些战术问题. 文中尝试使用不同的树搜索算法解决围棋的吃 子问题. 首先设计和实现了 Alp ha2Beta 搜索及其扩 展和 p n 搜索及其变体去解决吃子问题. 进一步对 这些算法的结果进行比较并总结不同算法的特征. 最后对搜索过程中产生的数据进行分析并发现一些 模式可以用于对搜索结果进行预测. 这个吃子算法 的表现是出色和实用的. 这个算法可以用于解决单 独的吃子问题或者计算机围棋比赛中的吃子计算. 结果显示 ,对于解决吃子问题 ,p n 搜索优于 Alp ha2 Beta 搜索. 并且发现搜索过程中的一些模式可以帮
第3期 张培刚，等：使用不同的博弈树搜索算法解决计算机围棋的吃子问题 ·85* 助在结果未知的情况下对结果进行预测.本文的工 作也为解决其他计算机围棋问题和其他博弈问题提 供了一个框架 1吃子问题 1.1计算机围棋吃子问题 围棋是一项非常古老而且受欢迎的棋类游戏 计算机围棋是人工智能中一个很吸引人的研究领 域561由于其内在复杂性，计算机围棋程序的棋力 与人相比在目前仍然大大落后.计算机围棋遇到各 图2数字标出的点是候选招法， 种类型的问题，为人工智能的各种方法提供了极佳 2是吃住目标的正确着法 的试验场.它包括许多有趣的战术问题，例如死活、 Fig 2 The candidate moves to capturing the marked 吃子和连接问题.构建一个强大的计算机围棋程序 tone,location 2 is the right move to capture the target 需要很好地解决这些战术问题 策略、终止状态检测、中间节点和叶子节点评估.然 吃子计算的目的是要得到一块棋能否被吃死或 后将使用同样的方法来产生候选着法、节点评估、终 者能否逃脱以及如何吃死或者逃脱.吃子计算对于 止状态检测并将它们用于不同的搜索算法.关于计 计算机围棋程序是基本和关键的].几乎所有的计 算机围棋和吃子问题的一些术语可以见文献[3,6] 算机围棋程序都包括吃子模块.吃子算法可以被用 于解决单独的吃子问题或者被嵌入游戏引擎进行实 1.2候选着法产生 时的吃子计算.由于在实时计算中时间是非常有限 候选着法一般靠近目标棋块或者上一手棋.一 的，所以吃子算法的效率非常重要 块棋的相关选点被定义为这块棋的气和二次气以及 吃子问题为博弈树搜索算法提供了很好的试验 对手相邻这块棋并且不大于三气的棋块的气.这里 场.一些研究者提出了一般用途的算法并且以解决 使用一个简单的评估函数，将着这手棋下在棋盘上 吃子问题作为示例8).这些算法解决吃子问题的 并且计算： 速度非常慢.为了得到更好的和更实际的结果，需要 Point Evaluation =Block's First liberties 进一步的研究 4 +Block's Second liberties 在作者以前的一项研究中，基于Alpha-Beta搜 然后选择评估值比较大的相关选点 索并高度性选择的启发式搜索被用于解决围棋的吃 考虑5种类型的棋块 子问题，得到了很好的结果).文中使用不同的搜索 1)目标棋块； 算法利用相对简单的评估函数并且考虑更多的候选 2)目标棋块的关键链； 着法以处理各种不同的可能情况 3)上一手棋所属棋块： 面对吃子问题，高水平的围棋选手一般能够很 4)对手相邻棋块； 快发现棋子的弱点并进行深而且窄的搜索.对于大 5)上一手棋的相邻棋块 多数情况，基于以前经验所形成的知识，他们能够发 每一种类型的棋块都能产生一些相关选点，在 现棋形的弱点 数目上设定了上限和下限.基本上从这5种类型的 在下面的几节将介绍候选着法的产生和排序的 棋块的相关选点中选择候选着法， 使用2种类型的目标去帮助选择候选着法：吃 子目标和逃脱目标.如果下一手棋轮目标棋块方下 是逃脱目标，否则就是吃子目标.对于不同目标候选 着法的选择策略也略有不同.例如，对于逃脱目标， 候选着法不能使目标棋块被直接征子吃掉 算法中也使用一些其他条件去排除候选着法 候选着法不能填自己的真眼.候选着法的总数被限 图1如图标出的白子是吃子的目标 制在15以下，对于绝大多数情况这是足够的 如果轮黑棋下能够被吃住 1.3节点评估 Fig I The marked white stone is the target, 使用对目标棋块的关键链的评估值作为中间节 it could be captured if black move next 点和叶子节点的评估值： 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
助在结果未知的情况下对结果进行预测. 本文的工 作也为解决其他计算机围棋问题和其他博弈问题提 供了一个框架. 1 吃子问题 111 计算机围棋吃子问题 围棋是一项非常古老而且受欢迎的棋类游戏. 计算机围棋是人工智能中一个很吸引人的研究领 域[5 - 6 ] . 由于其内在复杂性 ,计算机围棋程序的棋力 与人相比在目前仍然大大落后. 计算机围棋遇到各 种类型的问题 ,为人工智能的各种方法提供了极佳 的试验场. 它包括许多有趣的战术问题 ,例如死活、 吃子和连接问题. 构建一个强大的计算机围棋程序 需要很好地解决这些战术问题[7 ] . 吃子计算的目的是要得到一块棋能否被吃死或 者能否逃脱以及如何吃死或者逃脱. 吃子计算对于 计算机围棋程序是基本和关键的[3 ] . 几乎所有的计 算机围棋程序都包括吃子模块. 吃子算法可以被用 于解决单独的吃子问题或者被嵌入游戏引擎进行实 时的吃子计算. 由于在实时计算中时间是非常有限 的 ,所以吃子算法的效率非常重要. 吃子问题为博弈树搜索算法提供了很好的试验 场. 一些研究者提出了一般用途的算法并且以解决 吃子问题作为示例[8 - 9 ] . 这些算法解决吃子问题的 速度非常慢. 为了得到更好的和更实际的结果 ,需要 进一步的研究. 在作者以前的一项研究中 ,基于 Alp ha2Beta 搜 索并高度性选择的启发式搜索被用于解决围棋的吃 子问题 ,得到了很好的结果[3 ] . 文中使用不同的搜索 算法利用相对简单的评估函数并且考虑更多的候选 着法以处理各种不同的可能情况. 面对吃子问题 ,高水平的围棋选手一般能够很 快发现棋子的弱点并进行深而且窄的搜索. 对于大 多数情况 ,基于以前经验所形成的知识 ,他们能够发 现棋形的弱点. 图 1 如图标出的白子是吃子的目标 , 如果轮黑棋下能够被吃住 Fig11 The marked white stone is the target , it could be captured if black move next 在下面的几节将介绍候选着法的产生和排序的 图 2 数字标出的点是候选招法 , 2 是吃住目标的正确着法 Fig12 The candidate moves to capturing the marked s tone , location 2 is the right move to capture the target 策略、终止状态检测、中间节点和叶子节点评估. 然 后将使用同样的方法来产生候选着法、节点评估、终 止状态检测并将它们用于不同的搜索算法. 关于计 算机围棋和吃子问题的一些术语可以见文献[ 3 ,6 ]. 112 候选着法产生 候选着法一般靠近目标棋块或者上一手棋. 一 块棋的相关选点被定义为这块棋的气和二次气以及 对手相邻这块棋并且不大于三气的棋块的气. 这里 使用一个简单的评估函数 ,将着这手棋下在棋盘上 并且计算 : Point Evaluation = # Block’s First liberties 3 4 + # Block’s Second liberties 然后选择评估值比较大的相关选点. 考虑 5 种类型的棋块 : 1) 目标棋块 ; 2) 目标棋块的关键链 ; 3) 上一手棋所属棋块 ; 4) 对手相邻棋块 ; 5) 上一手棋的相邻棋块. 每一种类型的棋块都能产生一些相关选点 ,在 数目上设定了上限和下限. 基本上从这 5 种类型的 棋块的相关选点中选择候选着法. 使用 2 种类型的目标去帮助选择候选着法 :吃 子目标和逃脱目标. 如果下一手棋轮目标棋块方下 是逃脱目标 ,否则就是吃子目标. 对于不同目标候选 着法的选择策略也略有不同. 例如 ,对于逃脱目标 , 候选着法不能使目标棋块被直接征子吃掉. 算法中也使用一些其他条件去排除候选着法. 候选着法不能填自己的真眼. 候选着法的总数被限 制在 15 以下 ,对于绝大多数情况这是足够的. 113 节点评估 使用对目标棋块的关键链的评估值作为中间节 点和叶子节点的评估值 : 第 3 期 张培刚 ,等 :使用不同的博弈树搜索算法解决计算机围棋的吃子问题 ·85 ·
·86 智能系统学报 第2卷 Node Evaluation =Crucial chain's First lib- 小节点的最差可能值.使用这些值，很多分支可以被 erties *4+#Crucial chain's Second liberties 裁减掉 1.4终止状态测试 在儿子节点被最好排序的情况下，Alpha-Beta 算法中设定一个节点评估值的上限来进行终止 搜索为求解问题需要访问的节点数目约为w2,w 状态测试.如果节点的评估值大于这个上限，则目标 是平均候选着法的数目，d是搜索的深度.在最坏情 棋块被认为可以逃脱.如果目标棋块可以被直接吃 况下，为了求解它需要搜索整个博弈树 掉或者被征子吃掉则被认为可以吃掉 文中使用Alpha-Beta搜索及迭代加深、置换 表.每次迭代深度增加为2.关于置换表使用Zobrist 2 博弈树搜索算法 哈希161和线性探查 对于二人、零和、完备信息的棋类游戏，例如围 几种常用的用于博弈树搜索算法比较的指标 棋、象棋、国际象棋和跳棋，博弈树算法对构建一个 有：CPU时间、访问的叶子节点数、访问的所有节点 强大的博弈程序是关键的.博弈树搜索的目标是要 数.文中使用访问的所有节点数来衡量算法的表 找到极大极小博弈树或者与和树的最佳值以及最佳 现 着法序列.一般博弈树非常大以至于不能被当前的 这里使用Kano围棋系列的第3册中的吃子问 计算机所求解.降低博弈树大小的策略包括缩小候 题来检验算法效果.每一个问题的搜索时间被限制 选着法的数目以缩小展开因子、当搜索到某一深度 在200s内.表1包含了Alpha-Beta搜索不使用置 时使用评估函数以及使用搜索路径选择策略.选择 换表和使用置换表的测试结果 候选着法以及使用评估函数很大程度上取决于领域 使用置换表的算法表现比不使用置换表的算法 知识.搜索路径选择策略则一般与领域知识无关.深 表现好：使用的时间较少、访问的节点较少，将节点 度优先搜索和最佳优先搜索是最主要的2种搜索路 的最佳值存储在置换表中可以避免对同样的局面重 径选择策略 新计算，在迭代加深中使用置换表也可以帮助候选 AlpharBeta搜索是深度优先搜索算法而且是 着法排序。 当前博弈游戏程序最广泛使用的博弈树搜索算 候选着法排序的质量对Alpha-Beta搜索的效 法io..候选着法的排序对于Alpha-Beta搜索的 率是关键的.但对于不同问题很难给出统一的评估 效率是关键的.Alpha-Beta搜索有很多扩展，其中 函数去得到候选着法的最佳排序.进一步的工作可 包括迭代加深、置换表、历史启发函数等，大多数用 以使用模式数据库去帮助候选着法排序 于得到更好的候选着法排序，使用迭代加深的A: 结果发现Alpha-Beta搜索不能解决的问题主 pha-Beta搜索可以得到某一深度的最优值，这可以 要由于以下3个原因： 作为限制时间搜索下的近似解.Alpha-Beta搜索的 I)在时间限制下Alpha-Beta搜索很难搜索到 缺点是很难搜索到很深的深度 很深的深度.对于那些需要很深深度搜索才能求解 pn搜索是最佳优先搜索算法.对于非均衡树的 的问题，Alpha-Beta搜索一般用光时间从而失败. 求解，pn搜索是非常强大的2].pn搜索需要将整个 2)候选着法没有包括所有可能着法：正确着法 搜索树保存在内存中，所以内存消耗很大.近年来， 缺失 出现了一些pn搜索的深度优先搜索的变体，例如 3)解决此问题需要其他知识如连接和死活知 pn*l、df-pn和df-pn+.使用proof number 识 和disproof number的阈值，这些算法可以以深度优 先的方式去搜索博弈树，但是所展开的博弈树与pn proof-number搜索 搜索是一样的.这些深度优先的变体可以减少内存 pn搜索是最佳优先搜索算法.对于非均衡树的 的使用，但是效果与pn搜索相似 求解pn搜索是非常强大的.pn搜索的思想是总是 目前Alpha-Beta搜索及其扩展仍然是最广泛 展开那些用最小代价就可以证明或者否证与或博弈 使用的博弈树搜索算法山.pn搜索及其变体变得 树的节点2.pn搜索将节点分为2种：与节点和或 越来越流行口 节点.在每个与节点努力去否证节点，在每个或节点 努力去证明节点.在每个节点上使用2个数值： 3 Alpha-Beta搜索 proof number最少需要展开的叶子节点去证明 Alpha-Beta搜索的思想是利用Alpha值 此节点的数目；disproof number最少需要展开 对于极大节点的最差可能值和Beta值对于极 的叶子节点去否证此节点的数目.对于博弈树有时 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
Node Evaluation = # Crucial chain’s First lib2 erties 3 4 + # Crucial chain’s Second liberties 114 终止状态测试 算法中设定一个节点评估值的上限来进行终止 状态测试. 如果节点的评估值大于这个上限 ,则目标 棋块被认为可以逃脱. 如果目标棋块可以被直接吃 掉或者被征子吃掉则被认为可以吃掉. 2 博弈树搜索算法 对于二人、零和、完备信息的棋类游戏 ,例如围 棋、象棋、国际象棋和跳棋 ,博弈树算法对构建一个 强大的博弈程序是关键的. 博弈树搜索的目标是要 找到极大极小博弈树或者与和树的最佳值以及最佳 着法序列. 一般博弈树非常大以至于不能被当前的 计算机所求解. 降低博弈树大小的策略包括缩小候 选着法的数目以缩小展开因子、当搜索到某一深度 时使用评估函数以及使用搜索路径选择策略. 选择 候选着法以及使用评估函数很大程度上取决于领域 知识. 搜索路径选择策略则一般与领域知识无关. 深 度优先搜索和最佳优先搜索是最主要的 2 种搜索路 径选择策略. Alp ha2Beta 搜索是深度优先搜索算法而且是 当前博弈游戏程序最广泛使用的博弈树搜索算 法[10 - 11 ] . 候选着法的排序对于 Alp ha2Beta 搜索的 效率是关键的. Alp ha2Beta 搜索有很多扩展 ,其中 包括迭代加深、置换表、历史启发函数等 ,大多数用 于得到更好的候选着法排序. 使用迭代加深的 Al2 p ha2Beta 搜索可以得到某一深度的最优值 ,这可以 作为限制时间搜索下的近似解. Alp ha2Beta 搜索的 缺点是很难搜索到很深的深度. p n 搜索是最佳优先搜索算法. 对于非均衡树的 求解 ,p n 搜索是非常强大的[12 ] . p n 搜索需要将整个 搜索树保存在内存中 ,所以内存消耗很大. 近年来 , 出现了一些 p n 搜索的深度优先搜索的变体 ,例如 p n 3 [13 ] 、df - p n 和 df - p n + [14 ] . 使用 proof number 和 disproof number 的阈值 ,这些算法可以以深度优 先的方式去搜索博弈树 ,但是所展开的博弈树与 p n 搜索是一样的. 这些深度优先的变体可以减少内存 的使用 ,但是效果与 p n 搜索相似. 目前 Alp ha2Beta 搜索及其扩展仍然是最广泛 使用的博弈树搜索算法[11 ] . p n 搜索及其变体变得 越来越流行[1 ] . 3 Alp ha2Beta 搜索 Alp ha2Beta 搜索的思想是利用 Alp ha 值 ——— 对于极大节点的最差可能值和 Beta 值 ———对于极 小节点的最差可能值. 使用这些值 ,很多分支可以被 裁减掉[ 15 ] . 在儿子节点被最好排序的情况下 ,Alp ha2Beta 搜索为求解问题需要访问的节点数目约为 w d/ 2 , w 是平均候选着法的数目 , d 是搜索的深度. 在最坏情 况下 ,为了求解它需要搜索整个博弈树. 文中使用 Alp ha2Beta 搜索及迭代加深、置换 表. 每次迭代深度增加为 2. 关于置换表使用 Zobrist 哈希[16 ]和线性探查. 几种常用的用于博弈树搜索算法比较的指标 有 :CPU 时间、访问的叶子节点数、访问的所有节点 数[17 ] . 文中使用访问的所有节点数来衡量算法的表 现. 这里使用 Kano 围棋系列的第 3 册中的吃子问 题来检验算法效果. 每一个问题的搜索时间被限制 在 200 s 内. 表 1 包含了 Alp ha2Beta 搜索不使用置 换表和使用置换表的测试结果. 使用置换表的算法表现比不使用置换表的算法 表现好 :使用的时间较少、访问的节点较少. 将节点 的最佳值存储在置换表中可以避免对同样的局面重 新计算. 在迭代加深中使用置换表也可以帮助候选 着法排序. 候选着法排序的质量对 Alp ha2Beta 搜索的效 率是关键的. 但对于不同问题很难给出统一的评估 函数去得到候选着法的最佳排序. 进一步的工作可 以使用模式数据库去帮助候选着法排序. 结果发现 Alp ha2Beta 搜索不能解决的问题主 要由于以下 3 个原因 : 1) 在时间限制下 Alp ha2Beta 搜索很难搜索到 很深的深度. 对于那些需要很深深度搜索才能求解 的问题 ,Alp ha2Beta 搜索一般用光时间从而失败. 2) 候选着法没有包括所有可能着法 :正确着法 缺失. 3) 解决此问题需要其他知识如连接和死活知 识. 4 proof2number 搜索 p n 搜索是最佳优先搜索算法. 对于非均衡树的 求解 p n 搜索是非常强大的. p n 搜索的思想是总是 展开那些用最小代价就可以证明或者否证与或博弈 树的节点[12 ] . p n 搜索将节点分为 2 种 :与节点和或 节点. 在每个与节点努力去否证节点 ,在每个或节点 努力去证明节点. 在每个节点上使用 2 个数值 : proof number ———最少需要展开的叶子节点去证明 此节点的数目 ; disproof number ———最少需要展开 的叶子节点去否证此节点的数目. 对于博弈树有时 ·86 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第3期 张培刚，等：使用不同的博弈树搜索算法解决计算机围棋的吃子问题 ·87 可以看成是与或树，有时可以看成是极大极小树，与 搜索到更深的深度.pn搜索及其变体未能解的问题 节点通常与极小节点是一样的，或节点通常与极大 是Alpha-Beta搜索未能解的问题的子集 节点是一样的 使用pn搜索及其变体的另外一个好处是它们 近年来出现的pn`df-pn和df-pn+等变体 不需要对候选着法的排序.这也会节省相当时间 使用哈希表存储中间结果.内存消耗可以减小到哈 结果发现那些没有解决的问题主要由于以下2 希表的大小 个原因： 对于非终止节点pn搜索和df-pn将proof 1)候选着法没有包括所有可能着法：正确着法 number和disproof number设为l.Df-pn+使用 缺失 评估函数h和cost来计算proof number和dis 2)解决此问题需要其他知识如连接和死活知 proof number.类似的也可以对pn搜索使用评估函 识 数来计算proof number和disproof number,可以称 这种算法为pn+ 5结果分析 对于pn+, 5.1算法比较 pn=E dn=(x5) 对于大多数问题，pn搜索及其变体比Alpha- Beta搜索效果好.大多数问题可以在1s内被解出， 对于df-pn+, pn搜索pn+、df-pn和df-pn+没有解出的6个 cost =0,h.pn=h dn =(x25) 问题是相同的问题，他们是Alpha-Beta搜索未能解 式中：E是节点评估值，pn是proof number,dn是 出的问题的子集.在所有解出的问题中，其中13个 disproof number 问题Alpha-Beta搜索比pn搜索效果好；29个问题 这里使用pn搜索pn+、df-pn和df-pn+解 pn搜索比Alpha-Beta搜索效果好；l3个问题pn搜 决吃子问题.候选着法产生和终止状态测试与A 索和Alpha-Beta搜索表现相当.从上表也可以看 pha-Beta搜索是一样的.算法中设定了访问的节 到，pn+表现比pn搜索好，df-pn+比df-pn表现 点总数和搜索时间来限定搜索.对于df-pn和df- 好.使用评估函数计算proof number和disproof pn+,一些候选着法产生但没有被访问，所以所访 number的算法，证明和否证根节点所访问的节点数 问的节点计数显得比pn搜索和pn+要少 比较少 这里使用Kano围棋系列的第3册中的吃子问 图3一5是在限定时间下各种算法的表现比较」 题来检测算法的效果.每一个问题的搜索时间被限 可以看到搜索时间如果限定在100ms,pn+的表现 制在200s内.表1包含了测试结果 最好 从图4和图5可以看到pn搜索及其变体有基 表1不同算法解决伯o系列第3册中吃子问题的结果 本相同的表现而且比Alpha-Beta搜索表现好 Table 1 Results of different algorithms to solve 5.2吃子问题分析 capturing problems in Kano book 3) Kano系列第3册中的61个吃子问题的搜索结 求解成 求解失 果为：49个问题成功吃死，6个问题成功逃脱，6个 算法 时间/ms节点数深度 功问题败问题 问题未成功求解 算法比较 ag6无置换表 52 9 5502 28746 5.6 一→a明无置换表-*-pt 明有置换表 53 8 2785 13187 5.8 一a卵有置换表*dfpm 40 -*-pn *“df-p时 pn 55 6 2148 18607 7.2 35 pn+ 55 6 1303 10931 7.0 301 -4 df-pn 55 6 2259 5792 7.4 2 df-pn+ 55 6 16482175 6.7 30 10 表1中，时间是求解问题所用平均时间(ms); 节点数是求解问题所访问平均节点数：深度是平均 102030405060708090100 深度 时间/ms pn搜索及其变体比Alpha-Beta搜索解出了更 图3所解问题数(100ms内限制) 多的问题、花费了更少的时间、访问了更少的节点和 Fig 3 Problems solved within 100 milliseconds 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
可以看成是与或树 ,有时可以看成是极大极小树 ,与 节点通常与极小节点是一样的 ,或节点通常与极大 节点是一样的. 近年来出现的 p n 3 、df - p n 和 df - p n + 等变体 使用哈希表存储中间结果. 内存消耗可以减小到哈 希表的大小. 对于非终止节点 p n 搜索和 df - p n 将 proof number 和 disproof number 设为 1. Df - p n + 使用 评估函数 h 和 cost 来计算 proof number 和 dis2 proof number. 类似的也可以对 p n 搜索使用评估函 数来计算 p roof number 和 disproof number ,可以称 这种算法为 p n + . 对于 p n + , p n = E 2 ,dn = ( 1 E ×25) 2 . 对于 df - p n + , cost = 0 , h. p n = E 2 , h. dn = ( 1 E ×25) 2 . 式中 : E 是节点评估值 , p n 是 proof number , dn 是 disproof number. 这里使用 p n 搜索、p n + 、df - p n 和 df - p n + 解 决吃子问题. 候选着法产生和终止状态测试与 Al2 p ha - Beta 搜索是一样的. 算法中设定了访问的节 点总数和搜索时间来限定搜索. 对于 df - p n 和 df - p n + ,一些候选着法产生但没有被访问 ,所以所访 问的节点计数显得比 p n 搜索和 p n + 要少. 这里使用 Kano 围棋系列的第 3 册中的吃子问 题来检测算法的效果. 每一个问题的搜索时间被限 制在 200 s 内. 表 1 包含了测试结果. 表 1 不同算法解决 Kano 系列第 3 册中吃子问题的结果 Table 1 Results of different algorithms to solve capturing problems in Kano book 3) 算法 求解成 功问题 求解失 败问题 时间/ ms 节点数 深度 αβ无置换表 52 9 5 502 28 746 516 αβ有置换表 53 8 2 785 13 187 518 pn 55 6 2 148 18 607 712 pn + 55 6 1 303 10 931 710 df - pn 55 6 2 259 5 792 714 df - pn + 55 6 1 648 2 175 617 表 1 中 ,时间是求解问题所用平均时间 (ms) ; 节点数是求解问题所访问平均节点数 ;深度是平均 深度. p n 搜索及其变体比 Alp ha2Beta 搜索解出了更 多的问题、花费了更少的时间、访问了更少的节点和 搜索到更深的深度. p n 搜索及其变体未能解的问题 是 Alp ha2Beta 搜索未能解的问题的子集. 使用 p n 搜索及其变体的另外一个好处是它们 不需要对候选着法的排序. 这也会节省相当时间. 结果发现那些没有解决的问题主要由于以下 2 个原因 : 1) 候选着法没有包括所有可能着法 :正确着法 缺失. 2) 解决此问题需要其他知识如连接和死活知 识. 5 结果分析 511 算法比较 对于大多数问题 ,p n 搜索及其变体比 Alp ha2 Beta 搜索效果好. 大多数问题可以在 1 s 内被解出. p n 搜索、p n + 、df - p n 和 df - p n + 没有解出的 6 个 问题是相同的问题 ,他们是 Alp ha2Beta 搜索未能解 出的问题的子集. 在所有解出的问题中 ,其中 13 个 问题 Alp ha2Beta 搜索比 p n 搜索效果好 ;29 个问题 p n 搜索比 Alp ha2Beta 搜索效果好 ;13 个问题 p n 搜 索和 Alp ha2Beta 搜索表现相当. 从上表也可以看 到 ,p n + 表现比 p n 搜索好 ,df - p n + 比 df - p n 表现 好. 使用评估函数计算 proof number 和 disproof number 的算法 ,证明和否证根节点所访问的节点数 比较少. 图 3～5 是在限定时间下各种算法的表现比较. 可以看到搜索时间如果限定在 100 ms ,p n + 的表现 最好. 图 3 所解问题数(100 ms 内限制) Fig13 Problems solved within 100 milliseconds 从图 4 和图 5 可以看到 p n 搜索及其变体有基 本相同的表现而且比 Alp ha2Beta 搜索表现好. 512 吃子问题分析 Kano 系列第 3 册中的 61 个吃子问题的搜索结 果为 :49 个问题成功吃死 ,6 个问题成功逃脱 ,6 个 问题未成功求解. 第 3 期 张培刚 ,等 :使用不同的博弈树搜索算法解决计算机围棋的吃子问题 ·87 ·
·88 智能系统学报 第2卷 算法比较 索使用33s访问133384个节点成功求解，pn搜 +a3无置换表-*-pn+ +ag有置换表…dfpn 索只使用260ms访问2094个节点成功求解.pn --pn *…df-pnt 50r 搜索的求解过程很像人的思考方法：进行深而且 45 本… 窄的搜索 治 40H 30 100 300500 700 900 时间/ms 图4所解问题数(1s内限制) 3②①④⑧0 Fig 4 Problems solved within I second 算法比较 9△ +a3无置换表-*-pn叶 。a3有置换表…df-pn 55 -★-pn +…df-pn+ 50 图7一个pn搜索求解快于AlphaBeta搜索的问题 g,7 A problem pmsearch solved faster than search 45 5.3 Alpha-Beta搜索中的数据分析 程序记录了Alpha-Beta搜索过程中每一层迭 40 345678910 代加深所得到的最佳值.发现对于不同种类的问题， 时间/ms 每类问题所得到的最佳值的变化存在着相似的模 式.图6~8是最佳值随深度增加而变化的几种示 图5所解问题数(10s内限制) 例 Fig 5 Problems solved within 10 seconds 某一深度的最佳值是在搜索到此深度所得到目 标棋块关键链的一阶和二阶气的评估.值越小越有 对于其中的I3个问题，Alpha-Beta搜索比 pn搜索求解时间少.图6所示问题Alpha-Beta搜 利于吃子方，值越大越有利于逃脱方.当目标被吃住 时值变为0， 索使用640ms访问3139个节点成功求解，pn搜 对于那些成功吃死的问题，最佳值可能会先有 索使用3384ms访问16791个节点成功求解. 所增加然后逐渐降为0.对于那些成功逃脱的问题， 6 最佳值一般越来越大.对于那些未能求解的问题，最 佳值在一定范围内徘徊· 需要进一步的研究这种模式是否可以帮助在结 果未知的情况下对结果进行预测.对于实际的博弈 程序分配给某一问题的搜索时间通常非常有限，很 难进行全面的搜索.如果这种预测可信，那么它将非 常实用 图6一个AlphaBeta搜索求解快于pn搜索的问题 5.4pn搜索中的数据分析 Fig 6 A problem search solved faster than prrsearch 程序记录了pn搜索过程中根节点的proof 对于其中的29个问题，pn搜索比Alpha-Be number和disproof number的变化.可以发现对于 ta搜索求解时间少，图7所示问题Alpha-Beta搜 每种类型的问题根节点的proof number和disproof number的变化也存在着一定的模式.图9和l0是 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
图 4 所解问题数(1 s 内限制) Fig14 Problems solved within 1 second 图 5 所解问题数(10 s 内限制) Fig15 Problems solved within 10 seconds 对于其中的 13 个问题 , Alp ha2Beta 搜索比 p n 搜索求解时间少. 图 6 所示问题 Alp ha2Beta 搜 索使用 640 ms 访问 3 139 个节点成功求解 ,p n 搜 索使用 3 384 ms 访问 16 791 个节点成功求解. 图 6 一个 Alpha2Beta 搜索求解快于 pn 搜索的问题 Fig16 A problemαβ2search solved faster than pn2search 对于其中的 29 个问题 ,p n 搜索比 Alp ha2Be2 ta 搜索求解时间少. 图 7 所示问题 Alp ha2Beta 搜 索使用 33 s 访问 133 384 个节点成功求解 ,p n 搜 索只使用 260 ms 访问 2 094 个节点成功求解. p n 搜索的求解过程很像人的思考方法 :进行深而且 窄的搜索. 图 7 一个 pn 搜索求解快于 Alpha2Beta 搜索的问题 Fi g17 A problem pn2search solved faster thanαβ2search 513 Alp ha2Beta 搜索中的数据分析 程序记录了 Alp ha2Beta 搜索过程中每一层迭 代加深所得到的最佳值. 发现对于不同种类的问题 , 每类问题所得到的最佳值的变化存在着相似的模 式. 图 6～8 是最佳值随深度增加而变化的几种示 例. 某一深度的最佳值是在搜索到此深度所得到目 标棋块关键链的一阶和二阶气的评估. 值越小越有 利于吃子方 ,值越大越有利于逃脱方. 当目标被吃住 时值变为 0. 对于那些成功吃死的问题 ,最佳值可能会先有 所增加然后逐渐降为 0. 对于那些成功逃脱的问题 , 最佳值一般越来越大. 对于那些未能求解的问题 ,最 佳值在一定范围内徘徊. 需要进一步的研究这种模式是否可以帮助在结 果未知的情况下对结果进行预测. 对于实际的博弈 程序分配给某一问题的搜索时间通常非常有限 ,很 难进行全面的搜索. 如果这种预测可信 ,那么它将非 常实用. 514 p n 搜索中的数据分析 程序记录了 p n 搜索过程中根节点的 proof number 和 disproof number 的变化. 可以发现对于 每种类型的问题根节点的 proof number 和 disproof number 的变化也存在着一定的模式. 图 9 和 10 是 ·88 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第3期 张培刚，等：使用不同的博弈树搜索算法解决计算机围棋的吃子问题 ·89· 成功吃死问题示例：228.sg number和disproof number一般持续增长 35 70r 成功吃死问题示例：45.5gf -p 60 -dn 20 840 民30 20 4 68 101214 10f。●鲁指。小 搜索深度 0 节点访向数 图8最佳值随深度变化（成功吃死问题示例） Fig 8 The best value of search with search deepening 1lpn搜索过程中根节点的proof number和disproof captured problem example number的变化（成功吃死问题示例） 120r 成功逃脱问题示例：15sgf Fig 11 The variation of proof number and disproof number 100H 914100 during pr search,captured problem example 804 成功逃脱问题示例：15.sg1 60 160-Pm 40 47 Dn 20 16 120 民 0 35 9i13s 且 80 搜索深度 40 图9最佳值随深度变化（成功逃脱问题示例） 0 节点访问数 Fig 9 The best value of search with search deepening, escaped problem example 图12pn搜索过程中根节点的proof number和disproof 未解出向题示例：8.sgf number的变化（成功逃脱问题示例） 40r 3333 363333 Fig 12 The variation of proof number and disproof number 30 28 during pr search,escaped problem example 20 21 需要进一步的研究这种模式是否可以帮助在结 15 果未知的情况下对结果进行预测 0 4680立14 6结束语 搜索深度 与其他相关工作比较，本文的吃子算法的表现 图10最佳值随深度变化（未能求解问题示例） 是出色的.pn搜索及其变体在解决吃子问题中有更 Fig 10 The best value of search with search deepening, 好的表现.大多数问题可以在不到1s的时间内求 unsolved problem example 解成功.这一成果可以被用于计算机围棋程序在比 随搜索访问节点数的增加根节点的proof number 赛中使用. 和disproof number的变化情况 那些未能求解的问题基本上可以归为2个原 proof number是最少需要展开的叶子节点去 因：评估函数的质量不高和需要其他类型的领域知 证明此节点的数目；disproof number是最少需要展 识如连接和死活.这需要提高评估函数的质量和使 开的叶子节点去否证此节点的数目，如果根节点的 用其他围棋战术知识： proof number变为0则目标被吃死.如果根节点的 进一步的工作包括 disproof number变为0则目标逃脱.对于那些成功 1)进一步优化吃子问题的评估函数.包括优化 吃死的问题proof number一般增加到一定的峰值 候选着法的产生、节点评估和用于pn+和df-pn+ 然后逐渐下降直到0，disproof number一般持续增 中的评估函数.机器学习的方法例如遗传算法可以 长.对于那些成功逃脱的问题，proof number一般 持续增长，disproof number一般增加到一定的峰值 引入以帮助优化评估函数 然后逐渐下降直到0.对于那些未解出的问题，proof 2)进一步研究Alpha-Beta搜索和pn搜索中的 模式及其对搜索结果的预测 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
图 8 最佳值随深度变化(成功吃死问题示例) Fig18 The best value ofαβ2search with search deepening , captured problem example 图 9 最佳值随深度变化(成功逃脱问题示例) Fig19 The best value ofαβ2search with search deepening , escaped problem example 图 10 最佳值随深度变化(未能求解问题示例) Fig110 The best value ofαβ2search with search deepening , unsolved problem example 随搜索访问节点数的增加根节点的 proof number 和 disproof number 的变化情况. proof number 是最少需要展开的叶子节点去 证明此节点的数目 ;disproof number 是最少需要展 开的叶子节点去否证此节点的数目. 如果根节点的 proof number 变为 0 则目标被吃死. 如果根节点的 disproof number 变为 0 则目标逃脱. 对于那些成功 吃死的问题 ,proof number 一般增加到一定的峰值 然后逐渐下降直到 0 ,disproof number 一般持续增 长. 对于那些成功逃脱的问题 ,proof number 一般 持续增长 ,disproof number 一般增加到一定的峰值 然后逐渐下降直到 0. 对于那些未解出的问题 ,proof number 和 disproof number 一般持续增长. 图 11 pn 搜索过程中根节点的 proof number 和 disproof number 的变化(成功吃死问题示例) Fig111 The variation of proof number and disproof number during pn2search , captured problem example 图 12 pn 搜索过程中根节点的 proof number 和 disproof number 的变化(成功逃脱问题示例) Fig112 The variation of proof number and disproof number during pn2search , escaped problem example 需要进一步的研究这种模式是否可以帮助在结 果未知的情况下对结果进行预测. 6 结束语 与其他相关工作比较 ,本文的吃子算法的表现 是出色的. p n 搜索及其变体在解决吃子问题中有更 好的表现. 大多数问题可以在不到 1 s 的时间内求 解成功. 这一成果可以被用于计算机围棋程序在比 赛中使用. 那些未能求解的问题基本上可以归为 2 个原 因 :评估函数的质量不高和需要其他类型的领域知 识如连接和死活. 这需要提高评估函数的质量和使 用其他围棋战术知识. 进一步的工作包括 : 1) 进一步优化吃子问题的评估函数. 包括优化 候选着法的产生、节点评估和用于 p n + 和 df - p n + 中的评估函数. 机器学习的方法例如遗传算法可以 引入以帮助优化评估函数. 2) 进一步研究 Alp ha2Beta 搜索和 p n 搜索中的 模式及其对搜索结果的预测. 第 3 期 张培刚 ,等 :使用不同的博弈树搜索算法解决计算机围棋的吃子问题 ·89 ·
·90· 智能系统学报 第2卷 3)比较Alpha-Beta搜索和pn搜索所访问的博 [11JUNGHANNS A.Are there practical alternatives to al- 弈树.研究将Alpha-Beta搜索和pn搜索结合以得 phar beta[J ]ICCA Journal,1998,21(1):14-32. 到更好的搜索效果的可能性 [12]ALLIS L V,MEUL EN M,HERIK H J.Proof-num- 4)使用本搜索框架去解决其他计算机围棋中的 ber search[J ]Artificial Intelligence,1994,66(1):91 124. 战术问题 [13]SEO M,IIDA H,UITERWU KJ W.The PN *-search 参考文献： algorithm:application to Tsume-Shogi[J ]Artificial In- telligence,2001,129(1-2):253.277. [1]KISHIMOTO A.Correct and efficient search algorithms [14]NA GAI A.Df-pn algorithm for searching and/or trees in the presence of repetitions[D].Edmonton:University and its applications [D].Tokyo:University of Tokyo, of Alberta,2005. 2002. [2]WOLF T.Forward pruning and other heuristic search [15]KNUTH D,MOORE R.Analysis of alpha-beta prun techniques in tsume go [J ]Information Sciences,2000, ing[J ]Artificial Intelligence,1975,6(4):293-326. 122(1):59.76. [16]ZOBRIST A L.A new hashing method with application [3]CHEN K,ZHAN G P.A heuristic search algorithm for for game playing [R].Techn.Rep.88,Madison: capturing problems in go [J ]ICGA Journal,2006,29 Univ.of Wisconsin,1970. (4):183.190. [17]CAMPBELL M,MARSLAND T.A comparison of [4]CHEN K.Soft and hard connectivity in go[A].Proceed- minimax tree-search algorithms [J].Artificial Intelli- ings of the 8thInternational Conference on Computer Sci- gence,1983,20(4):347.367 ence and Informatics[C].Salt Lake City,USA,2005. 作者简介： [5]BOUZY B,CAZENAVE T.Computer go:an Al orien ted survey [J].Artificial Intelligence,2001,132(1):39- 张培刚，男，1973年生，博士研究 103 生，主要研究方向为计算机围棋、人工 [6]MULL ER M.Computer go [J].Artificial Intelligence, 智能、启发式搜索和机器学习等。 2002,134(1-2):145-179. Email :pzhangl @uncc.edu [7]CHEN K.Computer go:knowledge,search,and move decision[J ]ICGA Journal 2001,24(4):203-215. [8 ]CAZENAVE T.Abstract proof search,computers and 陈克训，男，1945年生，教授，博士.主 games 2000[A].LNCS 2063[C].Hamamatsu,Japan, 要研究方向为启发式搜索、人工智能和计 2000. 算理论等.所研发的电脑围棋程序“棋慧” [9]THOMSEN T.Lambdar Search in game trees with appli- 曾两获电脑围棋世界冠军和七次夺得计 cation to go [J ]ICGA Journal,2000,23(4):203-217. 算机奥林匹亚竞赛金牌，发表论文40余 [10]CAMPBELL M,HOANE AJ,HSU F.Deep blue[J ] Artificial Intelligence,2002,134(1-2):57-83. Email :chen @uncc.edu. 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
3) 比较 Alp ha2Beta 搜索和 p n 搜索所访问的博 弈树. 研究将 Alp ha2Beta 搜索和 p n 搜索结合以得 到更好的搜索效果的可能性. 4) 使用本搜索框架去解决其他计算机围棋中的 战术问题. 参考文献 : [1 ] KISHIMO TO A. Correct and efficient search algorithms in the presence of repetitions[D ]. Edmonton : University of Alberta , 2005. [2 ] WOL F T. Forward pruning and other heuristic search techniques in tsume go [J ]. Information Sciences , 2000 , 122 (1) :59 - 76. [3 ]CHEN K , ZHAN G P. A heuristic search algorithm for capturing problems in go [J ]. ICGA Journal , 2006 , 29 (4) : 183 - 190. [4 ]CHEN K. Soft and hard connectivity in go[ A ]. Proceed2 ings of the 8 th International Conference on Computer Sci2 ence and Informatics[C]. Salt Lake City ,USA ,2005. [5 ]BOUZY B , CAZENAV E T. Computer go : an AI orien2 ted survey[J ]. Artificial Intelligence , 2001 ,132 (1) :39 - 103. [6 ] MULL ER M. Computer go [J ]. Artificial Intelligence , 2002 , 134 (1 - 2) :145 - 179. [7 ]CHEN K. Computer go : knowledge , search , and move decision[J ]. ICGA Journal , 2001 ,24 (4) :203 - 215. [8 ]CAZENAV E T. Abstract proof search , computers and games 2000 [ A ]. LNCS 2063 [ C]. Hamamatsu , J apan , 2000. [ 9 ] THOMSEN T. Lambda2Search in game trees2with appli2 cation to go[J ]. ICGA Journal , 2000 ,23 (4) :203 - 217 . [10 ]CAMPBELL M , HOAN E A J , HSU F. Deep blue[J ]. Artificial Intelligence , 2002 , 134 (1 - 2) : 57 - 83. [ 11 ]J UN GHANNS A. Are there practical alternatives to al2 pha2beta[J ] . ICCA Journal ,1998 ,21 (1) :14 - 32. [12 ]ALL IS L V , MEUL EN M , HERIK H J. Proof2num2 ber search [J ]. Artificial Intelligence ,1994 ,66 (1) : 91 - 124. [ 13 ]SEO M , IIDA H , U ITERWIJ KJ W. The PN 3 2search algorithm : application to Tsume2Shogi[J ]. Artificial In2 telligence , 2001 , 129 (1 - 2) :253 - 277. [14 ]NA GAI A. Df2pn algorithm for searching and/ or trees and its applications [ D ]. Tokyo : University of Tokyo , 2002. [15 ] KNU TH D , MOORE R. Analysis of alpha2beta prun2 ing[J ]. Artificial Intelligence ,1975 ,6 (4) :293 - 326. [16 ]ZOBRIST A L. A new hashing method with application for game playing [ R ]. Techn. Rep . # 88 , Madison : Univ. of Wisconsin ,1970. [ 17 ] CAMPBELL M , MARSLAND T. A comparison of minimax tree2search algorithms [ J ]. Artificial Intelli2 gence , 1983 ,20 (4) : 347 - 367. 作者简介 : 张培刚 ,男 , 1973 年生 ,博士研究 生 ,主要研究方向为计算机围棋、人工 智能、启发式搜索和机器学习等. E2mail :pzhang1 @uncc. edu. 陈克训 ,男 ,1945 年生 ,教授 ,博士. 主 要研究方向为启发式搜索、人工智能和计 算理论等. 所研发的电脑围棋程序“棋慧” 曾两获电脑围棋世界冠军和七次夺得计 算机奥林匹亚竞赛金牌. 发表论文 40 余 篇. E2mail :chen @uncc. edu. ·90 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
