中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第32届全国中学生物理竞赛决赛理论考试评分标准 本卷可能需要用到下列公式： 广空-h:会-2+c:n+小-亏hx1 一、(15分)一根轻杆两端通过两根轻质弹簧A和B悬挂在天花 板下，一物块D通过轻质弹簧C连在轻杆上：A、B和C的劲度 系数分别为k、k,和k,D的质量为m,C与轻杆的连接点到A 和B的水平距离分别为α和b;整个系统的平衡时，轻杆接近水 平，如图所示。假设物块D在竖直方向做微小振动，A、B始终 6 可视为竖直，忽略空气阻力。 (1)求系统处于平衡位置时各弹簧相对于各自原长的仲长： (2)求物块D上下微小振动的固有频率： (3)当a和b满足什么条件时，物块D的固有频率最大？并求 Dm 出该固有频率的最大值。 参考解答： (1)沿竖直方向建立如图所示的坐标轴o.x。设三根弹簧 A、B和C的原长分别为1、1，和1，不妨设1，>1。设系 统处于平衡位置时，三根弹簧A、B和C相对于各自原长 的伸长分别为△x,、△x,和△x,。此时物块D处于平衡状态； 有 mg=k,△x3 即 4 ② AXE k E 设此时弹簧A和B的末端对轻杆的拉力分别为F和 mg ￡，。以弹簧C与轻杆的连接点为支点，由力矩平衡有 Fa=Fb ③ 竖直方向轻杆所受合力为零，有 F+F-mg=0 ④ 由胡克定律有 F=k△r ⑤ F2=k2△x ⑥ 由③④⑤⑥式得 4此-mgb ⑦ (a+b)k 11g0 △x,=(a+bk, ⑧ (2)挂上物块D之前，系统平衡时弹簧C的木端E点的坐标x为 x=(+4+) ⑨ a+b 挂上物块D后，系统重新处于半衡位置时，弹簧C的木端从E点移动到E'点。E点的坐 标x为 x=+A+h+△x3+a+A-4x) ⑩ a+b 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理