(闭凸集)的最佳逼近元。不仅如此,在 Hilbert空间上我们还可以定 量地计算出一点到最佳逼近元的距离。 例1设H是 Hilbert空间,EcH是线性子空间,dimE=n 1,…,en是E的一组规范正交基,则x∈H,Px=∑(x,e1)并且 d(x,E)=(-∑(x,e片y2 4-2-3) 若{en}是H中的规范正交集,E= span(e, i},则Px=∑(xe并且 d(x,E)=(|-∑(x,e)y2 (4-2-4) 实际上,令x=∑(x,e),x2=x-x,则x∈E,V∈E, z=∑(=,e),实际计算得到 (x2,2)=(x-x,2)=(x,=)-(x1,2)=0 故x2⊥E,从而Px=x1=∑(x,e1)1,由投影定理 d(xE)=1k-x|=(-|)=(-(xe) 思考题若e1,e2,…是E的规范正交基,证明类似的结论成 推论1设H是 Hilbert空间,EcH是闭线性子空间,记从H 到E的投影算子是P,则 (1)P:H→>E是线性算子 (2)|Pls.若E={0),则P=0,若E≠0},则|P=1 (3)E=R(P)=N(I-P),N(P)=R(-P) 称E是P的投影子空间3 （闭凸集）的最佳逼近元。不仅如此，在 Hilbert 空间上我们还可以定 量地计算出一点到最佳逼近元的距离。 例 1 设 H 是 Hilbert 空间， E ⊂ H 是线性子空间， dim E = n , n e , ,e 1 " 是 E 的一组规范正交基，则 ∀x ∈ H ， ∑= = n i E i i P x x e e 1 ( , ) 并且 dxE (, ) = 2 2 1 2 1 ( (, )) . i i x xe ∞ = −∑ (4-2-3) 若{ }n e 是 H 中的规范正交集， { }n E = span e ，则 1 (, ) E ii i Px xe e ∞ = = ∑ 并且 2 2 1 2 1 (, ) ( (, )) . i i d xE x xe ∞ = = −∑ (4-2-4) 实际上，令 ∑= = n i i i x x e e 1 1 ( , ) ， 2 1 x = x − x ，则 x1 ∈ E , ∀ ∈z E ， 1 (, ) n i i i z ze e = = ∑ , 实际计算得到 21 1 ( ,) ( ,) (,) ( ,) 0 x z x x z xz x z =− = − = 故 x2 ⊥ E ，从而 ∑= = = n i E i i P x x x e e 1 1 ( , ) . 由投影定理 1 2 2 2 1 1 dxE x x x x (, ) ( ) =− = − = 2 1 2 2 1 ( (, )) n j j x xe = −∑ . 思考题 若 1 2 e e, ," 是 E 的规范正交基, 证明类似的结论成 立. 推论 1 设 H 是 Hilbert 空间, E H ⊂ 是闭线性子空间, 记从 H 到 E 的投影算子是 P, 则 (1) P : H → E 是线性算子. (2) P ≤1.若 E = {0} , 则 P = 0; 若 E ≠ {0}, 则 P = 1. (3) E = RP N I P NP RI P ( ) ( ), ( ) ( ). = − =− 称 E 是 P 的投影子空间