证明1°设x=x1+x2,y=y1+y2,其中x1,y∈E,x2,y2⊥E a+B=(ax1+的1)+(a2+y2 其中x1+的1∈E,而v∈E,(x2,=)=0,(02,=)=0,故 (ax2+By2,=)=a(x2,=)+B(y2,=)=0 所以aa2+y2⊥E,于是 P(ax+的y) 的1=aPx+BP P是线性的 2x∈H,若x=x1+x2是正交分解,则|2=|x|+|x1.从 P+2=x≤|+,|P+|≤|,Ps1 若E 则Vx∈H,Px=0,故P=0 若E≠{0},则有x∈E,|xl1使得Px=x1,|Pl≥|Px x|=1,从而P=1 ∈R(P)当且仅当 x2时x2=0,此即 y-Py=0从而y∈N(I-P),反过来也一样,另一式子可同样证明 定理3设H是 Hilbert空间,EcH是线性子空间,记 E H,x⊥E},则 (1)E是H的闭线性子空间 (2)若E是闭的,则E艹=E (3)若E是闭的,则H=E田E,即 H=E+EE∩E (4-2-5) (4)若E是闭的,P:H→E是投影算子,则E=N(P) 通常称E是E的正交补空间由于(4-2-5),称H是E与E的4 证明 D 1 设 1 2 1 2 x = x + x , y = y + y , 其中 11 2 2 x , ,, y Exy E ∈ ⊥ , 则 ( ) ( ), 1 1 2 2 αx + βy = αx + βy + αx + βy 其中 1 1 αx + βy ∈ E, 而 ,( , ) 0,( , ) 0, ∀z ∈ E x2 z = y2 z = 故 22 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0. αx yz xz yz += + = βα β 所以 αx2 + βy2 ⊥ E , 于是 ( ) . P αx + βy =αx1 + βy1 =αPx + βPy P 是线性的. D 2 ∀ ∈x H, 若 1 2 x = x + x 是正交分解, 则 2 x = 2 1 x + 2 2 x . 从 而 2 Px = 2 1 x ≤ 2 x , Px ≤ x , P ≤1. 若 E = {0}, 则 ∀x ∈ H , Px = 0 , 故 P = 0 . 若 E ≠ {0} , 则 有 x1 ∈ E , 1 x1 = 使 得 1 1 Px = x , P ≥ Px1 = 1 x =1, 从而 P =1. D 3 由 于 y ∈ R(P) 当且仅当 1 2 y = x + x 时 0 x2 = , 此 即 y − Py = 0 从而 y ∈ N(I − P), 反过来也一样, 另一式子可同样证明. 定 理 3 设 H 是 Hilbert 空 间 , E ⊂ H 是线性子空间 , 记 E = { } x ∈ H x ⊥ E ⊥ , , 则 (1) ⊥ E 是 H 的闭线性子空间. (2) 若 E 是闭的, 则 E = E ⊥⊥ . (3) 若 E 是闭的, 则 ⊥ H = E ⊕ E , 即 ⊥ H = E + E , ∩ = {0} ⊥ E E . (4-2-5) (4) 若 E 是闭的, P : H → E 是投影算子, 则 ⊥ E = N(P). 通常称 ⊥ E 是 E 的正交补空间. 由于(4-2-5), 称 H 是 E 与 ⊥ E 的