4、二元函数的极值、最值 10极值定义P208 f(x、y)≤f(xo、y)fxo、yo)为极大值 f(x、y)≥fxo、yo)fko、y)为极小值 fk、y)在(k、y)极限值→/F(。、y)=0 驻点←极值点,需判别 设f、y)=A、fk。、y0)=B、fk、y)=C B--AC f(xo、yo A<0极大值 <0A>0极小值 >0 非极值 不定 例1、求z=x3+y3-3xy的极值 解:f f!=0 3x2-3y=0 =0 令 f=0 0 得驻点0,0),(,1 在(0,0),B32-AClo0=(-3)2-0=9>0 ∴f,0)非极值 (11) (-3)2-36<0 ∴(,1为极值点 又A1=6>0∴f,1 为极小值4、二元函数的极值、最值 1 0 极值定义 P208 ( ) ( ) x0 y0 f x 、y  f 、 ( ) x0 y0 f 、 为极大值 ( ) ( ) x0 y0 f x 、y  f 、 ( ) x0 y0 f 、 为极小值 ( ) ( ) ( ) ( )     =  = → f x y 0 f x y 0 f x y x y y 0 0 x 0 0 0 0 、 、 、 在 、 有极限值 驻点  极值点，需判别 设 f xx  (x0 、y0 )= A 、f xy  (x0 、y0 ) = B 、f yy  (x0 、y0 ) = C B AC 2 − f ( ) x0 、y0 < 0 A < 0 极大值 A > 0 极小值 > 0 非极值 =0 不定 例1、 求 z x y 3xy 3 3 = + − 的极值 解： f 3x 3y 2 x  = − ，f 3y 3x 2 y  = − ，f xx  = 6x ， f xy  = −3 ，f yy  = 6y 令     =  = f 0 f 0 y x →    − = − = 3y 3x 0 3x 3y 0 2 2 → y y 0 4 − = y 1 y 0 = = 得驻点 (0 , 0) ，(1 , 1) 在 (0 , 0) ， ( ) B AC ( 3) 0 9 0 2 0,0 2 − = − − =  ∴ f(0 , 0) 非极值 (1 , 1) ， ( ) B AC ( 3) 36 0 2 1,1 2 − = − −  ∴ (1 , 1) 为 极值点 又 ( ) A 6 0 1,1 =  ∴ f(1 , 1) = −1 为极小值