例2、求z=x2y(5-x-y)在闭区域D:x≥0,y≥0, x+y≤4的最大,最小值。 解:f=y(1 ),f=x2(5-x-2y) 10-3x-2y)=0 令1(x(6-x-2y (在D内) 在D的内部函数只有一个驻点 55)625 24 在边界x=0,f=0在 y=0,f=0 在x+y=4,z=x2(4-x5-x-4+x)=x2(4-x)=4x2-x3 d=8×-3×2=0:3,即x8,y班点 dz 625 Z 0,z 得最大值z=2625,最小值z=0 在实际问题中要求最大,最小值往往带有附加条件,即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外,还有其他的附加条件,这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示 例3、求原点到曲线qx,y)=0的最大距离 此题即在条件(,y)=0下求z=√x2+y2的最小值问题例 2、求 z x y(5 x y) 2 = − − 在闭区域 D： x  0， y  0 ， x + y  4 的最大，最小值。 解： f xy(10 3x 2y) x  = − − ，f x (5 x 2y) 2 y  = − − 令 ( )  ( )   − − = − − = x 5 x 2y 0 xy 10 3x 2y 0 2 （在 D 内）        = = 4 5 y 2 5 x 在 D 的内部函数只有一个驻点       4 5 , 2 5 ， 64 625 4 5 , 2 5 f  =      在边界 x = 0 ，f = 0 在 y = 0 ，f = 0 在 x + y = 4， ( )( ) ( ) 2 2 2 3 z = x 4 − x 5 − x − 4 + x = x 4 − x = 4x − x 8x 3x 0 dx dz 2 = − = 得： 3 8 x = ，即 3 8 x = ， 3 4 y = 为驻点 27 256 3 4 , 3 8 z =        比较 64 625 z = ，z = 0 ， 27 256 z = 得最大值 64 625 z = ，最小值 z = 0 在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。 例3、 求原点到曲线 (x , y) = 0 的最大距离 此题即在条件 (x , y) = 0 下求 2 2 z = x + y 的最小值问题