随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院F1405101班孙密广学号：5140519014 在对流扩散方程中，利用此函数表示在某个特定位置污染源产生。 4.3反问题的解决思路： (1)首先列出一般性的对流-扩散方程模拟污染物在河道中的扩散，并在实际背 景中得出初边值问题条件下的对流-扩散方程一一是个二阶非线性偏微分方程。 (2)为解方程，将未知参数向量的估计值映射成观测空间的值（从实际的观察 情况入手)，引入解算子。利用指数函数的相关函数变换，将原方程化简为等价 的定解问题。 (3)利用特征值和特征函数解化简后的方程组，再利用级数将特征函数进行展 开，在进行相关运算和化简得到在边界条件下原方程组的解。 (4)方程的解其中包括开始引入的解算子（包括时间和空间信息的点污染源位 置和排放强度构成的需要识别的位置向量一一需要对解算子进行截断，基于实际 问题的背景给出特定的解算子) (5)接下来利用MCMC方法将特定的解算子和相应的对流-扩散方程的解一一 对应。 (6)利用贝叶斯公式，将未知参数的先验分布改进为后验分布。通过观测数据 获得参数的统计矩 (7)每个参数的均值、方差和其他高阶统计量的计算由于表达式的不明确以及 计算量会随向量维数增加而呈现指数增长。拟采用MCMC算法对高维随机向量 上无明确数学表达式的概率分布进行模拟抽样。 (8)结合实际问题背景，验证满足马尔科夫性。利用自适应Metropolis算法， 用后验参数的协方差矩阵来估算参数分布一一前0次迭代取为定值以进行自适 应更新。利用数学技巧，导出协方差的计算公式（满足马尔科夫性，当前状态仅 与上一条件有关)数学模型建立，设计并编写程序进行数值模拟，得出相关结论。 (9)优势分析：计算效率较同类的遗传算法更优，对于单个未知参数也只需要 产生4000~5000个样本。 4.4编写程序遇到的问题 (1)matlab运用不够熟练数学模型和程序间的转换，函数关系式的输入等仍需 要进一步的学习。 (2)数学知识的缺乏，相关的演算和处理过程不能很好理解。 (3)大体的步骤基本理解，对于建立模型中的一些细节性的考量不是太理解。 第7页随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院 F1405101 班 孙密广 学号：5140519014 第 7 页 在对流扩散方程中，利用此函数表示在某个特定位置污染源产生。 4.3 反问题的解决思路： （1）首先列出一般性的对流-扩散方程模拟污染物在河道中的扩散，并在实际背 景中得出初边值问题条件下的对流-扩散方程——是个二阶非线性偏微分方程。 （2）为解方程，将未知参数向量的估计值映射成观测空间的值（从实际的观察 情况入手），引入解算子。利用指数函数的相关函数变换，将原方程化简为等价 的定解问题。 （3）利用特征值和特征函数解化简后的方程组，再利用级数将特征函数进行展 开，在进行相关运算和化简得到在边界条件下原方程组的解。 （4）方程的解其中包括开始引入的解算子（包括时间和空间信息的点污染源位 置和排放强度构成的需要识别的位置向量——需要对解算子进行截断，基于实际 问题的背景给出特定的解算子） （5）接下来利用 MCMC 方法将特定的解算子和相应的对流-扩散方程的解一一 对应。 （6）利用贝叶斯公式，将未知参数的先验分布改进为后验分布。通过观测数据 获得参数的统计矩 （7）每个参数的均值、方差和其他高阶统计量的计算由于表达式的不明确以及 计算量会随向量维数增加而呈现指数增长。拟采用 MCMC 算法对高维随机向量 上无明确数学表达式的概率分布进行模拟抽样。 （8）结合实际问题背景，验证满足马尔科夫性。利用自适应 Metropolis 算法， 用后验参数的协方差矩阵来估算参数分布——前 i0 次迭代取为定值以进行自适 应更新。利用数学技巧，导出协方差的计算公式（满足马尔科夫性，当前状态仅 与上一条件有关）数学模型建立，设计并编写程序进行数值模拟，得出相关结论。 （9）优势分析：计算效率较同类的遗传算法更优，对于单个未知参数也只需要 产生 4000~5000 个样本。 4.4 编写程序遇到的问题 （1）matlab 运用不够熟练数学模型和程序间的转换，函数关系式的输入等仍需 要进一步的学习。 （2）数学知识的缺乏，相关的演算和处理过程不能很好理解。 （3）大体的步骤基本理解，对于建立模型中的一些细节性的考量不是太理解