弗赖登塔尔数学教育理论与思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威 学者。在他担任国际数学教育委员会(1CM1)主席期间，召开了第一届国际数学 教育大会(ICME一l),并创办了《Educa一tional Studies in Mathematics》杂 志，现任ICMI主席（巴黎十一大学校长）加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学 教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” 作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转 向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。弗赖登塔尔的数学教育理论 与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切， 可以说已经摆脱了“教育学”，（或“心理学”）加数学例子这种“传统的”数 学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献， 也正是我们特别需要借鉴之处。 第一节关于现代数学特性的论述 数学教育的研究不能离开它的对象一数学的特有规律，进入20世纪 以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数 学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久 传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代 实数理论的诞生和约当（了ordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法， 那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于 这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面： 1.数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数 学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一 个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新 词汇，最终汇成一个新潮流一形式化，这是组织现代数学的重要方法之一， 也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着， 新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继 续活动。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入傲分、积分以及 无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要 对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了 极限的概念，才有了一形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外 衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算程 进行形式化改造的结果。 再如表示一个函数的符号，为什么应该记作f,而不宜写作f(x)、这个 道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容 易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它 们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确 化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性弗赖登塔尔数学教育理论与思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威 学者。在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学 教育大会(ICME—1)，并创办了《Educa—tional Studies in Mathematics》杂 志，现任 ICMI 主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学 教育，本世纪的上半叶 Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶 Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献。” 作为一位数学家，弗赖登塔尔 30 年代就享有盛誉，从 50 年代起就逐渐转 向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。弗赖登塔尔的数学教育理论 与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切， 可以说已经摆脱了“教育学”，(或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数 学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献， 也正是我们特别需要借鉴之处。 第一节 关于现代数学特性的论述 数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入 20 世纪 以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数 学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久 传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代 实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法， 那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于 这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面： 1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数 学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一 个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新 词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一， 也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着， 新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继 续活动。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及 无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要， 对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了 极限的概念，才有了 —形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外 衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算程 进行形式化改造的结果。 再如表示一个函数的符号，为什么应该记作 f，而不宜写作 f(x)、这个 道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容 易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它 们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确 化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性