这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的 也不容许矛盾。换句话说 ,数些需要有白口特完的再 严密 精确 完整而且相容。 随着数学抽象程度的 语言表 达的严 性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语 言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程 度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言 根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育， 当处不可可能要 求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿， 以形式化的现代数学内容 充塞于 各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心 理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础， 可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达 的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化， 并日云用普不同水平的搬受基言 干是如何根据学生的情况 培养他们从现实 背景中，概括出各种数学的观念 与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言， 有 意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程， 就必须贯穿在数学教育的始终。 2.数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向 公阻系练的抽兔化重认含形式的定义 ,从而在现代科学方法论的道路 迈开了决定性的 要是把康用 的集合论的创造，作为现代数 学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延 来描述 个概念，脚拉 述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念 :随者现代 数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法， 在不少情况下难以达到预定的目的：在更多的内容中， 人们借助于具有这些特 性的所有对象， 从各种特殊情况中 描述它们的 比性 阐述它们所必须满足的 共有关系， 解释它们所受的相关的约束、限制条件等等， 从而抽象出 个更 泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念：它的实质就是 以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延 相知 已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义， 跳出了亚里士 多的形式罗的理诊 从而使现代数学跨上 了更高水平的形式体系， 护加以 布尔巴基为代表的学说， 认为整个数学 只是对 “结构 的研 从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上 个等价关系：那就是 的充分而又必要条件是ad=bc(这里a、b、c、d均为整数，bd≠0)，于是有理 数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的 概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式， 通常是规定在某个集合 中 定义 使之 合结合律 开且仔在 单位元和 于是这个 合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群， 非琴有理 数集是个乘法群；同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为 在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地 阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中， ▣纪 充分体现了 这种方式， 直线、 平面乳 虽然去掉了像欧几里德所 作的 “点是没有部分的” 这类模糊的描述，但也并未给出任 可清晰的阐述，却 只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质： 在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就 这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的 数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语 言，严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密 性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语 言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程 度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言。 根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要 求一下子飞跃到 20 世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于 各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心 理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础， 可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达 的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化， 并且运用着不同水平的数学语言。于是如何根据学生的情况，培养他们从现实 背景中，概括出各种数学的观念与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言，有 意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程， 就必须贯穿在数学教育的始终。 2．数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向 实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路 上，迈开了决定性的一步。要是把康脱(Cantor)的集合论的创造，作为现代数 学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念，即描 述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念；随着现代 数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法， 在不少情况下难以达到预定的目的；在更多的内容中，人们借助于具有这些特 性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的 共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广 泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念；它的实质就是 以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延”，但却 已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义，跳出了亚里土 多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形式体系，就如以 布尔巴基为代表的学说，认为整个数学也只是对“结构”的研究。 从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上一个等价关系：那就是～ 的充分而又必要条件是 ad＝bc(这里 a、b、c、d 均为整数，bd≠0)，于是有理 数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的 概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式，通常是规定在某个集合 中，定义了一个运算，使之符合结合律，并且存在单位元和逆元，于是这个集 合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群，非零有理 数集是个乘法群；同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为 在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地 阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中，已经 充分体现了这种方式，点、直线、平面究竞是什么，虽然去掉了像欧几里德所 作的“点是没有部分的”这类模糊的描述，但也并未给出任何清晰的阐述，却 只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质， 在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就