D01:10.13374/i.issn1001t63x.2011.09.02 第33卷第9期 北京科技大学学报 Vol 33 No 9 2011年9月 Journal of Un iversity of Science and Techno lgy Beijing Sep 2011 幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 明春英》郑连存帅 张欣欣) 1)北京科技大学数理学院，北京1000832)北京科技大学机械工程学院，北京100083 *通信作者，Email Liancunzheng@163cam 摘要针对非牛顿幂律流体在无限大旋转圆盘上层流边界层内三维流动与传热问题，在普朗特数为常数的条件下，利用广 义Kaman相似变换，将连续方程、动量方程及能量方程形成的偏微分方程组化成常微分方程组，再采用多重打靶法数值求解 非线性两点边值问题·分别针对剪薄型流体、牛顿流体和剪厚型流体，得到不同幂律指标下的速度和温度分布及不同普朗特 数下温度场的结果，结果表明径向速度分量的峰值随幂律指标的增大而增大，轴向速度受边界层厚度的影响较突出，盘表面 的传热随幂律指标和普朗特数都呈现递增趋势.最后将本文流场结果与Andersson等在不考虑传热情况下的结果进行比较表 明吻合性较好 关键词非牛顿流体：旋转圆盘：旋转流；传热：相似变换；数值分析 分类号K124 Num erical analysis of the flow and heat transfer of a pow er-law flu id over a ro- ta ting disk M NG Chun ying,ZHENG Lian cun',ZHANG X inxin) 1)School ofMatheatics and Physics University of Science and Technology Beijng Beijing 100083 China 2)School ofM echanical Engineering University of Science and Technology Beijing Beijing 100083 China Corresponding au thor Email Liancunzheng@163 com ABSTRACT The threedmensional steady lam inar flow of an incanpressble non New tonian power-law fluid over a rotating infin ite disk with heat transfer was studied The goveming partial differential equations inclding the continuity equation the momentm equation and the energy equation were transfomed to ondinary differential equations by utilizing the generalized Kaman sin ilarity transfomation The corresponding nonlinear topoint boundary vale probkm was solved by the multi-shooting method Numerical re- sults were obtained for the shearthinning fluid the New ton ian fluid and the shear-thicken ing fluid It is shown that the power-law char acter index and the Prandtl number affect the velcities in all directions and the temperature of the fluid in the boundary layer The re- sults are comnpared with those of Andersson et al without considering heat transfer KEY W ORDS non New tonian fluids rotating disks swirling flow:heat transfes si ilarity transfomation:numerical analysis 旋转流动是生活中常见的一种流动，人类很早 量，将柱坐标系下的Nav ier Stokes方程组化简为常 就已经利用转动制作一些机械设备，如涡轮和泵， 微分方程组，对常微分方程组采用动量积分的方法 旋转圆盘系统还应用于微电子领域，如半导体中的 数值求解，随后Cochran,Rogers和Lancel以及Benton 旋转晶片、磁盘，彩色电视显像管的荧光屏采用的旋 将Kaman相似变换得到的常微分方程组的解不断 转甩涂法，无限大旋转圆盘在牛顿流体内转动与传 进行完善。随着计算科学的发展，打靶法、有限差分 热，是个经典的模型，1921年流体力学家vom 和有限元等方法被用于该问题求解数值解. Kamn最早对无限大旋转盘上的流动进行深入 关于旋转盘上的传热问题，M ilsapsi和Polhausen 研究，通过相似原理，巧妙地构造了Kaman相似变 最早对牛顿流体进行了分析).旋转圆盘上牛顿流 收稿日期：2010-11-06 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50936003：51076012)第 33卷 第 9期 2011年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．33Ｎｏ．9 Ｓｅｐ．2011 幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 明春英 1） 郑连存 1）* 张欣欣 2） 1） 北京科技大学数理学院‚北京 100083 2） 北京科技大学机械工程学院‚北京 100083 * 通信作者‚Ｅ-ｍａｉｌ：Ｌｉａｎｃｕｎｚｈｅｎｇ＠163．ｃｏｍ 摘 要 针对非牛顿幂律流体在无限大旋转圆盘上层流边界层内三维流动与传热问题‚在普朗特数为常数的条件下‚利用广 义 Ｋａｒｍａｎ相似变换‚将连续方程、动量方程及能量方程形成的偏微分方程组化成常微分方程组‚再采用多重打靶法数值求解 非线性两点边值问题．分别针对剪薄型流体、牛顿流体和剪厚型流体‚得到不同幂律指标下的速度和温度分布及不同普朗特 数下温度场的结果．结果表明径向速度分量的峰值随幂律指标的增大而增大‚轴向速度受边界层厚度的影响较突出‚盘表面 的传热随幂律指标和普朗特数都呈现递增趋势．最后将本文流场结果与 Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等在不考虑传热情况下的结果进行比较表 明吻合性较好． 关键词 非牛顿流体；旋转圆盘；旋转流；传热；相似变换；数值分析 分类号 ＴＫ124 Ｎｕｍｅｒｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｌｏｗａｎｄｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｏｆａｐｏｗｅｒ-ｌａｗｆｌｕｉｄｏｖｅｒａｒｏ- ｔａｔｉｎｇｄｉｓｋ ＭＩＮＧＣｈｕｎ-ｙｉｎｇ 1）‚ＺＨＥＮＧＬｉａｎ-ｃｕｎ 1）* ‚ＺＨＡＮＧＸｉｎ-ｘｉｎ 2） 1） ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ‚ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ‚Ｂｅｉｊｉｎｇ100083‚Ｃｈｉｎａ 2） ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ‚ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ‚Ｂｅｉｊｉｎｇ100083‚Ｃｈｉｎａ * Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ‚Ｅ-ｍａｉｌ：Ｌｉａｎｃｕｎｚｈｅｎｇ＠163．ｃｏｍ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｔｈｅｔｈｒｅｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｔｅａｄｙｌａｍｉｎａｒｆｌｏｗｏｆａｎｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｎｏｎ-Ｎｅｗｔｏｎｉａｎｐｏｗｅｒ-ｌａｗｆｌｕｉｄｏｖｅｒａｒｏｔａｔｉｎｇｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｓｋｗｉｔｈｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅｇｏｖｅｒｎｉｎｇｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ‚ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｅｑｕａｔｉｏｎ‚ｔｈｅｍｏｍｅｎｔｕｍ ｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｅｎｅｒｇｙｅｑｕａｔｉｏｎ‚ｗｅｒｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｔｏｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｔｉｌｉｚｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＫａｒｍａｎｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｗｏ-ｐｏｉｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｗａｓｓｏｌｖｅｄｂｙｔｈｅｍｕｌｔｉ-ｓｈｏｏｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅ- ｓｕｌｔｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｔｈｅｓｈｅａｒ-ｔｈｉｎｎｉｎｇｆｌｕｉｄ‚ｔｈｅＮｅｗｔｏｎｉａｎｆｌｕｉｄａｎｄｔｈｅｓｈｅａｒ-ｔｈｉｃｋｅｎｉｎｇｆｌｕｉｄ．Ｉｔｉｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｐｏｗｅｒ-ｌａｗｃｈａｒ- ａｃｔｅｒｉｎｄｅｘａｎｄｔｈｅＰｒａｎｄｔｌｎｕｍｂｅｒａｆｆｅｃｔｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓｉｎａｌｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｏｆｔｈｅｆｌｕｉｄｉｎｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｌａｙｅｒ．Ｔｈｅｒｅ- ｓｕｌｔｓａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｏｓｅｏｆＡｎｄｅｒｓｓｏｎｅｔａｌ．ｗｉｔｈｏｕｔｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｎｏｎ-Ｎｅｗｔｏｎｉａｎｆｌｕｉｄｓ；ｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｋｓ；ｓｗｉｒｌｉｎｇｆｌｏｗ；ｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒ；ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ 收稿日期：2010--11--06 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （50936003；51076012） 旋转流动是生活中常见的一种流动‚人类很早 就已经利用转动制作一些机械设备‚如涡轮和泵． 旋转圆盘系统还应用于微电子领域‚如半导体中的 旋转晶片、磁盘‚彩色电视显像管的荧光屏采用的旋 转甩涂法．无限大旋转圆盘在牛顿流体内转动与传 热‚是 个 经 典 的 模 型‚1921年 流 体 力 学 家 ｖｏｎ Ｋ昣ｒｍ昣ｎ ［1］最早对无限大旋转盘上的流动进行深入 研究‚通过相似原理‚巧妙地构造了 Ｋａｒｍａｎ相似变 量‚将柱坐标系下的 ＮａｖｉｅｒＳｔｏｋｅｓ方程组化简为常 微分方程组‚对常微分方程组采用动量积分的方法 数值求解‚随后 Ｃｏｃｈｒａｎ、Ｒｏｇｅｒｓ和 Ｌａｎｃｅ以及Ｂｅｎｔｏｎ 将 Ｋａｒｍａｎ相似变换得到的常微分方程组的解不断 进行完善．随着计算科学的发展‚打靶法、有限差分 和有限元等方法被用于该问题求解数值解． 关于旋转盘上的传热问题‚Ｍｉｌｓａｐｓ和 Ｐｏｌｈａｕｓｅｎ 最早对牛顿流体进行了分析 ［2］．旋转圆盘上牛顿流 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2011．09．022