第9期 明春英等：幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 .1167. 体的流动和传热研究已经比较成熟，Zandbergen和 Dksm给出早期文献比较详细的总结).但是，在 d1v上.. u ar r 实际工程中，很多问题是与非牛顿流体相关，非牛顿 n+1a, drrdr(rs) (2) 流在旋转圆盘上的流动具有更广泛的应用，如涡轮 发动机、润滑油和化学加工、石油工业中，一个典型 a 月uarr 十w 的应用是使用离心泵输运非牛顿蜡状原油，对非牛 顿流在旋转圆盘上的流动近几年才被普遍关注， (3) r Atia和Sahoo针对RenerR ivlin流体在不同条 件下的流动和传热进行了研究，Rashada和 u ar w0 Osalust等[对Binghan流体进行了分析.在工程应 用中，出现的流体常常具有剪切变薄或剪切变厚的 a,(.)+ (4) 特性，采用的模型为幂律模型，对幂律流体的研究， 能量方程（忽略黏性扩散项）： 更多的文献是针对二维流动与传热的，如文献[8 ec. 9],1964年M itschka首先将旋转盘流动的三维 Kaman相似变换推广到幂律流体，对幂律指标 +入r+ (5) 0.≤≤1.5进行了分析，该论文是以德文发表的， 直到2001年Andersson等o]在M itschka的基础上 式中，u和w分别代表流体的径向、周向和轴向的 应用有限差分法对幂律流体在旋转盘上流动问题进 速度分量，T为流体温度，P为流体密度是常数，9 为定压下的比热，入为导热系数， 一步研究，将幂律指标推广到1.≤2.0对于幂 设流体满足Ostwal-de W aele幂律模型t= 律流体在旋转盘上的传热，文献[11]对普朗特数 P=0.72的情况，讨论了速度和温度随幂律指标的 2D=2%(2D,D)a-D.其中%为流体的连续系 变化 数，n为幂律指标.n=l时为牛顿流体，此时流体的 本文主要针对非牛顿幂律流体在无限大旋转盘 动力黏度系数“=，本文考虑幂律流体在边界层 上的流动和传热问题，首先建立边界层模型，然后在 内速度和温度分布，引入量纲为1的变量：r=r尔 广义扩散假设下，采用相似变换，将控制方程组化成 =(2/R)(Re)1/(m+D),u=u/,=v/,w= 常微分方程组，再采用多重打靶法数值求解边值问 (w)(Re)a,p=pU.其中R是特征尺 题，求出速度与温度的分布，并对幂律指标和普朗特 度，U是特征速度，可取U=2RRe是广义雷诺数， 数对速度场和温度场的影响进行分析 定义为Re="R",变换相当于在轴向拉伸了 (Re)-1a+倍.在文献[10]中，Andersson等对量 1控制方程与定解条件 纲为1化后的速度控制方程组进行了分析，由边界 无限大圆盘在不可压缩流体中绕轴转动，角 层特点，在Re>1时得到如下简化的边界层控制方 速度Ω为常数，如图1所示 程组（去掉各个物理量上*号标记）： +山+=0 ar'r dz (6) u ar (7) r (8) r 的 列 (9) 图1旋转盘边界层模型 边界条件为： Fig 1 Boundary layer model of a motating disk 盘表面，=0 设流动为轴对称的稳态流动，即∂p=0,∂/ u0 ∂=Q由质量、动量和能量守恒，有 v=0r (10) )+受。-0 1∂ w=0 (1) T=T第 9期 明春英等： 幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 体的流动和传热研究已经比较成熟‚Ｚａｎｄｂｅｒｇｅｎ和 Ｄｉｊｋｓｔｒａ给出早期文献比较详细的总结 ［3］．但是‚在 实际工程中‚很多问题是与非牛顿流体相关‚非牛顿 流在旋转圆盘上的流动具有更广泛的应用‚如涡轮 发动机、润滑油和化学加工、石油工业中‚一个典型 的应用是使用离心泵输运非牛顿蜡状原油．对非牛 顿流在旋转圆盘上的流动近几年才被普遍关注‚ Ａｔｔｉａ ［4］和 Ｓａｈｏｏ ［5］针对 Ｒｅｉｎｅｒ-Ｒｉｖｌｉｎ流体在不同条 件下 的 流 动 和 传 热 进 行 了 研 究‚Ｒａｓｈａｉｄａ ［6］ 和 Ｏｓａｌｕｓｉ等 ［7］对 Ｂｉｎｇｈａｍ流体进行了分析．在工程应 用中‚出现的流体常常具有剪切变薄或剪切变厚的 特性‚采用的模型为幂律模型‚对幂律流体的研究‚ 更多的文献是针对二维流动与传热的‚如文献 ［8-- 9］．1964年 Ｍｉｔｓｃｈｋａ首先将旋转盘流动的三维 Ｋａｒｍａｎ相似变换推广到幂律流体‚对幂律指标 0∙2≤ｎ≤1∙5进行了分析‚该论文是以德文发表的‚ 直到 2001年 Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等 ［10］在 Ｍｉｔｓｃｈｋａ的基础上 应用有限差分法对幂律流体在旋转盘上流动问题进 一步研究‚将幂律指标推广到 1∙5≤ｎ≤2∙0．对于幂 律流体在旋转盘上的传热‚文献 ［11］对普朗特数 Ｐｒ＝0∙72的情况‚讨论了速度和温度随幂律指标的 变化． 本文主要针对非牛顿幂律流体在无限大旋转盘 上的流动和传热问题‚首先建立边界层模型‚然后在 广义扩散假设下‚采用相似变换‚将控制方程组化成 常微分方程组‚再采用多重打靶法数值求解边值问 题‚求出速度与温度的分布‚并对幂律指标和普朗特 数对速度场和温度场的影响进行分析． 1 控制方程与定解条件 无限大圆盘在不可压缩流体中绕 ｚ轴转动‚角 速度 Ω为常数‚如图 1所示． 图 1 旋转盘边界层模型 Ｆｉｇ．1 Ｂｏｕｎｄａｒｙｌａｙｅｒｍｏｄｅｌｏｆａｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｋ 设流动为轴对称的稳态流动‚即∂／∂φ＝0‚∂／ ∂ｔ＝0．由质量、动量和能量守恒‚有 1 ｒ ∂ ∂ｒ （ｒｕ）＋ ∂ｗ ∂ｚ ＝0 （1） ρ ｕ ∂ｕ ∂ｒ － ｖ 2 ｒ ＋ｗ ∂ｕ ∂ｚ ＝ － ∂ｐ ∂ｒ ＋ 1 ｒ ∂ ∂ｒ （ｒτｒｒ）＋ ∂ ∂ｚ τｚｒ－ τφφ ｒ （2） ρ ｕ ∂ｖ ∂ｒ ＋ ｕｖ ｒ ＋ｗ ∂ｖ ∂ｚ ＝ 1 ｒ 2 ∂ ∂ｒ （ｒ 2τｒφ）＋ ∂ ∂ｚ τｚφ ＋ τφｒ－τｒφ ｒ （3） ρ ｕ ∂ｗ ∂ｒ ＋ｗ ∂ｗ ∂ｚ ＝ － ∂ｐ ∂ｚ ＋ 1 ｒ ∂ ∂ｒ （ｒτｒｚ）＋ ∂ ∂ｚ τｚｚ （4） 能量方程 （忽略黏性扩散项 ）： ρｃｐ ｕ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ｗ ∂Ｔ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｒ λ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ λ ｒ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ ∂ ∂ｚ λ ∂Ｔ ∂ｚ （5） 式中‚ｕ、ｖ和 ｗ分别代表流体的径向、周向和轴向的 速度分量‚Ｔ为流体温度‚ρ为流体密度是常数‚ｃｐ 为定压下的比热‚λ为导热系数． 设流体 满 足 Ｏｓｔｗａｌｄ-ｄｅＷａｅｌｅ幂 律 模 型 τ＝ 2μＤ＝2μ0（2ＤｉｊＤｉｊ） （ｎ－1）／2Ｄ‚其中 μ0为流体的连续系 数‚ｎ为幂律指标．ｎ＝1时为牛顿流体‚此时流体的 动力黏度系数 μ＝μ0．本文考虑幂律流体在边界层 内速度和温度分布‚引入量纲为 1的变量：ｒ ∗ ＝ｒ／Ｒ‚ ｚ ∗ ＝（ｚ／Ｒ） （Ｒｅ） 1／（ｎ＋1）‚ｕ ∗ ＝ｕ／Ｕ‚ｖ ∗ ＝ｖ／Ｕ‚ｗ ∗ ＝ （ｗ／Ｕ） （Ｒｅ） 1／（ｎ＋1）‚ｐ ∗ ＝ｐ／ρＵ 2．其中 Ｒ是特征尺 度‚Ｕ是特征速度‚可取 Ｕ＝ΩＲ‚Ｒｅ是广义雷诺数‚ 定义为 Ｒｅ＝ρＵ 2－ｎＲ ｎ／μ0．变换相当于在轴向拉伸了 （Ｒｅ） －1／（ｎ＋1）倍．在文献 ［10］中‚Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等对量 纲为 1化后的速度控制方程组进行了分析‚由边界 层特点‚在 Ｒｅ 1时得到如下简化的边界层控制方 程组 （去掉各个物理量上∗号标记 ）： ∂ｕ ∂ｒ ＋ ｕ ｒ ＋ ∂ｗ ∂ｚ ＝0 （6） ρ ｕ ∂ｕ ∂ｒ － ｖ 2 ｒ ＋ｗ ∂ｕ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｚ μ ∂ｕ ∂ｚ （7） ρ ｕ ∂ｖ ∂ｒ ＋ ｕｖ ｒ ＋ｗ ∂ｕ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｚ μ ∂ｖ ∂ｚ （8） ρｃｐ ｕ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ｗ ∂Ｔ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｚ λ ∂Ｔ ∂ｚ （9） 边界条件为： 盘表面‚ｚ＝0‚ ｕ＝0 ｖ＝Ωｒ ｗ＝0 Ｔ＝Ｔｗ （10） ·1167·