D01:10.13374/i.issn1001t63x.2011.09.02 第33卷第9期 北京科技大学学报 Vol 33 No 9 2011年9月 Journal of Un iversity of Science and Techno lgy Beijing Sep 2011 幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 明春英》郑连存帅 张欣欣) 1)北京科技大学数理学院，北京1000832)北京科技大学机械工程学院，北京100083 *通信作者，Email Liancunzheng@163cam 摘要针对非牛顿幂律流体在无限大旋转圆盘上层流边界层内三维流动与传热问题，在普朗特数为常数的条件下，利用广 义Kaman相似变换，将连续方程、动量方程及能量方程形成的偏微分方程组化成常微分方程组，再采用多重打靶法数值求解 非线性两点边值问题·分别针对剪薄型流体、牛顿流体和剪厚型流体，得到不同幂律指标下的速度和温度分布及不同普朗特 数下温度场的结果，结果表明径向速度分量的峰值随幂律指标的增大而增大，轴向速度受边界层厚度的影响较突出，盘表面 的传热随幂律指标和普朗特数都呈现递增趋势.最后将本文流场结果与Andersson等在不考虑传热情况下的结果进行比较表 明吻合性较好 关键词非牛顿流体：旋转圆盘：旋转流；传热：相似变换；数值分析 分类号K124 Num erical analysis of the flow and heat transfer of a pow er-law flu id over a ro- ta ting disk M NG Chun ying,ZHENG Lian cun',ZHANG X inxin) 1)School ofMatheatics and Physics University of Science and Technology Beijng Beijing 100083 China 2)School ofM echanical Engineering University of Science and Technology Beijing Beijing 100083 China Corresponding au thor Email Liancunzheng@163 com ABSTRACT The threedmensional steady lam inar flow of an incanpressble non New tonian power-law fluid over a rotating infin ite disk with heat transfer was studied The goveming partial differential equations inclding the continuity equation the momentm equation and the energy equation were transfomed to ondinary differential equations by utilizing the generalized Kaman sin ilarity transfomation The corresponding nonlinear topoint boundary vale probkm was solved by the multi-shooting method Numerical re- sults were obtained for the shearthinning fluid the New ton ian fluid and the shear-thicken ing fluid It is shown that the power-law char acter index and the Prandtl number affect the velcities in all directions and the temperature of the fluid in the boundary layer The re- sults are comnpared with those of Andersson et al without considering heat transfer KEY W ORDS non New tonian fluids rotating disks swirling flow:heat transfes si ilarity transfomation:numerical analysis 旋转流动是生活中常见的一种流动，人类很早 量，将柱坐标系下的Nav ier Stokes方程组化简为常 就已经利用转动制作一些机械设备，如涡轮和泵， 微分方程组，对常微分方程组采用动量积分的方法 旋转圆盘系统还应用于微电子领域，如半导体中的 数值求解，随后Cochran,Rogers和Lancel以及Benton 旋转晶片、磁盘，彩色电视显像管的荧光屏采用的旋 将Kaman相似变换得到的常微分方程组的解不断 转甩涂法，无限大旋转圆盘在牛顿流体内转动与传 进行完善。随着计算科学的发展，打靶法、有限差分 热，是个经典的模型，1921年流体力学家vom 和有限元等方法被用于该问题求解数值解. Kamn最早对无限大旋转盘上的流动进行深入 关于旋转盘上的传热问题，M ilsapsi和Polhausen 研究，通过相似原理，巧妙地构造了Kaman相似变 最早对牛顿流体进行了分析).旋转圆盘上牛顿流 收稿日期：2010-11-06 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50936003：51076012)
第 33卷 第 9期 2011年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．33Ｎｏ．9 Ｓｅｐ．2011 幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 明春英 1） 郑连存 1）* 张欣欣 2） 1） 北京科技大学数理学院北京 100083 2） 北京科技大学机械工程学院北京 100083 * 通信作者Ｅ-ｍａｉｌ：Ｌｉａｎｃｕｎｚｈｅｎｇ＠163．ｃｏｍ 摘 要 针对非牛顿幂律流体在无限大旋转圆盘上层流边界层内三维流动与传热问题在普朗特数为常数的条件下利用广 义 Ｋａｒｍａｎ相似变换将连续方程、动量方程及能量方程形成的偏微分方程组化成常微分方程组再采用多重打靶法数值求解 非线性两点边值问题．分别针对剪薄型流体、牛顿流体和剪厚型流体得到不同幂律指标下的速度和温度分布及不同普朗特 数下温度场的结果．结果表明径向速度分量的峰值随幂律指标的增大而增大轴向速度受边界层厚度的影响较突出盘表面 的传热随幂律指标和普朗特数都呈现递增趋势．最后将本文流场结果与 Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等在不考虑传热情况下的结果进行比较表 明吻合性较好． 关键词 非牛顿流体；旋转圆盘；旋转流；传热；相似变换；数值分析 分类号 ＴＫ124 Ｎｕｍｅｒｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｌｏｗａｎｄｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｏｆａｐｏｗｅｒ-ｌａｗｆｌｕｉｄｏｖｅｒａｒｏ- ｔａｔｉｎｇｄｉｓｋ ＭＩＮＧＣｈｕｎ-ｙｉｎｇ 1）ＺＨＥＮＧＬｉａｎ-ｃｕｎ 1）* ＺＨＡＮＧＸｉｎ-ｘｉｎ 2） 1） ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ 2） ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ * ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ-ｍａｉｌ：Ｌｉａｎｃｕｎｚｈｅｎｇ＠163．ｃｏｍ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｔｈｅｔｈｒｅｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｔｅａｄｙｌａｍｉｎａｒｆｌｏｗｏｆａｎｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｎｏｎ-Ｎｅｗｔｏｎｉａｎｐｏｗｅｒ-ｌａｗｆｌｕｉｄｏｖｅｒａｒｏｔａｔｉｎｇｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｓｋｗｉｔｈｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅｇｏｖｅｒｎｉｎｇｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｅｑｕａｔｉｏｎｔｈｅｍｏｍｅｎｔｕｍ ｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｅｎｅｒｇｙｅｑｕａｔｉｏｎｗｅｒｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｔｏｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｔｉｌｉｚｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＫａｒｍａｎｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｗｏ-ｐｏｉｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｗａｓｓｏｌｖｅｄｂｙｔｈｅｍｕｌｔｉ-ｓｈｏｏｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅ- ｓｕｌｔｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｆｏｒｔｈｅｓｈｅａｒ-ｔｈｉｎｎｉｎｇｆｌｕｉｄｔｈｅＮｅｗｔｏｎｉａｎｆｌｕｉｄａｎｄｔｈｅｓｈｅａｒ-ｔｈｉｃｋｅｎｉｎｇｆｌｕｉｄ．Ｉｔｉｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｐｏｗｅｒ-ｌａｗｃｈａｒ- ａｃｔｅｒｉｎｄｅｘａｎｄｔｈｅＰｒａｎｄｔｌｎｕｍｂｅｒａｆｆｅｃｔｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓｉｎａｌｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｏｆｔｈｅｆｌｕｉｄｉｎｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｌａｙｅｒ．Ｔｈｅｒｅ- ｓｕｌｔｓａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｏｓｅｏｆＡｎｄｅｒｓｓｏｎｅｔａｌ．ｗｉｔｈｏｕｔｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｎｏｎ-Ｎｅｗｔｏｎｉａｎｆｌｕｉｄｓ；ｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｋｓ；ｓｗｉｒｌｉｎｇｆｌｏｗ；ｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒ；ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ 收稿日期：2010--11--06 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （50936003；51076012） 旋转流动是生活中常见的一种流动人类很早 就已经利用转动制作一些机械设备如涡轮和泵． 旋转圆盘系统还应用于微电子领域如半导体中的 旋转晶片、磁盘彩色电视显像管的荧光屏采用的旋 转甩涂法．无限大旋转圆盘在牛顿流体内转动与传 热是 个 经 典 的 模 型1921年 流 体 力 学 家 ｖｏｎ Ｋ昣ｒｍ昣ｎ ［1］最早对无限大旋转盘上的流动进行深入 研究通过相似原理巧妙地构造了 Ｋａｒｍａｎ相似变 量将柱坐标系下的 ＮａｖｉｅｒＳｔｏｋｅｓ方程组化简为常 微分方程组对常微分方程组采用动量积分的方法 数值求解随后 Ｃｏｃｈｒａｎ、Ｒｏｇｅｒｓ和 Ｌａｎｃｅ以及Ｂｅｎｔｏｎ 将 Ｋａｒｍａｎ相似变换得到的常微分方程组的解不断 进行完善．随着计算科学的发展打靶法、有限差分 和有限元等方法被用于该问题求解数值解． 关于旋转盘上的传热问题Ｍｉｌｓａｐｓ和 Ｐｏｌｈａｕｓｅｎ 最早对牛顿流体进行了分析 ［2］．旋转圆盘上牛顿流 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2011．09．022
第9期 明春英等：幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 .1167. 体的流动和传热研究已经比较成熟，Zandbergen和 Dksm给出早期文献比较详细的总结).但是，在 d1v上.. u ar r 实际工程中，很多问题是与非牛顿流体相关，非牛顿 n+1a, drrdr(rs) (2) 流在旋转圆盘上的流动具有更广泛的应用，如涡轮 发动机、润滑油和化学加工、石油工业中，一个典型 a 月uarr 十w 的应用是使用离心泵输运非牛顿蜡状原油，对非牛 顿流在旋转圆盘上的流动近几年才被普遍关注， (3) r Atia和Sahoo针对RenerR ivlin流体在不同条 件下的流动和传热进行了研究，Rashada和 u ar w0 Osalust等[对Binghan流体进行了分析.在工程应 用中，出现的流体常常具有剪切变薄或剪切变厚的 a,(.)+ (4) 特性，采用的模型为幂律模型，对幂律流体的研究， 能量方程（忽略黏性扩散项）： 更多的文献是针对二维流动与传热的，如文献[8 ec. 9],1964年M itschka首先将旋转盘流动的三维 Kaman相似变换推广到幂律流体，对幂律指标 +入r+ (5) 0.≤≤1.5进行了分析，该论文是以德文发表的， 直到2001年Andersson等o]在M itschka的基础上 式中，u和w分别代表流体的径向、周向和轴向的 应用有限差分法对幂律流体在旋转盘上流动问题进 速度分量，T为流体温度，P为流体密度是常数，9 为定压下的比热，入为导热系数， 一步研究，将幂律指标推广到1.≤2.0对于幂 设流体满足Ostwal-de W aele幂律模型t= 律流体在旋转盘上的传热，文献[11]对普朗特数 P=0.72的情况，讨论了速度和温度随幂律指标的 2D=2%(2D,D)a-D.其中%为流体的连续系 变化 数，n为幂律指标.n=l时为牛顿流体，此时流体的 本文主要针对非牛顿幂律流体在无限大旋转盘 动力黏度系数“=，本文考虑幂律流体在边界层 上的流动和传热问题，首先建立边界层模型，然后在 内速度和温度分布，引入量纲为1的变量：r=r尔 广义扩散假设下，采用相似变换，将控制方程组化成 =(2/R)(Re)1/(m+D),u=u/,=v/,w= 常微分方程组，再采用多重打靶法数值求解边值问 (w)(Re)a,p=pU.其中R是特征尺 题，求出速度与温度的分布，并对幂律指标和普朗特 度，U是特征速度，可取U=2RRe是广义雷诺数， 数对速度场和温度场的影响进行分析 定义为Re="R",变换相当于在轴向拉伸了 (Re)-1a+倍.在文献[10]中，Andersson等对量 1控制方程与定解条件 纲为1化后的速度控制方程组进行了分析，由边界 无限大圆盘在不可压缩流体中绕轴转动，角 层特点，在Re>1时得到如下简化的边界层控制方 速度Ω为常数，如图1所示 程组（去掉各个物理量上*号标记）： +山+=0 ar'r dz (6) u ar (7) r (8) r 的 列 (9) 图1旋转盘边界层模型 边界条件为： Fig 1 Boundary layer model of a motating disk 盘表面，=0 设流动为轴对称的稳态流动，即∂p=0,∂/ u0 ∂=Q由质量、动量和能量守恒，有 v=0r (10) )+受。-0 1∂ w=0 (1) T=T
第 9期 明春英等： 幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 体的流动和传热研究已经比较成熟Ｚａｎｄｂｅｒｇｅｎ和 Ｄｉｊｋｓｔｒａ给出早期文献比较详细的总结 ［3］．但是在 实际工程中很多问题是与非牛顿流体相关非牛顿 流在旋转圆盘上的流动具有更广泛的应用如涡轮 发动机、润滑油和化学加工、石油工业中一个典型 的应用是使用离心泵输运非牛顿蜡状原油．对非牛 顿流在旋转圆盘上的流动近几年才被普遍关注 Ａｔｔｉａ ［4］和 Ｓａｈｏｏ ［5］针对 Ｒｅｉｎｅｒ-Ｒｉｖｌｉｎ流体在不同条 件下 的 流 动 和 传 热 进 行 了 研 究Ｒａｓｈａｉｄａ ［6］ 和 Ｏｓａｌｕｓｉ等 ［7］对 Ｂｉｎｇｈａｍ流体进行了分析．在工程应 用中出现的流体常常具有剪切变薄或剪切变厚的 特性采用的模型为幂律模型对幂律流体的研究 更多的文献是针对二维流动与传热的如文献 ［8-- 9］．1964年 Ｍｉｔｓｃｈｋａ首先将旋转盘流动的三维 Ｋａｒｍａｎ相似变换推广到幂律流体对幂律指标 0∙2≤ｎ≤1∙5进行了分析该论文是以德文发表的 直到 2001年 Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等 ［10］在 Ｍｉｔｓｃｈｋａ的基础上 应用有限差分法对幂律流体在旋转盘上流动问题进 一步研究将幂律指标推广到 1∙5≤ｎ≤2∙0．对于幂 律流体在旋转盘上的传热文献 ［11］对普朗特数 Ｐｒ＝0∙72的情况讨论了速度和温度随幂律指标的 变化． 本文主要针对非牛顿幂律流体在无限大旋转盘 上的流动和传热问题首先建立边界层模型然后在 广义扩散假设下采用相似变换将控制方程组化成 常微分方程组再采用多重打靶法数值求解边值问 题求出速度与温度的分布并对幂律指标和普朗特 数对速度场和温度场的影响进行分析． 1 控制方程与定解条件 无限大圆盘在不可压缩流体中绕 ｚ轴转动角 速度 Ω为常数如图 1所示． 图 1 旋转盘边界层模型 Ｆｉｇ．1 Ｂｏｕｎｄａｒｙｌａｙｅｒｍｏｄｅｌｏｆａｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｋ 设流动为轴对称的稳态流动即∂／∂φ＝0∂／ ∂ｔ＝0．由质量、动量和能量守恒有 1 ｒ ∂ ∂ｒ （ｒｕ）＋ ∂ｗ ∂ｚ ＝0 （1） ρ ｕ ∂ｕ ∂ｒ － ｖ 2 ｒ ＋ｗ ∂ｕ ∂ｚ ＝ － ∂ｐ ∂ｒ ＋ 1 ｒ ∂ ∂ｒ （ｒτｒｒ）＋ ∂ ∂ｚ τｚｒ－ τφφ ｒ （2） ρ ｕ ∂ｖ ∂ｒ ＋ ｕｖ ｒ ＋ｗ ∂ｖ ∂ｚ ＝ 1 ｒ 2 ∂ ∂ｒ （ｒ 2τｒφ）＋ ∂ ∂ｚ τｚφ ＋ τφｒ－τｒφ ｒ （3） ρ ｕ ∂ｗ ∂ｒ ＋ｗ ∂ｗ ∂ｚ ＝ － ∂ｐ ∂ｚ ＋ 1 ｒ ∂ ∂ｒ （ｒτｒｚ）＋ ∂ ∂ｚ τｚｚ （4） 能量方程 （忽略黏性扩散项 ）： ρｃｐ ｕ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ｗ ∂Ｔ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｒ λ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ λ ｒ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ ∂ ∂ｚ λ ∂Ｔ ∂ｚ （5） 式中ｕ、ｖ和 ｗ分别代表流体的径向、周向和轴向的 速度分量Ｔ为流体温度ρ为流体密度是常数ｃｐ 为定压下的比热λ为导热系数． 设流体 满 足 Ｏｓｔｗａｌｄ-ｄｅＷａｅｌｅ幂 律 模 型 τ＝ 2μＤ＝2μ0（2ＤｉｊＤｉｊ） （ｎ－1）／2Ｄ其中 μ0为流体的连续系 数ｎ为幂律指标．ｎ＝1时为牛顿流体此时流体的 动力黏度系数 μ＝μ0．本文考虑幂律流体在边界层 内速度和温度分布引入量纲为 1的变量：ｒ ∗ ＝ｒ／Ｒ ｚ ∗ ＝（ｚ／Ｒ） （Ｒｅ） 1／（ｎ＋1）ｕ ∗ ＝ｕ／Ｕｖ ∗ ＝ｖ／Ｕｗ ∗ ＝ （ｗ／Ｕ） （Ｒｅ） 1／（ｎ＋1）ｐ ∗ ＝ｐ／ρＵ 2．其中 Ｒ是特征尺 度Ｕ是特征速度可取 Ｕ＝ΩＲＲｅ是广义雷诺数 定义为 Ｒｅ＝ρＵ 2－ｎＲ ｎ／μ0．变换相当于在轴向拉伸了 （Ｒｅ） －1／（ｎ＋1）倍．在文献 ［10］中Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等对量 纲为 1化后的速度控制方程组进行了分析由边界 层特点在 Ｒｅ 1时得到如下简化的边界层控制方 程组 （去掉各个物理量上∗号标记 ）： ∂ｕ ∂ｒ ＋ ｕ ｒ ＋ ∂ｗ ∂ｚ ＝0 （6） ρ ｕ ∂ｕ ∂ｒ － ｖ 2 ｒ ＋ｗ ∂ｕ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｚ μ ∂ｕ ∂ｚ （7） ρ ｕ ∂ｖ ∂ｒ ＋ ｕｖ ｒ ＋ｗ ∂ｕ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｚ μ ∂ｖ ∂ｚ （8） ρｃｐ ｕ ∂Ｔ ∂ｒ ＋ｗ ∂Ｔ ∂ｚ ＝ ∂ ∂ｚ λ ∂Ｔ ∂ｚ （9） 边界条件为： 盘表面ｚ＝0 ｕ＝0 ｖ＝Ωｒ ｗ＝0 Ｔ＝Ｔｗ （10） ·1167·
,1168 北京科技大学学报 第33卷 远离盘，z∞， F(0)=0G(0)=1,H(0)=0Θ(0)=1 F(∞)=0G(∞)=0，Θ（∞）=0 (19) u0 w0 (11) 式中，F、GH和⊙分别代表量纲为1的径向、周向 T=T 和轴向速度分量及量纲为1的温度，求导运算是针 式中：z=0处u=0v=2r代表无滑移边界条件； 对量纲为1的距离坐标变量进行的， w=婊示盘无吸抽喷注T.为盘表面的温度，T。 将问题化成一阶微分系统，令n=F,2=F; 为边界层外流体温度，T和都为常数 为=G=G,5=H%=0,方=日设A=(及十 且黏度系数表达式简化为 (n-1)2 宁B=(+)Pc=%D=好 (12) 后十C2E=2为十C则有 本文假设导热系数具有与动力黏度系数相同的幂律 万=2， 表达式： 2-1.A[1+(n-1)B]-D- (a-l)2 (13) (n一1)BE2m, 式中，入，是热连续性系数，即普朗特数Pr-= 3=4, 入 g-1.A[1+(n-1B是]E- S凸与速度梯度无关，特别地，n=1时为牛顿流体， 入0 (n-1)BD2, u=40,入=入0 g=-2 2相似变换与多重打靶法 6=, 下面采用相似变换对方程组(6)~(11)进行化 地cB(i必一+ 简，采用M itschka提出的量纲为1的距离变量= n (习六品由于流体的周向和径向运动都是 2)2步 n(n+1) 1 o/g 对应的边界条件为 由圆盘旋转引起的，可假设这两个分速度正比于所 (0)=0(0)=1,5(0)=0%(0)=1, 在位置对应的圆盘切线速度，即 n()=0(。)=05()=0 u=QrF(E) 式中，。为边界层厚度.采用多重打靶法对上述边 v=QrG(E) (14) 值问题进行数值求解，得到不同幂律指标和普朗特 21-2a wh何 市.H() 数下的速度场和温度场的数值解. 设()是 3数值结果及分析 ,在不考虑压强变化的情况下， 首先取普朗特数P=1.0图2~图5分别描绘 得到如下常微分方程组： H=-2p卡 的是径向速度F、周向速度G和轴向速度H及温度 (15) ⊙随幂律指标的变化情况，上述结果表明在普朗 特数固定情况下，对于幂律流体，随着幂律指标n的 F'- 增大，径向速度的峰值稍有增加；动量和热量在盘表 [(F'2+(G]-r'' (16) 面的传递随幂律指标的增大而增强， 2c+u2时o= 下面再固定幂律指标，观察温度随普朗特数的 变化，图6描述的是边界层内温度随普朗特数Pr [(F')2+(G2]-G'' (17) 的变化情况，结果表明随着普朗特数的增大，盘表 +刊e'-y+c10' 面温度变化得更快，当普朗特数超过一定值后，普 朗特数的增加对传热的影响不明显. (18) 本文结果与文献[10]比较时发现，速度和温度 相应的边界条件为 的分布受边界层厚度影响，从图4可看出轴向速度
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 远离盘ｚ→∞ ｕ＝0 ｖ＝0 Ｔ＝Ｔ∞ （11） 式中：ｚ＝0处 ｕ＝0ｖ＝Ωｒ代表无滑移边界条件； ｗ＝0表示盘无吸抽／喷注；Ｔｗ 为盘表面的温度Ｔ∞ 为边界层外流体温度Ｔｗ 和 Ｔ∞都为常数． 且黏度系数表达式简化为 μ＝μ0 ∂ｕ ∂ｚ 2 ＋ ∂ｖ ∂ｚ 2 （ｎ－1）／2 （12） 本文假设导热系数具有与动力黏度系数相同的幂律 表达式： λ＝λ0 ∂ｕ ∂ｚ 2 ＋ ∂ｖ ∂ｚ 2 （ｎ－1）／2 （13） 式中λ0 是热连续性系数即普朗特数 Ｐｒ＝ ｃｐμ λ ＝ ｃｐμ0 λ0 与速度梯度无关．特别地ｎ＝1时为牛顿流体 μ＝μ0λ＝λ0． 2 相似变换与多重打靶法 下面采用相似变换对方程组 （6）～（11）进行化 简．采用 Ｍｉｔｓｃｈｋａ提出的量纲为 1的距离变量ξ＝ ｚ Ω 2－ｎ μ0／ρ 1 ｎ＋1 ｒ 1－ｎ ｎ＋1．由于流体的周向和径向运动都是 由圆盘旋转引起的可假设这两个分速度正比于所 在位置对应的圆盘切线速度即 ｕ＝Ωｒ·Ｆ（ξ） ｖ＝Ωｒ·Ｇ（ξ） ｗ＝ Ω 1－2ｎ μ0／ρ － 1 ｎ＋1 ·ｒ ｎ－1 ｎ＋1·Ｈ（ξ） （14） 设 Θ（ξ） ＝ Ｔ－Ｔ∞ Ｔｗ －Ｔ∞ 在不考虑压强变化的情况下 得到如下常微分方程组： Ｈ′＝－2Ｆ－ 1－ｎ 1＋ｎ ξＦ′ （15） Ｆ 2－Ｇ 2＋ Ｈ＋ 1－ｎ 1＋ｎ ξＦ Ｆ′＝ ｛［ （Ｆ′） 2＋（Ｇ′） 2 ］ （ｎ－1）／2Ｆ′｝′ （16） 2ＦＧ＋ Ｈ＋ 1－ｎ 1＋ｎ ξＦ Ｇ′＝ ｛［ （Ｆ′） 2＋（Ｇ′） 2 ］ （ｎ－1）／2Ｇ′｝′ （17） 1－ｎ 1＋ｎ ξＦ＋Ｈ Θ′＝ 1 Ｐｒ ｛［ （Ｆ′） 2＋（Ｇ′） 2 ］ （ｎ－1）／2Θ′｝′ （18） 相应的边界条件为 Ｆ（0）＝0Ｇ（0）＝1Ｈ（0）＝0Θ（0）＝1 Ｆ（∞ ）＝0Ｇ（∞ ）＝0Θ（∞ ）＝0 （19） 式中Ｆ、Ｇ、Ｈ和 Θ分别代表量纲为 1的径向、周向 和轴向速度分量及量纲为 1的温度求导运算是针 对量纲为 1的距离坐标变量 ξ进行的． 将问题化成一阶微分系统令 ｙ1 ＝Ｆｙ2 ＝Ｆ′ ｙ3＝Ｇｙ4＝Ｇ′ｙ5 ＝Ｈｙ6 ＝Θｙ7 ＝Θ′．设 Ａ＝（ｙ 2 2 ＋ ｙ 2 4） 1－ｎ 2 Ｂ＝（ｙ 2 2 ＋ｙ 2 4 ） －1Ｃ＝ｙ5 ＋ 1－ｎ 1＋ｎ ξｙ1Ｄ＝ｙ 2 1－ ｙ 2 3＋Ｃ·ｙ2Ｅ＝2ｙ1ｙ3＋Ｃ·ｙ4则有 ｙ1′＝ｙ2 ｙ2′＝ 1 ｎ ·Ａ·｛［1＋（ｎ－1）Ｂ·ｙ 2 4 ］·Ｄ－ （ｎ－1）·Ｂ·Ｅｙ2ｙ4｝ ｙ3′＝ｙ4 ｙ4′＝ 1 ｎ ·Ａ·｛［1＋（ｎ－1）·Ｂ·ｙ 2 2 ］·Ｅ－ （ｎ－1）·Ｂ·Ｄ·ｙ2ｙ4｝ ｙ5′＝－2ｙ1－ 1－ｎ ｎ＋1 ξｙ2 ｙ6′＝ｙ7 ｙ7′＝Ａｙ7 ｃｐμ0 λ0 Ｃ－ ｎ－1 ｎ Ｂ（ｙ 2 1ｙ2－ｙ2ｙ 2 3＋ 2ｙ1ｙ3ｙ4）－ ｎ－1 ｎ ｙ5－ （ｎ－1）（1－ｎ） ｎ（ｎ＋1） ξｙ1 ． 对应的边界条件为 ｙ1（0）＝0ｙ3（0）＝1ｙ5（0）＝0ｙ6（0）＝1 ｙ1（ξ∞ ）＝0ｙ3（ξ∞ ）＝0ｙ6（ξ∞ ）＝0． 式中ξ∞ 为边界层厚度．采用多重打靶法对上述边 值问题进行数值求解得到不同幂律指标和普朗特 数下的速度场和温度场的数值解． 3 数值结果及分析 首先取普朗特数 Ｐｒ＝1∙0图 2～图 5分别描绘 的是径向速度 Ｆ、周向速度 Ｇ和轴向速度 Ｈ及温度 Θ随幂律指标 ｎ的变化情况．上述结果表明在普朗 特数固定情况下对于幂律流体随着幂律指标 ｎ的 增大径向速度的峰值稍有增加；动量和热量在盘表 面的传递随幂律指标的增大而增强． 下面再固定幂律指标观察温度随普朗特数的 变化．图 6描述的是边界层内温度随普朗特数 Ｐｒ 的变化情况．结果表明随着普朗特数的增大盘表 面温度变化得更快．当普朗特数超过一定值后普 朗特数的增加对传热的影响不明显． 本文结果与文献 ［10］比较时发现速度和温度 的分布受边界层厚度影响．从图 4可看出轴向速度 ·1168·
第9期 明春英等：幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 ·1169 0.20 度，可以得到与文献[10]完全一致的速度场数据. o-=0.5 图7给出普朗特数P=1.0幂律指标n=1.3的结 0.15 ◆=0.8 =1.0 果，其中曲线为本文的结果，离散点为Andersson等 -n=1.5 +-m=2.0 没考虑传热情况下的速度分布，可见，二者吻合得 很好 0.05 1.0 -P=1.0 3 4 6 0.8 ·-P=2.0 4-Pm=5.0 06 ￥-Pr-80 -P=10 图2F随幂律指标的变化 Fig 2 Change ofF with power-la index 0.2 1.0 0 1 4 6 8 0.8 -n-0.5 4-n=0.8 0.6 n=1.0 图6Θ随普朗特数的变化 t-n=1.5 Fig 6 Change of with Prandtl numer +-n=2.0 04 1.04 02 0.84 oF 145 0.6 6 0.4 H 0.2 000-0. 图3G随幂律指标的变化 04 Fig 3 Change ofG w ith powerlow index -02 -0.4 -0.6 1.0 -0.8 。。 3 4 5 6 0.8 5 00000-0-0 图7与Andersson等的结构比较 0.6 on=0.5 Fig 7 Canparison w ith the wsults of Andersson et al 0.4 4n=0.8 -n=1.0 n=l.5 0.2 -n=2.0 4结论 4 5 6 本文在广义热传导的假设下，建立了幂律流体 在无限大旋转盘边界层内的流动与传热模型，利用 图4H随幂律指标的变化 相似变换，将边控制方程组化成常微分方程组，再采 Fig 4 Change ofH w ith powerlaw ndex 用多重打靶法数值求解双参数两点边值问题，通过 对结果的模拟和分析，得到以下结论：(1)边界层厚 1.0 度的选择，对速度和温度分布有一定的影响；(2)本 。-m=0.5 0.8 +-n=0.8 文对导热系数作了特殊的假设，在没有影响速度分 m=1.0 0.6 -n=1.5 布的同时，可以同时求出普朗特数为常数情况下的 +-1=2.0 温度分布 0.4 02 参考文献 0 56 [1]von Kaman T.Uber km nare und tudbulente rbung Z Angew 3 Math Mech1921,1(4)2233 图5Θ随幂律指标的变化 [2]M ilsaps K.Polhausen K.Heat transfer by lam inar flow from a mo- Fig 5 Change of with powerlaw index tatng plate J Aemnaut Sci 1952 19,120 [3]Zandbergen PJ Dijkstra D.Von Kamin swirling flows Annu 受边界层厚度影响比较大，通过适当调整边界层厚 Rev Fhi Mech 1987.19,465
第 9期 明春英等： 幂律流体在旋转盘上的流动与传热数值分析 图 2 Ｆ随幂律指标的变化 Ｆｉｇ．2 ＣｈａｎｇｅｏｆＦｗｉｔｈｐｏｗｅｒ-ｌａｗｉｎｄｅｘ 图 3 Ｇ随幂律指标的变化 Ｆｉｇ．3 ＣｈａｎｇｅｏｆＧｗｉｔｈｐｏｗｅｒ-ｌａｗｉｎｄｅｘ 图 4 Ｈ随幂律指标的变化 Ｆｉｇ．4 ＣｈａｎｇｅｏｆＨｗｉｔｈｐｏｗｅｒ-ｌａｗｉｎｄｅｘ 图 5 Θ随幂律指标的变化 Ｆｉｇ．5 ＣｈａｎｇｅｏｆΘｗｉｔｈｐｏｗｅｒ-ｌａｗｉｎｄｅｘ 受边界层厚度影响比较大通过适当调整边界层厚 度可以得到与文献 ［10］完全一致的速度场数据． 图 7给出普朗特数 Ｐｒ＝1∙0、幂律指标 ｎ＝1∙3的结 果其中曲线为本文的结果离散点为 Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等 没考虑传热情况下的速度分布．可见二者吻合得 很好． 图 6 Θ随普朗特数的变化 Ｆｉｇ．6 ＣｈａｎｇｅｏｆΘｗｉｔｈＰｒａｎｄｔｌｎｕｍｅｒ 图 7 与 Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ等的结构比较 Ｆｉｇ．7 ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｗｉｔｈｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆＡｎｄｅｒｓｓｏｎｅｔａｌ． 4 结论 本文在广义热传导的假设下建立了幂律流体 在无限大旋转盘边界层内的流动与传热模型利用 相似变换将边控制方程组化成常微分方程组再采 用多重打靶法数值求解双参数两点边值问题．通过 对结果的模拟和分析得到以下结论：（1）边界层厚 度的选择对速度和温度分布有一定的影响；（2）本 文对导热系数作了特殊的假设在没有影响速度分 布的同时可以同时求出普朗特数为常数情况下的 温度分布． 参 考 文 献 ［1］ ｖｏｎＫ昣ｒｍ昣ｎＴ．Üｂｅｒｌａｍｉｎａｒｅｕｎｄｔｕｒｂｕｌｅｎｔｅｒｅｉｂｕｎｇ．ＺＡｎｇｅｗ ＭａｔｈＭｅｃｈ19211（4）：233 ［2］ ＭｉｌｓａｐｓＫＰｏｌｈａｕｓｅｎＫ．Ｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｂｙｌａｍｉｎａｒｆｌｏｗｆｒｏｍａｒｏ- ｔａｔｉｎｇｐｌａｔｅ．ＪＡｅｒｏｎａｕｔＳｃｉ195219：120 ［3］ ＺａｎｄｂｅｒｇｅｎＰＪＤｉｊｋｓｔｒａＤ．ＶｏｎＫ昣ｒｍ昣ｎｓｗｉｒｌｉｎｇｆｌｏｗｓ．Ａｎｎｕ ＲｅｖＦｌｕｉｄＭｅｃｈ198719：465 ·1169·
,1170, 北京科技大学学报 第33卷 [4]Attia H A.Rotating disk flow and heat transfer through a porous 2007.34(9/10):1030 medim of a non New ton ian fluid w ith suction and injection Com- [8]Zheng LC Zhang XX.Skin friction and heat transfer in power mun Nonlinear SciNumer Smul 2008 13(8):1571 lw fhid km nar boundary layer abng a movng surface ht J [5]Sahoo B Effects of partial slip viscous dissipation and Joule heat HeatM ass Transfer 2002 45(13):2667 ing on von Kaman flow and heat tmansfer of an electrically condue- [9]Seddeek M A.Finite elment method for the effect of various n- tng nonNew tonian fhdd Commun Nonlinear Sci Numer Smul jection panmelers on heat transfer for a powerlaw non New tonian 2009.14(7):2982 fhuil over a continuous stretched surface with hemal radiation [6]Rashada AA.Flw of A Non New tonian Bingham Plastic Fhid ConputMater Sci200637(4)：片624 Over A Rotating Disk [D issertation Saskatoon University of [10]Andersson H I de Korte E Meland R.Flow ofa power-law fhuid Saskatchewan 2005 over a mtating disk revisited Fhid Dyn Res 2001.28(2):75 [7]OsahisiE Sile J Harris R.etal On the effectiveness of viscous [11]Ming C Y.Zheng LC Zhang X X.The Flw and HeatTmansfer dissipation and Joule heatng on steady MHD flw and heat transfer of Power-lw Fhid over a Rotating D isk /P mceed ings of the 3a of a Bingham fluil over a pomus rotatng disk in the presence of In tema tional Confernce on M echan ical Engineering and M echan- Hall and ion"slip curents Int Commun Heat Mass Transfer is Beijing 2009 1242
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 ［4］ ＡｔｔｉａＨＡ．Ｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｋｆｌｏｗａｎｄｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｔｈｒｏｕｇｈａｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉｕｍｏｆａｎｏｎ-Ｎｅｗｔｏｎｉａｎｆｌｕｉｄｗｉｔｈｓｕｃｔｉｏｎａｎｄｉｎｊｅｃｔｉｏｎ．Ｃｏｍ- ｍｕｎＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｉＮｕｍｅｒＳｉｍｕｌ200813（8）：1571 ［5］ ＳａｈｏｏＢ．ＥｆｆｅｃｔｓｏｆｐａｒｔｉａｌｓｌｉｐｖｉｓｃｏｕｓｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎａｎｄＪｏｕｌｅｈｅａｔ- ｉｎｇｏｎｖｏｎＫ昣ｒｍ昣ｎｆｌｏｗａｎｄｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｏｆａｎｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｌｙｃｏｎｄｕｃ- ｔｉｎｇｎｏｎ-Ｎｅｗｔｏｎｉａｎｆｌｕｉｄ．ＣｏｍｍｕｎＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｉＮｕｍｅｒＳｉｍｕｌ 200914（7）：2982 ［6］ ＲａｓｈａｉｄａＡＡ．ＦｌｏｗｏｆＡＮｏｎ-ＮｅｗｔｏｎｉａｎＢｉｎｇｈａｍＰｌａｓｔｉｃＦｌｕｉｄ ＯｖｅｒＡＲｏｔａｔｉｎｇＤｉｓｋ ［Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ］．Ｓａｓｋａｔｏｏｎ：Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ Ｓａｓｋａｔｃｈｅｗａｎ2005 ［7］ ＯｓａｌｕｓｉＥＳｉｄｅＪＨａｒｒｉｓＲｅｔａｌ．Ｏｎｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｖｉｓｃｏｕｓ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎａｎｄＪｏｕｌｅｈｅａｔｉｎｇｏｎｓｔｅａｄｙＭＨＤｆｌｏｗａｎｄｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒ ｏｆａＢｉｎｇｈａｍｆｌｕｉｄｏｖｅｒａｐｏｒｏｕｓｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｋｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｃｅｏｆ Ｈａｌｌａｎｄｉｏｎ-ｓｌｉｐｃｕｒｒｅｎｔｓ．ＩｎｔＣｏｍｍｕｎＨｅａｔＭａｓｓＴｒａｎｓｆｅｒ 200734（9／10）：1030 ［8］ ＺｈｅｎｇＬＣＺｈａｎｇＸＸ．Ｓｋｉｎｆｒｉｃｔｉｏｎａｎｄｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｉｎｐｏｗｅｒ- ｌａｗｆｌｕｉｄｌａｍｉｎａｒｂｏｕｎｄａｒｙｌａｙｅｒａｌｏｎｇａｍｏｖｉｎｇｓｕｒｆａｃｅ．ＩｎｔＪ ＨｅａｔＭａｓｓＴｒａｎｓｆｅｒ200245（13）：2667 ［9］ ＳｅｄｄｅｅｋＭＡ．Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｖａｒｉｏｕｓｉｎ- ｊｅｃｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｎｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｆｏｒａｐｏｗｅｒ-ｌａｗｎｏｎ-Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ ｆｌｕｉｄｏｖｅｒａｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｓｔｒｅｔｃｈｅｄｓｕｒｆａｃｅｗｉｔｈｔｈｅｒｍａｌｒａｄｉａｔｉｏｎ． ＣｏｍｐｕｔＭａｔｅｒＳｃｉ200637（4）：624 ［10］ ＡｎｄｅｒｓｓｏｎＨＩｄｅＫｏｒｔｅＥＭｅｌａｎｄＲ．Ｆｌｏｗｏｆａｐｏｗｅｒ-ｌａｗｆｌｕｉｄ ｏｖｅｒａｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｋｒｅｖｉｓｉｔｅｄ．ＦｌｕｉｄＤｙｎＲｅｓ200128（2）：75 ［11］ ＭｉｎｇＣＹＺｈｅｎｇＬＣＺｈａｎｇＸＸ．ＴｈｅＦｌｏｗａｎｄＨｅａｔＴｒａｎｓｆｅｒ ｏｆＰｏｗｅｒ-ｌａｗＦｌｕｉｄｏｖｅｒａＲｏｔａｔｉｎｇＤｉｓｋ／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ3ｒｄ ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＭｅｃｈａｎ- ｉｃｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ2009：1242 ·1170·