D0I:10.13374j-i8sn1001663x.1998.03.043 第20卷第3期 北京科技大学学报 V0l.20No.3 1998年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.1998 ********* 幸研究快报幸 #****兴*兴水 二维Chua电路的稳定性半径* 闵乐泉宋宁 北京刊技人学应用科学院.北京1N3 Ch电路是一类分段线性动力系统(PLD),具有「分丰富的动力学性质，如分岔，混沌， 振动子，和稳态解等.Cua电路十分适用于实验室研究和计算机模拟，具有十分重要的理论 研究价值和实际应用价值-.鉴于非线性动力系统的研究仍是一个远待开发的领域、所以 首先应当定量地研究2维PLDs的动力学性质.本研究旨在传统线性动力系统稳定性半径埋 论基础上，提出2维PDL稳定性半径概念和相应的公式、为定量地研究？维Ca电路的稳 态解提供判据. 一个？维PLD的状念方程可表为 )=d,)+b,x.()E. (3) 其对应的线性扰动系统的状态方程具有形式 )=(4,+△)M)+b()E (6) 其中)=[x(),.(0].b,=[b,b,]',b=[h,b]'eR.且E是常数，而A,△均为矩阵： 4,= 44 dd 其中4，A,∈R而△∈是未知的扰动矩阵，K-R或C.设复平面C被分解为： C=CUCeC=CUC (7) 其中C∩w=(C.∩C=中均为连通集.而A,和4，的谱1)与o()满足关系式(4)C C和σ(4，)CC,它们是状态方程(I)~(3)有特定稳态解的必要条件.C和C称为“好“区 域而C和C,称为“坏区域“.为确保状态方程()~(3)具有稳态解，常常要求()与(3)的虚拟 平衡点 -h.会U-J,-Ah,听，i,] 的第二个分量满足条件上<E和I1,.|<F.一般地可提出下面的 稳态解强制条件设f,,:2CR→R为连续函数.2是开集使得 K(duaabb)<E.L(andabb)<E. (8) 」998-0325收稀因乐泉男，6岁，牧授.硕L T
DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．03．043
·308· 北京科技大学学报 1998年第3期 如‖·‖，是K上的1个给定范数，则△的算子范数为 l4i=max{l△Xlx:X∈K2,‖Xl.≤I} (9) 类似[4]，线性方程(2)的稳定性半径d,(A,C)定义为 d,(A,C)=imf{Il△l:△∈K22.oA,+△)nC丰p} (10) 而非线性方程(I)和(3)去掉非线性项b_与b,后，所生成的线性方程的稳定性半 径d(A,C)定义为 d(AC)=im时lAl:△eKx3、aAe+△)nCw卡p} (11) 记 r=supfr C R:f()sE. (,X,xx)e(a-r,a,+r)×(a,-,u1+r月） ×(a1-r,a+r）×(a-,a+r)} (12) r.supireR':b)s E. (x,x)e(a1-ra,+r）×(a2-r,a+r） ×(a1-r021+r)×(a2-,a2+r)} (13) 其中(a,b)代表以a和b为端点的开区间，R+是正数全体之集合， 今定义2维PLD稳态解的稳定性半径如下： 定义1设给定复平面C上的2个分解(7)与K的扰动矩阵算子范数(9).则状态方程 (4)~(6)关于强制条件(8)的稳态解的稳定性半径定义为 =rA A Com Cu)=min(dd(A Cu),dAg Cp),) (14) ,被称为实（记作r)或复（记作r)稳定性半径根据K=R或C而定 若在K上赋与Hilbert范数(2-范数)，即当K=R和C时K的范数分别为 ‖lx=‖X=Vx+l,=,xJ'eR: IZx=‖Z☑，=V+I;Z=X+Y∈C;K,YeR. 则可证明： 引理1若C和C,的边界∂C和C满足条件C=aC,=iR,则 M(22,-M)+4N-g ddAo.Cu)= 40 d(Ag C)= M(20:-M)+4N:-0 4QE 其中 2=(a2o-a,N=(ain+an(di+a)-(ad+ad. M=din din dim +diz M=di+dis+ai+ais er=(d-a).N=(ai+a)(ui2+a)-(and2+ad). 引理2若C和C的边界aC和0C满足条件C=C=iR,则 M-MG-4T re=r(AuA Com,C)=min{、 2 ,a1o+a/2, M-M:-4T 2 ,la,+al/2,'"f
Vol.20 No.3 凶乐泉等：二维Chua电路的稳定性半径 ·309· 其中T=a104n-41n0wTE=a1a-a11: 例二维Chua电路如图1所示.其状态方程可表为（见文献[3]第V节） ( (b) 图I(a)具有1个非线性电阻器N的Chua电路；(b)R和N的并连组合等价于1个非线性电阻器NR dl (I5) 2- V (G6-G) E V,E 其中G,=(G+G),G=(G+G)L=18mH,C=100nF,G=-757.576μS,G= 45.455μS.E=0.47V,G=500μS.令初始值V,(0)=0.3,1,(0)=0,则该状态方程的稳态解 是一个极限环（见图2(a).易知o(A)={1288±23535i和a(4)={-2727±23412i. 且强制条件（⑧）应为 0.5 0.9 0. 0 -2 -1012 /3/×101 1/×103 图2(a)稳态解是一个极限环；(b)扰动系统的解轨道 厂=l(ab-a,b,)1de4)0,EC},C={;R(曰≤0，eC,C={:R(9)<0,EC,Ch={:R ()≥0，EC}.从而满足引理1,2的条件.经计算可得：
·310· 北京科技大学学报 1998华第3期： r,=r(A4CmC)=5.7063. 54.99990,使得对任意的X,YeR有 ()-)I‖≤LlX-l (2)存在常数0，使得对任意的X∈R有 )川<WlXI (3)对任意的1∈(-文，文)与X,ER,Cua电路的状态方程(15)~(16)有唯一解)使得 1)=X,且所有解的存在区间为（一文，）.其中有一个解为极限环 参考文献 I Chua L O.Chua's Circuit:An Overview Ten Yers Later.J Circuits Syst Comput.1994(4):117 2 Shil'nikov L P.Chua's Circuit Rigorous Results and Future Problons.Int J Bilur Chaos,1994(4):489 3 Kennedy M P.Three Steps to Chaos-Part I:Evolution.IEEE Trans Circuits Syst.1993.40:640 4 Hinricheson D.Pritchard A J.Stability Radii of Linear System.Syst Cont Lett,1986.7:I Stability Radii of 2-Dimensional Chua's Circuit Min Lequan Song Ning Applied Science School,UST Beijing,Beijing 100083.China ABSTRACT The concepts of stability radii of 2-dimensional (2D)Chua's circuit are introduced.One Chua's circiut with a limit cycle was stimulated via computer and corre- sponding stability radii were calculated.The existence and uniqueness of the solution of 2D Chua's circuit are pointed out. K EY WORDS Chua's circuit;stability radii;existence:uniqueness