基于声信号分析的齿轮故障诊断方法.pdf_大学文库

D0I:10.13374/1.issnl00I103.2008.04.041 第30卷第4期北京科技大学学报 Vol.30 No.4 2008年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2008 基于声信号分析的齿轮故障诊断方法杨德斌杨聚星阳建宏章立军北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要为了解决齿轮故障诊断中传统的声振信号分析方法容易受到周围设备及环境噪声干扰的问题，提出了一种独立分量分析和自相关分析相结合的齿轮故障诊断方法·首先用独立分量分析分离特征信号和干扰信号，然后用自相关分析提取特征信号中的周期成分·实验结果表明，该方法可以有效地提取在强背景噪声干扰下的齿轮故障特征· 关键词齿轮：故障诊断：声信号；独立分量分析：自相关分类号TH165+.3:TN911.7 Method of gear fault diagnosis based on acoustic signal analysis YANG Debin,YANG Juxing,YA NG Jianhong,ZHA NG Lijun School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT Due to the noise disturbance from surrounding equipments and environment in gear fault diagnosis based on acoustic sig- nal analysis.a novel method combined with independent component analysis and auto"correlation was proposed.Independent compo- nent analysis was used to separate characteristic signal and interference signal.And then auto-correlation was used to extract the peri- odic component of characteristic signal.Experimental results indicate that the proposed approach could reduce strong background noise and extract fault feature form gear acoustic signal. KEY WORDS gear:fault diagnosis:acoustic signal:independent component analysis:auto"correlation 声信号中蕴藏着机械设备状态的重要信息，它 1独立分量分析是振动的另一种表现形式，当设备状态发生改变时，其声学特性也会发生改变，因此，通过对声信号进独立分量分析3](independent component 行处理和分析，也可以了解设备运行状态，对设备进 analysis,ICA)的含义是把信号分解成若干个互相行故障诊断山，同时基于声信号的采集可以非接触独立的成分，也就是从多通道测量所得到的由若干式获得信号，适用于某些不便于安装振动传感器的独立信源线性混合组成的观察信号中，将这些独立场合，如高温、高腐蚀环境，是一种有效、快速的故障成分分解开来诊断方法· 设声场中存在N个独立声源，声信号在实际中，临近机器或其他不相干部件辐射的 (t)(=1,2,,N)是来自不同声源的源信号.为噪声往往比较强，加上环境噪声的污染，使得待测部了分离源信号，需要在M(M>N)个测点测量声件信号往往淹没在混合噪声中，信号信噪比很信号，观测信号为：低.为了有效提取故障特征，本文首先采用独立分量分析从观测信号中提取独立的声源信号，消除 x(e)=之[5(1=1,2，M(山背景噪声对特征信号的干扰，再采用自相关分析消式中，a为源信号s(t)在第i个测点的未知混合系除随机噪声的干扰。该方法能成功地将故障信号从数.式(1)可写成如下的矩阵形式：带噪混合信号中分离出来 x(t)=As(t) (2) 收稿日期：2007-01-29修回日期：2007-03-06 式中，x(t)=[x1(t),x2(t),,xw(t)]和s(t)= 基金项目：北京市自然科学基金资助项目(Na,3062012) [s1(t),s2(t),,sx(t)]分别为观测信号矢量和作者简介：杨德斌(1965一)，男，研究员，E mail:yd山@ustb-du.cm 源信号矢量，A=[a时]y×w为混合矩阵，已知各

基于声信号分析的齿轮故障诊断方法杨德斌杨聚星阳建宏章立军北京科技大学机械工程学院北京100083 摘要为了解决齿轮故障诊断中传统的声振信号分析方法容易受到周围设备及环境噪声干扰的问题提出了一种独立分量分析和自相关分析相结合的齿轮故障诊断方法．首先用独立分量分析分离特征信号和干扰信号然后用自相关分析提取特征信号中的周期成分．实验结果表明该方法可以有效地提取在强背景噪声干扰下的齿轮故障特征．关键词齿轮；故障诊断；声信号；独立分量分析；自相关分类号 T H165＋∙3；T N911∙7 Method of gear fault diagnosis based on acoustic signal analysis Y A NG DebinY A NG JuxingY A NG JianhongZHA NG Lijun School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Due to the noise disturbance from surrounding equipments and environment in gear fault diagnosis based on acoustic signal analysisa novel method combined with independent component analysis and auto-correlation was proposed．Independent component analysis was used to separate characteristic signal and interference signal．And then auto-correlation was used to extract the periodic component of characteristic signal．Experimental results indicate that the proposed approach could reduce strong background noise and extract fault feature form gear acoustic signal． KEY WORDS gear；fault diagnosis；acoustic signal；independent component analysis；auto-correlation 收稿日期：2007-01-29 修回日期：2007-03-06 基金项目：北京市自然科学基金资助项目（No．3062012）作者简介：杨德斌（1965—）男研究员E-mail：ydb＠ustb．edu．cn 声信号中蕴藏着机械设备状态的重要信息它是振动的另一种表现形式当设备状态发生改变时其声学特性也会发生改变．因此通过对声信号进行处理和分析也可以了解设备运行状态对设备进行故障诊断［1］．同时基于声信号的采集可以非接触式获得信号适用于某些不便于安装振动传感器的场合如高温、高腐蚀环境是一种有效、快速的故障诊断方法．在实际中临近机器或其他不相干部件辐射的噪声往往比较强加上环境噪声的污染使得待测部件信号往往淹没在混合噪声中信号信噪比很低［2］．为了有效提取故障特征本文首先采用独立分量分析从观测信号中提取独立的声源信号消除背景噪声对特征信号的干扰再采用自相关分析消除随机噪声的干扰．该方法能成功地将故障信号从带噪混合信号中分离出来． 1 独立分量分析独立分量分析［3—8］（ independent component analysisICA）的含义是把信号分解成若干个互相独立的成分也就是从多通道测量所得到的由若干独立信源线性混合组成的观察信号中将这些独立成分分解开来．设声场中存在 N 个独立声源声信号 sj（ t）（ j＝12…N）是来自不同声源的源信号．为了分离源信号需要在 M（ M＞ N）个测点测量声信号．观测信号为： xi（ t）＝ ∑ N j＝1 ［ aijsj（ t）］ i＝12…M （1）式中aij为源信号 sj（ t）在第 i 个测点的未知混合系数．式（1）可写成如下的矩阵形式： x（ t）＝ As（ t）（2）式中x（ t）＝［ x1（ t）x2（ t）…x M（ t）］ T 和s（ t）＝［ s1（ t）s2（ t）…sN（ t）］ T 分别为观测信号矢量和源信号矢量A ＝［ aij ］ M× N 为混合矩阵．已知各第30卷第4期 2008年 4月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．4 Apr．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．04．041

第4期杨德斌等：基于声信号分析的齿轮故障诊断方法 437 s(t)是相互独立的，现在的任务是要求只依据x(t) 通过另一矩阵B(称为解混矩阵)把各(t)估计出 Rx(k)=N台x(i)x(t6) 来，即：令y(t)=[y1(t),…,yw(t)]是解混后的 (k=0,1,2,,M) (3) 输出y(t)=Bx(t),B是NXM阵.要求y(t)尽可式中，x()是随机信号样本函数，k表示时间坐标能地逼近s(t),但容许两者中各分量排序不一定相移动值，工程实际中常用自相关函数来检测随机信同，比例尺也不一定相同号中是否包含有周期成分，这是因为随机分量的自 ICA的方法只能消除其他噪声源的干扰，并不相关函数总是随时间坐标移动值趋近于无穷大而趋能消除随机噪声的干扰.因此，在本文中用自相关近于零或某一常数值，而周期分量的自相关函数则的方法对信号进行后处理保持原来的周期性而不衰减，并可以定性地了解信号所含频率分量的多少 2自相关图1(a)是在正弦信号y1(t)=sin(2π×10t)上相关函数描述随机信号在不同瞬时之间的关联加Gauss白噪声（信噪比为5dB)的时域图，图1(b) 程度，可以简单描述随机信号波形随时间坐标移动是y1经过自相关处理后得到的y2的时域图，对比时与其他波形的相似程度图1(a)和图1(b),虽然经过自相关处理后信号的幅自相关函数的表达式为：值及相位发生了变化，但是自相关分析可以有效地 1.0 WWW 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 时间s 时间s 图1正弦加噪信号的自相关函数.(a)y1:(b)y2 Fig,I Correlation function of sine signal adding noise:(a)y1:(b)y2 提取信号中的周期成分， X40t)十sin(2π×80t)·采样频率为1024，采样 3仿真模拟点数为1024，如图2所示，随机选择混合矩阵 0.36670.6785 A- 用Matlab产生两个仿真信号，s1(t)=sin(2πX 0.57490.2576 30t)十sin(2π×60t)+sin(2πX90t),s2(t)=sin(2π 得到其混合信号x1和x2,如图3所示.通过ICA 15r(a) 1.0 1.0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -1.0 -1.0 -1.5 0 02 04 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 10 时间s 时间s 图2仿真实验中原始信号时域.(a)1:(b)s2 Fig.2 Time domain of original signal in simulated experiment;(a)s:(b)si 4 np 1.0 0.6 1.0 0.6 时间s 时间s 图3仿真实验中混合信号时域，(a)x1:(b)x2 Fig.3 Time domain of mixed signal in simulated experiment:(a)x1:(b)x2

sj（ t）是相互独立的现在的任务是要求只依据x（ t）通过另一矩阵 B（称为解混矩阵）把各 sj（ t）估计出来即：令 y（ t）＝［ y1（ t）…yN （ t）］ T 是解混后的输出 y（ t）＝Bx（ t）B 是 N× M 阵．要求 y（ t）尽可能地逼近 s（ t）但容许两者中各分量排序不一定相同比例尺也不一定相同． ICA 的方法只能消除其他噪声源的干扰并不能消除随机噪声的干扰．因此在本文中用自相关的方法对信号进行后处理． 2 自相关相关函数描述随机信号在不同瞬时之间的关联程度可以简单描述随机信号波形随时间坐标移动时与其他波形的相似程度．自相关函数［9］的表达式为： Rxx（ k）＝ 1 N ∑ N－k i＝1 x（ i） x（ i＋k）（ k＝012…M）（3）式中x（ i）是随机信号样本函数k 表示时间坐标移动值．工程实际中常用自相关函数来检测随机信号中是否包含有周期成分这是因为随机分量的自相关函数总是随时间坐标移动值趋近于无穷大而趋近于零或某一常数值而周期分量的自相关函数则保持原来的周期性而不衰减并可以定性地了解信号所含频率分量的多少．图1（a）是在正弦信号 y1（ t）＝sin（2π×10t）上加 Gauss 白噪声（信噪比为5dB）的时域图图1（b）是 y1 经过自相关处理后得到的 y2 的时域图．对比图1（a）和图1（b）虽然经过自相关处理后信号的幅值及相位发生了变化但是自相关分析可以有效地图1 正弦加噪信号的自相关函数．（a） y1；（b） y2 Fig．1 Correlation function of sine signal adding noise：（a） y1；（b） y2 提取信号中的周期成分． 3 仿真模拟用 Matlab 产生两个仿真信号s1（ t）＝sin（2π× 30t）＋sin（2π×60t）＋sin（2π×90t）s2（ t）＝sin（2π ×40t）＋sin（2π×80t）．采样频率为1024Hz采样点数为1024如图2所示．随机选择混合矩阵 A＝ 0∙3667 0∙6785 0∙5749 0∙2576 得到其混合信号 x1 和 x2如图3所示．通过 ICA 图2 仿真实验中原始信号时域．（a） s1；（b） s2 Fig．2 Time domain of original signal in simulated experiment；（a） s1；（b） s1 图3 仿真实验中混合信号时域．（a） x1；（b） x2 Fig．3 Time domain of mixed signal in simulated experiment：（a） x1；（b） x2 第4期杨德斌等：基于声信号分析的齿轮故障诊断方法 ·437·

.438 北京科技大学学报第30卷分离得到两个分离信号y1和y2,如图4所示、与性所带来的影响，即分离信号y1和y2,与真实源信图2对比，不难发现源信号都很好地分离出来，号s1和s2相比，在幅度上有差异，且排列顺序也对比图2和图4，可以看到ICA的两个不确定不同 (a) (b) 2 0 -1 2 -3 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 时间/s 时间s 图4仿真实验中分离信号时域.(a)y1;(b)y2 Fig.4 Time domain of separated signal in simulated experiment:(a)y:(b)y2 号，采样频率为4096z,采样点数为4096. 4 实验分析测点1令 P测点2 使用如图5所示的齿轮实验台进行齿轮断齿故障的模拟实验，声信号采集采用B&K公司的哦合齿轮 3560C系统及配套的4190和4191声传感器.实验时采用近声场测量，两个测点距离声源大约0.3m, 分别位于声源的左上方和右上方（如图6所示）·其图6测点位置图中x1为测点1的采样信号，x2为测点2的采样信 Fig.6 Position of the points 测量电机转速为1463rmin1,齿轮箱主动轴转速为1107rmin1,计算得到齿轮副的特征频率见表1，张紧装置表1特征频率测点1oo Table 1 Characteristic frequency 冬电机轴的主动轴的旋从动轴的旋齿轮副旋转频率转频率，f: 转额率，∫p 啮合频率 24.4 18.5 12.3 369.0 1一电机；2-联轴节；3一轴承座：4一皮带轮：5一齿轮箱：6一主动轴：7一啮合齿轮图7是测得的齿轮断齿故障原始声信号的时域图5齿轮实验台结构图图.齿轮发生断齿故障会引起周期性的冲击，但图 Fig.5 Structure of the gear test bed 中并看不到明显的周期性冲击成分 1.5 (a) 15 1.0 1.0 -1.0 -1.0 50 0.2 0.8 -1.5 0.4 0.6 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 时间/s 时间s 图7断齿时故障声信号时域.(a)x1;(b)x2 Fig.7 Time domain of broken gear acoustic signal:(a)x1:(b)x2 图8和图9分别为齿轮断齿故障原始声信号经上369z处的值几乎不可见，经分析可以得出结独立分量分析后所得分离信号的时域图和频域图，论：分离信号y1主要成分为齿轮啮合所产生的声信 y1和y2为两个分离信号，从图9的y1频域图上可号，而分离信号y2主要成分为背景噪声，图10(a, 见齿轮的啮合频率369业非常明显，而y2频域图 b)分别为对分离信号y1作自相关处理后的时域图

分离得到两个分离信号 y1 和 y2如图4所示．与图2对比不难发现源信号都很好地分离出来．对比图2和图4可以看到 ICA 的两个不确定性所带来的影响即分离信号 y1 和 y2与真实源信号 s1 和 s2 相比在幅度上有差异且排列顺序也不同．图4 仿真实验中分离信号时域．（a） y1；（b） y2 Fig．4 Time domain of separated signal in simulated experiment：（a） y1；（b） y2 4 实验分析使用如图5所示的齿轮实验台进行齿轮断齿故障的模拟实验．声信号采集采用 B＆K 公司的 3560C 系统及配套的4190和4191声传感器．实验时采用近声场测量两个测点距离声源大约0∙3m 分别位于声源的左上方和右上方（如图6所示）．其中 x1 为测点1的采样信号x2 为测点2的采样信 1－电机；2－联轴节；3－轴承座；4－皮带轮；5－齿轮箱；6－主动轴；7－啮合齿轮图5 齿轮实验台结构图 Fig．5 Structure of the gear test bed 号采样频率为4096Hz采样点数为4096．图6 测点位置图 Fig．6 Position of the points 测量电机转速为1463r·min —1齿轮箱主动轴转速为1107r·min —1计算得到齿轮副的特征频率见表1．表1 特征频率 Table1 Characteristic frequency Hz 电机轴的旋转频率主动轴的旋转频率f r 从动轴的旋转频率f p 齿轮副啮合频率 24∙4 18∙5 12∙3 369∙0 图7是测得的齿轮断齿故障原始声信号的时域图．齿轮发生断齿故障会引起周期性的冲击但图中并看不到明显的周期性冲击成分．图7 断齿时故障声信号时域．（a） x1；（b） x2 Fig．7 Time domain of broken gear acoustic signal：（a） x1；（b） x2 图8和图9分别为齿轮断齿故障原始声信号经独立分量分析后所得分离信号的时域图和频域图 y1 和 y2 为两个分离信号．从图9的 y1 频域图上可见齿轮的啮合频率369Hz 非常明显而 y2 频域图上369Hz 处的值几乎不可见．经分析可以得出结论：分离信号 y1 主要成分为齿轮啮合所产生的声信号而分离信号 y2 主要成分为背景噪声．图10（a b）分别为对分离信号 y1 作自相关处理后的时域图 ·438· 北京科技大学学报第30卷

,440 北京科技大学学报第30卷 Process,1991,24(1):1 5结论 [5]Common P.Jutten C.Herault J.Blind separation of sources: Part II.Problem statement.Signal Process,1991,24(1):11 实际的机械故障诊断所采集的声信号中含有多 [6]Comon P.Independent component analysis-A new concept? 种分量，故障特征分量往往淹没在其中，独立分量分 Signal Process,1994.36(3):287 析可以有效地提取所关心的故障信息，消除临近机 [7]Cichocki A.Amari S I.Adaptive Blind Signal and Image Pro- 器或部件辐射噪声的干扰，提高信号的信噪比、采 cessing:Learning Algorithms and Applications.Chichester: 用自相关分析能进一步消除随机噪声的干扰，有效 John Wiley and Sons,2002 地提取故障特征，齿轮的声学故障诊断实验验证了 [8]Yang F S.Hong B.Principle and Application of Independent Component Analysis.Beijing:Tsinghua University Press.2006 此方法的有效性， (杨福生，洪波.独立分量分析的原理与应用.北京：清华大学出版社，2006) 参考文献 [9]Wang J.Hu X.Application of MATLAB in Vibration Signal [1]Lyon R H.Machinery Noise and Diagnostics.Boston:Butter- Processing.Beijing:China Water Power Press.2006 worths,1987 (王济，胡晓.MATLAB在振动信号处理中的应用，北京：中国 [2]Jing L.Feature extraction of machine sound using wavelet and its 水利水电出版社，2006) application in fault diagnosis.NDT E Int.2001,34:25 [10]Ding K.Li W H.Zhu X Y.Fault Diagnosis Practical Tech- [3]Herault J.Jutten C.Space or time adaptive signal processing by nologies of Gear and Gear Box.Beijing:China Machine Press. neural network models//AIP Conference Proceedings.American 2005 Institute of Physics,1986:151 (丁康，李巍华，朱小勇·齿轮及齿轮箱故障诊断实用技术 [4]Jutten C.Herault J.Blind separation of sources:Part I.An 北京：机械工业出版社，2005) adaptive algorithm based on neuromimetic architecture.Signal (上接第402页) (1):36 (齐锦刚，王建中，刘兴江，等脉冲电场作用下纯铝熔体的遗传参考文献机制.材料热处理学报，2006,27(1)：36) [1]Chen X C.The structural correlation of liquid and solid metal [5]Singh M.Kumar R.Structure of liquid aluminum-silicon alloys. hased on electric structure//211th Colloquium Proceeding of Xi- J Mater Sci,1973(8):317 angshan Science Conference.Beijing:Defense Industry Press, [6]Bloomfield L A.Freeman RR.Brown W L.Photo fragmenta- 2005.95 tion of mass resolved Sizizclusters.Phys Rev Lett.1985.54: (陈熙聚，从电子结构来认识金属液态与固态结构的相关性 2246 香山科学会议第211次学术讨论会论文集.北京：国防工业出 [7]Slater C.Introduction to Chemical Physics.New York:MeGraw 版社，2005.95) Hil,1939,24 [2]Qi JG.Wang JZ.Casting structure of pure aluminum by electric [8]Cheng SJ.Qin X B.Bian X F.Thermal contraction phenomenon pulse modification at different superheated temperatures.J Univ of cluster structure of indium melt.Trans Nonferrous Met Soc Sci Technol Beijing.2005.12(6):527 China,2002,12(3):494 [3]Wang JZ.Chen Q F.Effect of electro pulse modification parame- [9]Flemings M C.Solidification Processing-New York:MeGraw ters on ingot macrostructure of CuAl-Ni shape memory alloys. Hil,1974:279 Trans Nonferrous Met Soc China.2002.12(3):400 [10]Laxmanan V.Dendritic solidification:I.Some further refine- [4]Qi JG.Wang JZ.Heredity mechanism of aluminum melt under ments to the model for dendrite growth under an imposed ther- the action of electric pulse.Trans Mater Heat Treat,2006.27 mal gradient.Acta Metall,1985,33:1475

5 结论实际的机械故障诊断所采集的声信号中含有多种分量故障特征分量往往淹没在其中独立分量分析可以有效地提取所关心的故障信息消除临近机器或部件辐射噪声的干扰提高信号的信噪比．采用自相关分析能进一步消除随机噪声的干扰有效地提取故障特征．齿轮的声学故障诊断实验验证了此方法的有效性．参考文献［1］ Lyon R H． Machinery Noise and Diagnostics．Boston：Butterworths1987 ［2］ Jing L．Feature extraction of machine sound using wavelet and its application in fault diagnosis．NDT ＆ E Int200134：25 ［3］ Herault JJutten C．Space or time adaptive signal processing by neural network models∥ AIP Conference Proceedings．American Institute of Physics1986：151 ［4］ Jutten CHerault J．Blind separation of sources：Part Ⅰ．An adaptive algorithm based on neuromimetic architecture． Signal Process199124（1）：1 ［5］ Common PJutten CHerault J．Blind separation of sources： Part Ⅱ．Problem statement．Signal Process199124（1）：11 ［6］ Comon P．Independent component analysis—A new concept？ Signal Process199436（3）：287 ［7］ Cichocki AAmari S I．A daptive Blind Signal and Image Processing： Learning Algorithms and Applications．Chichester： John Wiley and Sons2002 ［8］ Yang F SHong B．Principle and Application of Independent Component A nalysis．Beijing：Tsinghua University Press2006 （杨福生洪波．独立分量分析的原理与应用．北京：清华大学出版社2006）［9］ Wang JHu X．Application of MATL AB in V ibration Signal Processing．Beijing：China Water Power Press2006 （王济胡晓．MATLAB 在振动信号处理中的应用．北京：中国水利水电出版社2006）［10］ Ding KLi W HZhu X Y．Fault Diagnosis Practical Technologies of Gear and Gear Box．Beijing：China Machine Press 2005 （丁康李巍华朱小勇．齿轮及齿轮箱故障诊断实用技术．北京：机械工业出版社2005）（上接第402页）参考文献［1］ Chen X C．The structural correlation of liquid and solid metal based on electric structure∥211th Colloquium Proceeding of Xiangshan Science Conference．Beijing：Defense Industry Press 2005：95）（陈熙琛．从电子结构来认识金属液态与固态结构的相关性．香山科学会议第211次学术讨论会论文集．北京：国防工业出版社2005：95）［2］ Qi J GWang J Z．Casting structure of pure aluminum by electric pulse modification at different superheated temperatures．J Univ Sci Technol Beijing200512（6）：527 ［3］ Wang J ZChen Q F．Effect of electro pulse modification parameters on ingot macrostructure of Cu—Al—Ni shape memory alloys． T rans Nonferrous Met Soc China200212（3）：400 ［4］ Qi J GWang J Z．Heredity mechanism of aluminum melt under the action of electric pulse．T rans Mater Heat T reat200627 （1）：36 （齐锦刚王建中刘兴江等．脉冲电场作用下纯铝熔体的遗传机制．材料热处理学报200627（1）：36）［5］ Singh MKumar R．Structure of liquid aluminum-silicon alloys． J Mater Sci1973（8）：317 ［6］ Bloomfield L AFreeman R RBrown W L．Photo fragmentation of mass-resolved Si ＋ 2—12clusters．Phys Rev Lett198554： 2246 ［7］ Slater C．Introduction to Chemical Physics．New York：McGraw Hill1939：24 ［8］ Cheng S JQin X BBian X F．Thermal contraction phenomenon of cluster structure of indium melt．T rans Nonferrous Met Soc China200212（3）：494 ［9］ Flemings M C．Solidification Processing．New York：McGraw Hill1974：279 ［10］ Laxmanan V．Dendritic solidification：Ⅲ．Some further refinements to the model for dendrite growth under an imposed thermal gradient．Acta Metall198533：1475 ·440· 北京科技大学学报第30卷