D0I:10.13374/1.issm100103.2008.02.03 第30卷第2期 北京科技大学学报 Vol.30 No.2 2008年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2008 基于多变量相重构的混沌时间序列预测 黎敏徐金梧阳建宏杨德斌 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要提出了一种基于多变量相重构的混沌时间序列预测方法·该预测方法从非线性动力学系统中获取与待预测时间序 列相关的信息组成多变量时间序列，首先进行多变量相空间重构，然后利用局域多元线性回归模型在相空间中进行预测，最 后从预测出的高维相点中分离出时间序列的预测值。由于考虑了动力学系统中多个变量之间相互耦合的关系，从而增加了重 构相空间的系统信息量，使得相空间的相点轨迹更加逼近原系统的动力学行为·与采用单变量进行预测的方法相比，基于多 变量相重构的预测方法无论是单步预测还是多步预测，都能有效地提高预测精度，且具有嵌入维数的选择对预测精度影响较 小的优点·通过对Lorm混沌信号进行预测，实验结果验证了方法的有效性· 关键词多变量预测：混沌时间序列：相空间重构：非线性动力学 分类号TN911.7 Prediction for chaotic time series based on phase reconstruction of multivariate time series LI Min,XU Jinwu,YA NG Jianhong.YANG Debin School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI A nonlinear prediction method based on phase reconstruction of multivariate time series was proposed.Together with the candidate time series for prediction.the correlated information of the same nonlinear dynamical system was selected to construct a multivariate time series.In the phase reconstruction space of the multivariate time series,a local multivariant linear regression model was used to forecast the evolution data of phase point.through which the future data of the candidate time series were predicted. Since the coupled relationship among different variants of the dynamical system were taken into consideration,the reconstructed phase space had more dynamical information and phase point trajectory more approximated the original dynamical behavior.Compared with the univariate method.for either one-step or multi-step prediction,the new method has better prediction preciseness with less sensi- tivity to the selection of embedding dimension.The validity of the new prediction method was verified by the results of prediction ex- periments on the Lorenz system. KEY WORDS multivariate prediction:chaotic time series:phase space reconstruction:nonlinear dynamics 混沌时间序列预测是20世纪80年代末发展起 预测值，研究表明，随着预测时间的增长，预测准确 来的一种非线性预测方法，已经在天气预报、经济预 率将会迅速下降，导致这种长期预测不准确的因素 测、电力负荷预测、股市预测等方面得到了广泛的应 可归结为：(1)预测模型与实际系统之间存在差异； 用.通常，预测分为三个步骤：首先选择合适的初始 (2)计算时产生误差；(3)初始场的不准确性；(4) 场作为预测模型的输入；然后选择预测模型，并进行 系统的内在随机性· 模型参数估计；最后将待预测点输入到模型中求出 近年来，对混沌时间序列预测模型的研究受到 收稿日期：2006-11-22修回日期：2007-05-23 了广泛关注，主要解决的问题是使预测模型更好地 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·50674010):北京市自 逼近系统实际的物理过程，从而提高长期预测的能 然科学基金资助项目(No·3062012):机械传动与制造工程湖北省重 力·常用的模型有回归模型、神经网络模型、最小二 点实验室开放基金资助项目(No,2007A19) 乘支持向量域模型山、自适应预测模型]等，此外， 作者简介：黎敏(1980一)女，博士研究生：徐金梧(1949一)，男， 如何通过减少初始场的不准确性来提高预测的能力 教授，博士生导师 已成为新的研究热点
基于多变量相重构的混沌时间序列预测 黎 敏 徐金梧 阳建宏 杨德斌 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 提出了一种基于多变量相重构的混沌时间序列预测方法．该预测方法从非线性动力学系统中获取与待预测时间序 列相关的信息组成多变量时间序列首先进行多变量相空间重构然后利用局域多元线性回归模型在相空间中进行预测最 后从预测出的高维相点中分离出时间序列的预测值．由于考虑了动力学系统中多个变量之间相互耦合的关系从而增加了重 构相空间的系统信息量使得相空间的相点轨迹更加逼近原系统的动力学行为．与采用单变量进行预测的方法相比基于多 变量相重构的预测方法无论是单步预测还是多步预测都能有效地提高预测精度且具有嵌入维数的选择对预测精度影响较 小的优点．通过对 Lorenz 混沌信号进行预测实验结果验证了方法的有效性． 关键词 多变量预测；混沌时间序列；相空间重构；非线性动力学 分类号 T N911∙7 Prediction for chaotic time series based on phase reconstruction of multivariate time series LI MinXU Jinw uY A NG JianhongY A NG Debin School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A nonlinear prediction method based on phase reconstruction of multivariate time series was proposed．Together with the candidate time series for predictionthe correlated information of the same nonlinear dynamical system was selected to construct a multivariate time series．In the phase reconstruction space of the multivariate time seriesa local mult-i variant linear regression model was used to forecast the evolution data of phase pointthrough which the future data of the candidate time series were predicted． Since the coupled relationship among different variants of the dynamical system were taken into considerationthe reconstructed phase space had more dynamical information and phase point trajectory more approximated the original dynamical behavior．Compared with the univariate methodfor either one-step or mult-i step predictionthe new method has better prediction preciseness with less sensitivity to the selection of embedding dimension．T he validity of the new prediction method was verified by the results of prediction experiments on the Lorenz system． KEY WORDS multivariate prediction；chaotic time series；phase space reconstruction；nonlinear dynamics 收稿日期：2006-11-22 修回日期：2007-05-23 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50674010）；北京市自 然科学基金资助项目（No．3062012）；机械传动与制造工程湖北省重 点实验室开放基金资助项目（No．2007A19） 作者简介：黎 敏（1980—）女博士研究生；徐金梧（1949—）男 教授博士生导师 混沌时间序列预测是20世纪80年代末发展起 来的一种非线性预测方法已经在天气预报、经济预 测、电力负荷预测、股市预测等方面得到了广泛的应 用．通常预测分为三个步骤：首先选择合适的初始 场作为预测模型的输入；然后选择预测模型并进行 模型参数估计；最后将待预测点输入到模型中求出 预测值．研究表明随着预测时间的增长预测准确 率将会迅速下降导致这种长期预测不准确的因素 可归结为：（1） 预测模型与实际系统之间存在差异； （2） 计算时产生误差；（3） 初始场的不准确性；（4） 系统的内在随机性． 近年来对混沌时间序列预测模型的研究受到 了广泛关注主要解决的问题是使预测模型更好地 逼近系统实际的物理过程从而提高长期预测的能 力．常用的模型有回归模型、神经网络模型、最小二 乘支持向量域模型［1］、自适应预测模型［2］等．此外 如何通过减少初始场的不准确性来提高预测的能力 已成为新的研究热点． 第30卷 第2期 2008年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．2 Feb．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．02．023
第2期 黎敏等：基于多变量相重构的混沌时间序列预测 .209. 本文提出了一种基于多变量相重构的混沌时间 个光滑映射，通常的预测模型是根据给定的数据构 序列预测方法：首先将多变量时间序列重构到高维 造出某种近似映射关系f,使得f逼近理论上的映 相空间中，利用复杂系统中各个变量之间相互耦合 射关系∫，本文采用局域多元线性回归模型来建立 的关系，增加重构相空间的系统信息，使得在相空间 中对初始场的描述更接近真实系统；然后用局域多 这种映射关系∫， 元线性回归模型进行预测；最后从预测出的高维相 局域多元线性回归预测模型)是用多因变量 点中分离出目标序列的预测值.用Lorenz混沌时间 的多元线性回归方法来拟合邻近点及其下一步演化 序列对多变量预测方法进行了数值实验，无论是单 点之间的演化规律.设V。是相空间中的一个相点， 步预测还是多步预测的结果，都能有效提高预测 其k个最近的邻近点分别为V,V2,Vg,这k 精度 个邻近点的下一步演化点分别为Vg,+1,V2+1,, V,+1,利用局域多元线性回归预测模型可得： 1多变量预测方法 B+1=CBo (3) 1.1多变量相空间重构 式中，B,为mXk的矩阵，B。中第k个列向量由第 对一个时间序列{x1,x2,,xm},选择嵌入维 k个邻近点V,所组成，B,+1也为mXk的矩阵， 数m和时间延迟τ进行相重构]，相空间中的相点 B,+1中第k个列向量由Vg,的下一步演化点Vg,+1 可以表示为： 所组成，C为mXm的系数矩阵，可以由下式求出 Vp=(xp,xp-,…,xp-(m-1)r)∈Rm(1) 满足线性最小二乘估计的最优系数矩阵： 其中，p=j,j十1，，n,j=(m一1)t十1，n为时间 C=Bo+1Ba (4) 序列的长度.由Takens定理可知，对于合适的嵌 式中，B。为矩阵B,的广义逆矩阵，通过k个邻近 入维数m和时间延迟τ，重构相空间中的“轨线”在 点及其下一步演化点获得最优系数矩阵C后，则相 微分同胚意义下与原系统是“动力学等价”的， 空间中的相点V,的下一步演化点为Vg+1=CVg 对M个时间序列X1,X2,,XM,其中X:= 1.3多变量预测方法的算法步骤 {x1,x2,,xm),i=1,2,…,M,进行多变量相空 本文利用多变量相重构方法构造初始场，作为 间重构可，相空间中的相点可以表示为： 局域多元线性回归模型的输入，提出了基于多变量 Vg=（x1g’x1(g-51),1(g-(m1-1)5)x2g' 相重构的混沌时间序列预测方法，算法步骤如下， 第1步：设共有M个时间序列，根据GP算 X2(g-2),x2(g-(m2-1)2),花Mg'xM(g-tw)…, 法[1]确定每个时间序列的嵌入维数m,其中二1， xM(g-(mw-1)w)∈Rm (2) 2,…,M.一般可以取时间延迟=1.按照式(2)进 行多变量时间序列相空间重构，得到相点V。, 式中，g=jj十1，…，n,j=[(m:-1)]+1. 第2步：应用局域多元线性回归模型预测相点 c:和m:分别为第i个时间序列的延迟时间和嵌入 V,的下一步演化点Vg+1 维数，当m=m1十m2十…十mM>2d(d为吸引子 第3步：根据相重构时设定的嵌入维数m,由 的分形维数)时，则重构后的动力学系统与原系统微 时间延迟的相重构原理，可以从预测出的相点V,+1 分同胚6] 中分离一维时间序列的x(g+1)分量，最终得到目标 从式(2)可以看出：进行多变量重构后，一方面， 序列的预测结果 每个相点保留了与单变量重构时一致的演化关系； 本文提出的预测方法，其讨论的重点并不在于 另一方面，由于复杂动力学系统中的任一变量的演 建立一个新的预测模型，而是着重考虑如何减少由 化都和与之相互作用的其他分量有着密切的关系， 初始场的不准确性对预测结果造成的影响.解决的 所以引入彼此相互耦合的变量参与相空间重构，可 方法是采用多变量时间序列进行高维重构，在重构 以增加每个相点所包含的系统信息量，从而使相点 的相空间中选择预测模型的初始场，与原来仅用单 轨迹能够更好地逼近原动力学系统的演化规律门. 变量进行预测的方法相比，新方法更多地利用了复 1.2局域多元线性回归模型 杂系统中各变量之间相互耦合的关系，增加了重构 进行多变量相空间重构后，相空间中轨迹的表 的信息量，从而对模型的输入增加约束条件，有助于 达式为V。+1=f(V,),其中f是m维空间中的一 克服系统内在随机性带来的影响，提高预测精度
本文提出了一种基于多变量相重构的混沌时间 序列预测方法：首先将多变量时间序列重构到高维 相空间中利用复杂系统中各个变量之间相互耦合 的关系增加重构相空间的系统信息使得在相空间 中对初始场的描述更接近真实系统；然后用局域多 元线性回归模型进行预测；最后从预测出的高维相 点中分离出目标序列的预测值．用 Lorenz 混沌时间 序列对多变量预测方法进行了数值实验无论是单 步预测还是多步预测的结果都能有效提高预测 精度． 1 多变量预测方法 1∙1 多变量相空间重构 对一个时间序列｛x1x2…x n｝选择嵌入维 数 m 和时间延迟τ进行相重构［3］相空间中的相点 可以表示为： VP＝（ xpxp—τ…xp—（ m—1）τ）∈R m （1） 其中p＝ jj＋1…nj＝（ m—1）τ＋1n 为时间 序列的长度．由 Takens 定理［4］可知对于合适的嵌 入维数 m 和时间延迟τ重构相空间中的“轨线”在 微分同胚意义下与原系统是“动力学等价”的． 对 M 个时间序列 X1X2…XM其中 Xi ＝ ｛xi1xi2…xin）i＝12…M进行多变量相空 间重构［5］相空间中的相点可以表示为： Vq＝（ x1qx1（ q—τ1 ）…x1（ q—（ m1—1）τ1 ）x2q x2（ q—τ2 ）…x2（ q—（ m2—1）τ2 ）…x Mqx M（ q—τM ）… x M（ q—（ m M—1）τM ））∈R m （2） 式中q＝ jj＋1…nj＝ max 1≤ i≤ M ［（ mi—1）τi ］＋1． τi 和 mi 分别为第 i 个时间序列的延迟时间和嵌入 维数当 m＝ m1＋ m2＋…＋ m M＞2d（ d 为吸引子 的分形维数）时则重构后的动力学系统与原系统微 分同胚［6］． 从式（2）可以看出：进行多变量重构后一方面 每个相点保留了与单变量重构时一致的演化关系； 另一方面由于复杂动力学系统中的任一变量的演 化都和与之相互作用的其他分量有着密切的关系 所以引入彼此相互耦合的变量参与相空间重构可 以增加每个相点所包含的系统信息量从而使相点 轨迹能够更好地逼近原动力学系统的演化规律［7］． 1∙2 局域多元线性回归模型 进行多变量相空间重构后相空间中轨迹的表 达式为 Vq＋1＝ f （ Vq）其中 f 是 m 维空间中的一 个光滑映射．通常的预测模型是根据给定的数据构 造出某种近似映射关系 f ＾ 使得 f ＾ 逼近理论上的映 射关系 f．本文采用局域多元线性回归模型来建立 这种映射关系 f ＾ ． 局域多元线性回归预测模型［8—9］是用多因变量 的多元线性回归方法来拟合邻近点及其下一步演化 点之间的演化规律．设 Vq 是相空间中的一个相点 其 k 个最近的邻近点分别为 Vq1Vq2…Vq k这 k 个邻近点的下一步演化点分别为 Vq1＋1Vq2＋1… Vq k＋1．利用局域多元线性回归预测模型可得： Bq＋1＝CBq （3） 式中Bq 为 m×k 的矩阵Bq 中第 k 个列向量由第 k 个邻近点 Vq k 所组成Bq＋1也为 m × k 的矩阵 Bq＋1中第 k 个列向量由 Vq k的下一步演化点 Vq k＋1 所组成C 为 m× m 的系数矩阵．可以由下式求出 满足线性最小二乘估计的最优系数矩阵： C＝Bq＋1B ＋ q （4） 式中B ＋ q 为矩阵 Bq 的广义逆矩阵．通过 k 个邻近 点及其下一步演化点获得最优系数矩阵 C 后则相 空间中的相点 Vq 的下一步演化点为 Vq＋1＝CVq． 1∙3 多变量预测方法的算法步骤 本文利用多变量相重构方法构造初始场作为 局域多元线性回归模型的输入提出了基于多变量 相重构的混沌时间序列预测方法．算法步骤如下． 第1步：设共有 M 个时间序列根据 G—P 算 法［10］确定每个时间序列的嵌入维数 mi其中 i＝1 2…M．一般可以取时间延迟τ＝1．按照式（2）进 行多变量时间序列相空间重构得到相点 Vq． 第2步：应用局域多元线性回归模型预测相点 Vq 的下一步演化点 Vq＋1． 第3步：根据相重构时设定的嵌入维数 mi由 时间延迟的相重构原理可以从预测出的相点 Vq＋1 中分离一维时间序列的 xi（ q＋1）分量最终得到目标 序列的预测结果． 本文提出的预测方法其讨论的重点并不在于 建立一个新的预测模型而是着重考虑如何减少由 初始场的不准确性对预测结果造成的影响．解决的 方法是采用多变量时间序列进行高维重构在重构 的相空间中选择预测模型的初始场．与原来仅用单 变量进行预测的方法相比新方法更多地利用了复 杂系统中各变量之间相互耦合的关系增加了重构 的信息量从而对模型的输入增加约束条件有助于 克服系统内在随机性带来的影响提高预测精度． 第2期 黎 敏等： 基于多变量相重构的混沌时间序列预测 ·209·
210 北京科技大学学报 第30卷 地提高预测精度.其中，采用X、Z序列组合，对目 2预测结果分析 标序列X进行预测的精度比文献[1一2]中的预测结 2.1多变量单步预测分析 果提高了一个数量级；而采用X、Y序列组合，对目 为验证基于多变量相重构的混沌时间序列预测 标序列X进行预测，其精度则提高了两个数量级， 方法能够有效地提高预测精度，采用Lorenz混沌时 此外，为了判断目标序列X与不同序列进行组 间序列进行预测，Lorenz模型的动力学方程由下式 合对预测结果的影响，采用相关性统计检验的方法， 给出： 即用下式描述的相关系数r来衡量两个时间序列 x=一(x一y) 之间的相关性： y=Tx一xz一y (5) Cor(X:Y) r- (8) i=xy一bz Var(X)XVar(Y) 式中，o,b,r为参数，o=10,b=8/3,r=28,积分 其中，Cov表示两个时间序列的协方差，Var表示单 步长取为0.02s,用四阶Runge-Kutta积分方法求解 个时间序列的方差， 获得Lorenz系统X,Y,Z三个时间序列的数据. 由式(8)计算得到Lorenz方程中X与Y时间 每个时间序列均为20000点，取最后2000点数据 序列的相关系数ry=0.8784,X与Z时间序列的 作为实验信号，分别对三个混沌时间序列作归一化 相关系数rz=0.0021.从计算结果可知X与Y的 处理，在处理后的信号中取前1000个点作为训练 相关性强于X与Z的相关性， 样本，对其后1000个点用本文提出的方法进行预 为了考察时间序列相关性的强弱与预测误差之 测.在实验中，X,Y,Z三个时间序列的嵌入维数 间的关系，作出单步预测误差随预测点数变化的关 均为3，时间延迟均为1.设计两个实验，分别以X、 系图，见图1.从图中可以看出，随着预测点数n的 Y序列组合、X、Z序列组合进行多变量相重构，对 增加，X、Y和X、Z序列组合的预测效果明显优于 目标序列X进行单步预测 单序列的预测效果.此外，X、Y序列之间的相关性 以均方根误差RMSE和相对误差E作为评测 更好，因此其预测的误差更小，优于X、Z序列组合 标准， 的预测结果 (x(i)一x(i)2 RMSE (6) 10 =一X、Z组合 "X、Y组合 E (7) x(OP 其中，x(i)为真实值，x(i)为预测值，n为预测 点数 500 1000 表1列出了文献[1一2]及本文方法对Lorenz信 预测点数，n 号的X序列进行单步预测的误差.文献[2]中的预 图1预测点数与预测误差的关系 测误差用均方值表示，为统一标准，表1中列出的是 Fig.1 Relationship between the number of prediction points and 转换成均方根值之后的结果 prediction error 表1单步预测误差 Table 1 Errors of one-step prediction 2.2多变量多步预测分析 单变量预测法 多变量预测法 在对混沌时间序列的预测中，一个相点所处位 误差 文献[1] 文献[2]X.Y序列 X,Z序列 置的曲率变化越大，对其进行多步预测的难度就越 大，为提高预测精度，本文采用基于局域多元线性 RMsE2.200×10-37.1760×10-31.3641×10-55.6384×104 E1.2700×10-31.3187×10-41.7282×10-67.1465×10-5 回归模型的多次预测平均法，即：首先构造不同的训 练集对同一个相点进行多次预测，每次预测P步； 表1说明，采用本文提出的多变量预测方法与 然后从每次预测的结果中分离出目标序列的预测 文献[一2]中采用的单变量预测方法相比，能有效 值；最后将多次预测的结果均值化处理后可获得一
2 预测结果分析 2∙1 多变量单步预测分析 为验证基于多变量相重构的混沌时间序列预测 方法能够有效地提高预测精度采用 Lorenz 混沌时 间序列进行预测Lorenz 模型的动力学方程由下式 给出： x ·＝—σ（ x—y） y ·＝ rx— xz —y z ·＝ xy—bz （5） 式中σbr 为参数σ＝10b＝8／3r＝28积分 步长取为0∙02s用四阶 Runge-Kutta 积分方法求解 获得 Lorenz 系统 XYZ 三个时间序列的数据． 每个时间序列均为20000点取最后2000点数据 作为实验信号分别对三个混沌时间序列作归一化 处理．在处理后的信号中取前1000个点作为训练 样本对其后1000个点用本文提出的方法进行预 测．在实验中XYZ 三个时间序列的嵌入维数 均为3时间延迟均为1．设计两个实验分别以 X、 Y 序列组合、X、Z 序列组合进行多变量相重构对 目标序列 X 进行单步预测． 以均方根误差 RMSE 和相对误差 E 作为评测 标准 RMSE＝ ∑ n i＝1 （ x（ i）－ x ＾ （ i）） 2 n （6） E＝ ∑ n i＝1 | x（ i）－ x ＾ （ i）|2 ∑ n i＝1 | x（ i）|2 （7） 其中x （ i）为真实值x ＾ （ i）为预测值n 为预测 点数． 表1列出了文献［1—2］及本文方法对 Lorenz 信 号的 X 序列进行单步预测的误差．文献［2］中的预 测误差用均方值表示为统一标准表1中列出的是 转换成均方根值之后的结果． 表1 单步预测误差 Table1 Errors of one-step prediction 误差 单变量预测法 多变量预测法 文献［1］ 文献［2］ X、Y 序列 X、Z 序列 RMSE 2∙200×10—3 7∙1760×10—3 1∙3641×10—5 5∙6384×10—4 E 1∙2700×10—3 1∙3187×10—4 1∙7282×10—6 7∙1465×10—5 表1说明采用本文提出的多变量预测方法与 文献［1—2］中采用的单变量预测方法相比能有效 地提高预测精度．其中采用 X、Z 序列组合对目 标序列 X 进行预测的精度比文献［1—2］中的预测结 果提高了一个数量级；而采用 X、Y 序列组合对目 标序列 X 进行预测其精度则提高了两个数量级． 此外为了判断目标序列 X 与不同序列进行组 合对预测结果的影响采用相关性统计检验的方法 即用下式描述的相关系数 r 来衡量两个时间序列 之间的相关性： r＝ Cov（XY） Var（X）×Var（ Y） （8） 其中Cov 表示两个时间序列的协方差Var 表示单 个时间序列的方差． 由式（8）计算得到 Lorenz 方程中 X 与 Y 时间 序列的相关系数 rXY ＝0∙8784X 与 Z 时间序列的 相关系数 rXZ＝0∙0021．从计算结果可知 X 与 Y 的 相关性强于 X 与 Z 的相关性． 为了考察时间序列相关性的强弱与预测误差之 间的关系作出单步预测误差随预测点数变化的关 系图见图1．从图中可以看出随着预测点数 n 的 增加X、Y 和 X、Z 序列组合的预测效果明显优于 单序列的预测效果．此外X、Y 序列之间的相关性 更好因此其预测的误差更小优于 X、Z 序列组合 的预测结果． 图1 预测点数与预测误差的关系 Fig．1 Relationship between the number of prediction points and prediction error 2∙2 多变量多步预测分析 在对混沌时间序列的预测中一个相点所处位 置的曲率变化越大对其进行多步预测的难度就越 大．为提高预测精度本文采用基于局域多元线性 回归模型的多次预测平均法即：首先构造不同的训 练集对同一个相点进行多次预测每次预测 P 步； 然后从每次预测的结果中分离出目标序列的预测 值；最后将多次预测的结果均值化处理后可获得一 ·210· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第2期 黎敏等：基于多变量相重构的混沌时间序列预测 211. 维时间序列中要预测的目标点， 0.04 对Lorenz混沌信号，采用多变量多步预测方 法，比较单变量和多变量进行预测时的误差大小. 0.03 。Y嵌人维数=1 ·Y嵌人维数=2 各个时间序列的嵌入维数取为3，时间延迟为1，实 +一Y嵌人维数=3 验结果如图2所示 Y嵌人维数=4 0.02 艹Y嵌入维数=5 0.5 X 0.01 0.4 一X、Y组合 +X、Z组合 03 4 X嵌入维数 0.1 图3X、Y序列的不同嵌入维数组合与预测误差关系 Fig.3 Relationship between embedding dimension of X.Y time series and prediction error 40 60 80 100 预测步长，P 0.20 图2多步预测误差曲线 0.15 gZ嵌人维数-1 Fig.2 Results of multi-step prediction 4Z嵌人维数=2 -Z嵌入维数-3 0Z嵌人维数=4 从图2中可以看出，多变量多步预测优于单变 0.10 艹Z嵌入维数一5 量多步预测的结果，而且采用相关性好的两个序列 进行预测，得到的预测误差较小.即在图2中，X、Y 0.05 组合进行多步预测的精度优于X、Z组合的预测精 度，这与进行单步预测得到的结论是一致的， 3参数讨论 3 4 X嵌人维数 在本文提出的基于多变量相重构的预测方法 图4X、Z序列的不同嵌入维数组合与预测误差关系 中，嵌入维数m是一个非常重要的参数，为了考察 Fig.4 Relationship between embedding dimension of X,Z time se- 嵌入维数m对预测结果的影响，对Lorenz混沌信 ries and prediction error 号设计两个实验.分别将X、Y序列组合、X、Z序 列组合后，首先以不同的嵌入维数作相重构，然后进 4结论 行多变量单步预测，最后考察预测误差随嵌入维数 本文提出一种基于多变量相重构的混沌时间序 变化的情况，两个实验的结果如图3和图4所示， 列预测方法，更多地考虑了复杂系统中各变量之间 从图3和图4中可以看出：进行多变量预测时， 相互耦合的关系，采用相关性较强的时间序列进行 嵌入维数的选择对预测结果的影响较小；当两个时 间序列的嵌入维数均大于2时，预测误差趋于平缓， 相空间重构，使得相空间中包含了更丰富的系统信 在解决实际问题中，可获得的时间序列长度通 息，能够更逼近原动力学系统的演化规律，从而减少 常是有限的，并且往往带有噪声，因此要从时间序列 系统内在随机性带来的影响，数值实验结果表明， 无论是单步预测还是多步预测，采用本文提出的方 中准确地计算出系统的本征维数是比较困难的，采 法都能达到提高预测精度的目的，此外，在多变量 用多变量进行相空间重构，可以有效地避免由于选 预测方法中，各时间序列选择不同的嵌入维数对预 择嵌入维数不当而造成预测误差的增大，所以基于 测精度的影响较小，使得该方法在解决实际问题中 多变量相重构的预测方法对提高预测精度将是一种 有着重要的应用价值， 行之有效的途径 (下转第216页)
维时间序列中要预测的目标点． 对Lorenz 混沌信号采用多变量多步预测方 法比较单变量和多变量进行预测时的误差大小． 各个时间序列的嵌入维数取为3时间延迟为1实 验结果如图2所示． 图2 多步预测误差曲线 Fig．2 Results of mult-i step prediction 从图2中可以看出多变量多步预测优于单变 量多步预测的结果而且采用相关性好的两个序列 进行预测得到的预测误差较小．即在图2中X、Y 组合进行多步预测的精度优于 X、Z 组合的预测精 度这与进行单步预测得到的结论是一致的． 3 参数讨论 在本文提出的基于多变量相重构的预测方法 中嵌入维数 m 是一个非常重要的参数．为了考察 嵌入维数 m 对预测结果的影响对 Lorenz 混沌信 号设计两个实验．分别将 X、Y 序列组合、X、Z 序 列组合后首先以不同的嵌入维数作相重构然后进 行多变量单步预测最后考察预测误差随嵌入维数 变化的情况．两个实验的结果如图3和图4所示． 从图3和图4中可以看出：进行多变量预测时 嵌入维数的选择对预测结果的影响较小；当两个时 间序列的嵌入维数均大于2时预测误差趋于平缓． 在解决实际问题中可获得的时间序列长度通 常是有限的并且往往带有噪声因此要从时间序列 中准确地计算出系统的本征维数是比较困难的．采 用多变量进行相空间重构可以有效地避免由于选 择嵌入维数不当而造成预测误差的增大．所以基于 多变量相重构的预测方法对提高预测精度将是一种 行之有效的途径． 图3 X、Y 序列的不同嵌入维数组合与预测误差关系 Fig．3 Relationship between embedding dimension of XY time series and prediction error 图4 X、Z 序列的不同嵌入维数组合与预测误差关系 Fig．4 Relationship between embedding dimension of XZ time series and prediction error 4 结论 本文提出一种基于多变量相重构的混沌时间序 列预测方法更多地考虑了复杂系统中各变量之间 相互耦合的关系采用相关性较强的时间序列进行 相空间重构使得相空间中包含了更丰富的系统信 息能够更逼近原动力学系统的演化规律从而减少 系统内在随机性带来的影响．数值实验结果表明 无论是单步预测还是多步预测采用本文提出的方 法都能达到提高预测精度的目的．此外在多变量 预测方法中各时间序列选择不同的嵌入维数对预 测精度的影响较小使得该方法在解决实际问题中 有着重要的应用价值． （下转第216页） 第2期 黎 敏等： 基于多变量相重构的混沌时间序列预测 ·211·
,216. 北京科技大学学报 第30卷 [6]Wu QZ,Jeng B S.Background subtraction based on logarithmic [11]Nicolas H.Pinel J M.Joint moving cast shadows segmentation intensities.Pattern Recognit Lett.2002.23(13):1529 and light source detection in video sequences.Signal Process [7]Stauffer C,Grimson W E L.Adaptive background mixture mod- Image Commun.2006.21(1):22 els for real-time tracking.Proc IEEE Comput Soc Conf Comput [12]Salvador E,Cavallaro A,Ebrahimi T.Cast shadow segmenta- Vision Pattern Recognit.1999.2:246 tion using invariant color features.Comput Vision Image Un- [8]Zivkovic Z.Improved adaptive Gaussian mixture model for back- derstanding.2004.95(2):238 ground subtraction//Proceedings of the 17th International Con- [13]Guan Y P.Gu W K.Automatic and robust shadow segmenta- ference on Pattern Recognition.2004.2:28 tion from two-dimensional scenes.Chin J Electron,2006.34 [9]Ridder C.Munkelt O.Kirchner H.Adaptive background estima- (4):624 tion and foreground detection using Kalman filtering.Proc Int (管业鹏，顾伟康。二维场景阴影区域的自动鲁棒分制.电子 Conf Recent Adu Mechatron,1995,1:193 学报，2006,34(4)：624) [10]Leone A.Distante C.Buccolieri F.A shadow elimination ap- [14]Zhang Y J.Image Segmentation.Beijing:Science Press. proach in video"surveillance context.Pattern Recognit Lett, 2001.88 2006,27(5):345 (章毓晋.图像分割，北京：科学出版社，2001：88) (上接第211页) (阳建宏，徐金梧，杨德斌，等.基于相重构和主流形识别的 非线性时间序列降噪方法.北京科技大学学报，2005,27(5)： 631) 参考文献 [4]Takens F.Lecture Notes in Math.New York:Springer.1981: 366 [1]Ren R.Xu J,Zhu S H.Prediction of chaotic time sequence using least squares support vector domain.Acta Phys Sin,2006.55 [5]Cao L Y,Mees A.Judd K.Dynamics from multivariate time se- (2):555 ies.PhD.1998,121,75 [6]Sauer T,Yorke J A,Casdagli M.Embedology.J Stat Phys, (任韧，徐进，朱世华.最小二乘支持向量域的混沌时间序列 1991,65:579 预测.物理学报，2006,55(2)：555) [2]Meng Q F.Zhang Q.Mu W Y.A novel multi-step adaptive pre- [7]Porporato A,Ridolfi L.Multivariate nonlinear prediction of river flows.J Hydrol.2001.248:109 diction method for chaotic time series.Acta Phys Sin.2006.55 (4):1666 [8]Alparslan A K.Sayar M.Atilgan A R.State-space prediction (孟庆芳，张强，牟文英，混沌时间序列多步自适应预测方法， model for chaotic time series.Phys Rev E.1998.58(2):2640 物理学报，2006,55(4)：1666) [9]Jaditz T,Riddick A.Time-series near neighbor regression.Stud [3]Yang J H.Xu J W,Yang D B.et al.Nonlinear time series noise Nonlinear Dyn Econometr.2000.4(1):35 reduction method based on phase reconstruction and principal [10]Grassberger P,Procaccia I.Characterization of Strange Attrac- tors.Phys Rev Lett.1983.50(5):346 manifold learning-JUnie Sci Technol Beijing.2005.27(5):631
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