D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.10.008 第30卷第10期 北京科技大学学报 Vol.30 No.10 2008年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2008 CSP轧机万向接轴弯扭耦合振动 闫晓强刘丽娜曹曦史灿 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要以连续分布质量的轧机万向接轴为研究对象，考虑了万向接轴的倾角、自重、质量偏心以及阻尼的影响，从动力学角 度建立了万向接轴的弯扭耦合振动方程，并对实测的数据给出了理论解释.从所得到的微分方程可以看出：当轴系存在不平 衡时，扭转振动与弯曲振动之间存在着很明显的相互耦合关系：当轴系没有不平衡时，扭转振动会对弯曲振动产生影响，而弯 曲振动对扭转振动没有影响. 关键词CSP轧机；万向接轴：振动耦合：振动方程；分布质量模型：不平衡 分类号TG333.15:TH113.1 Coupling of lateral and torsional vibration for the spindle of a CSP mill YAN Xiaogiang,LIU Lina,CAO Xi,SHI Can School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The spindle of a CSP mill was researched as continuous distributed mass.The spindle's angle.self-weight,mass un- balance and damp were all considered as influential factors.The equations of lateral-torsional coupling vibration for the spindle were established based on the dynamical theory to theoretically interpret field testing data.According to the differential equation of the mathematic model.the following conclusions can be drawn:if unbalance exists,the lateral vibration and torsional vibration are cou- pled distinctly:if unbalance does not exist,the torsional vibration can affect the lateral vibration,but the lateral vibration has not any effect on the torsional vibration. KEY WORDS CSP mill:spindle:vibration coupling:vibrational equation:distributed mass model:unbalance 轧机主传动系统主要振动形式是扭转振动，许 tion,紧凑式板带生产)轧机F3(精轧机组第3架轧 多学者对扭振做了大量的研究工作山，取得了一些 机)的上下万向接轴的扭矩和弯矩进行了测试，测试 成果，但涉及弯曲振动的研究却很少，随着研究轧 结果见图1和图2.从图中可以看出：(1)咬钢后，轧 机振动理论的不断深入和轧机出现的多种振动现 机没有产生振动时，上下接轴扭矩波形都比较平滑， 象，研究扭转振动和弯曲振动的耦合成为解释轧机 波动较小.弯矩波形反映了由万向接轴重力所产生 振动现象的重要任务之一，事实上，由于万向接轴 的弯矩，一周一次，呈现比较规则的简谐波，(2)轧 跨度较大，而且存在倾角)，使这两种振动在一定 机出现振动时，上下接轴的弯矩和扭矩均有明显的 的条件下同时存在并且相互耦合，呈现出复杂的动 变化，波动幅度很大并呈现拍振现象，此时，弯矩的 力学特性3]，因此，从弯扭耦合的角度来研究万 频率不再单一，包括形状波频率和细节波频率两部 向接轴的振动，对认识轧机的振动现象、了解其振动 分，(3)经过频谱分析，各参数的主要频率成分如 规律具有重要的意义， 表1所示.可以看出上、下万向接轴的扭振频率都 十分接近，与上、下万向接轴弯曲振动频率也很 1 现场测试现象 接近 利用遥测系统对某CSP(compact strip produc 收稿日期：2007-10-31修回日期：2007-11-01 作者简介：闫晓强(1961一)，男，教授，Emil:yx平hw@263.nct
CSP 轧机万向接轴弯扭耦合振动 闫晓强 刘丽娜 曹 曦 史 灿 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 以连续分布质量的轧机万向接轴为研究对象考虑了万向接轴的倾角、自重、质量偏心以及阻尼的影响从动力学角 度建立了万向接轴的弯扭耦合振动方程并对实测的数据给出了理论解释．从所得到的微分方程可以看出：当轴系存在不平 衡时扭转振动与弯曲振动之间存在着很明显的相互耦合关系；当轴系没有不平衡时扭转振动会对弯曲振动产生影响而弯 曲振动对扭转振动没有影响． 关键词 CSP 轧机；万向接轴；振动耦合；振动方程；分布质量模型；不平衡 分类号 TG333∙15；T H113∙1 Coupling of lateral and torsional vibration for the spindle of a CSP mill Y A N XiaoqiangLIU LinaCA O XiSHI Can School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he spindle of a CSP mill was researched as continuous distributed mass．T he spindle’s angleself-weightmass unbalance and damp were all considered as influential factors．T he equations of latera-l torsional coupling vibration for the spindle were established based on the dynamical theory to theoretically interpret field testing data．According to the differential equation of the mathematic modelthe following conclusions can be drawn：if unbalance existsthe lateral vibration and torsional vibration are coupled distinctly；if unbalance does not existthe torsional vibration can affect the lateral vibrationbut the lateral vibration has not any effect on the torsional vibration． KEY WORDS CSP mill；spindle；vibration coupling；vibrational equation；distributed mass model；unbalance 收稿日期：2007-10-31 修回日期：2007-11-01 作者简介：闫晓强（1961—）男教授E-mail：yxqzhw＠263．net 轧机主传动系统主要振动形式是扭转振动．许 多学者对扭振做了大量的研究工作［1］取得了一些 成果但涉及弯曲振动的研究却很少．随着研究轧 机振动理论的不断深入和轧机出现的多种振动现 象研究扭转振动和弯曲振动的耦合成为解释轧机 振动现象的重要任务之一．事实上由于万向接轴 跨度较大而且存在倾角［2］使这两种振动在一定 的条件下同时存在并且相互耦合呈现出复杂的动 力学特性［3—6］．因此从弯扭耦合的角度来研究万 向接轴的振动对认识轧机的振动现象、了解其振动 规律具有重要的意义． 1 现场测试现象 利用遥测系统对某 CSP（compact strip production紧凑式板带生产）轧机 F3（精轧机组第3架轧 机）的上下万向接轴的扭矩和弯矩进行了测试测试 结果见图1和图2．从图中可以看出：（1）咬钢后轧 机没有产生振动时上下接轴扭矩波形都比较平滑 波动较小．弯矩波形反映了由万向接轴重力所产生 的弯矩一周一次呈现比较规则的简谐波．（2）轧 机出现振动时上下接轴的弯矩和扭矩均有明显的 变化波动幅度很大并呈现拍振现象．此时弯矩的 频率不再单一包括形状波频率和细节波频率两部 分．（3） 经过频谱分析各参数的主要频率成分如 表1所示．可以看出上、下万向接轴的扭振频率都 十分接近与上、下万向接轴弯曲振动频率也很 接近． 第30卷 第10期 2008年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．10 Oct．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．10．008
第10期 闫晓强等：CSP轧机万向接轴弯扭耦合振动 1159 1200 800 400 10633 12586 14539 64 10633 12586 14539 -400 (W-N)/ -800 -1200 10633 12586 14539 64 《可我 64 10633 12586 14539 时间ms 图1F3轧机咬钢和正常轧制时弯矩和扭矩波形 Fig.1 Moment and torque of F3 mill during biting and rolling 1200 900 600 1130 2260 64 64 130 2260 600 -900 200 1130 2260 64 1130 2260 时间/ms 图2F3轧机咬钢和振动时弯矩和扭矩波形 Fig-2 Moment and torque of F3 mill during biting and vibrating
图1 F3轧机咬钢和正常轧制时弯矩和扭矩波形 Fig．1 Moment and torque of F3mill during biting and rolling 图2 F3轧机咬钢和振动时弯矩和扭矩波形 Fig．2 Moment and torque of F3mill during biting and vibrating 第10期 闫晓强等： CSP 轧机万向接轴弯扭耦合振动 ·1159·
,1160 北京科技大学学报 第30卷 表1轧机振动时各测试参数的主要频率 Table 1 Main frequencies of testing data during vibrating 测试参数 上接轴扭矩 上接轴弯矩 下接轴扭矩 下接轴弯矩 颜率/k 41~43 1~1.25,3843 40.5~42.5 1~1.25,41-44 综上所述，当轧机出现振动时，似乎出现弯扭耦 它的x轴与水平方向、y轴与竖直方向的夹角均为 合振动现象.因此，需要从理论上给出科学的解释， α（图5）.重力作用在万向接轴上为均布载荷，设单 2振动耦合微分方程的建立 位长度上的重力为q(x),通过微元轴段力和力矩 的平衡关系来建立弯扭振动耦合微分方程). 2.1微元轴段扭转振动微分方程 对万向接轴按一般微元轴段处理，考虑质量偏 心、自重、接轴倾角以及阻尼的影响，建立弯扭耦合 振动方程，由于接轴转速较慢，所以不计陀螺力矩 (x) q(x)sinadx 取接轴上任意等直径的一般微元轴段作为研究对 f(x) 象，建立直角坐标系oxyz,坐标原点取在变形前的 q(x)dx 微元轴段中心，x轴与万向接轴未发生弯曲变形时 q(x)cosadx 的轴线重合，指向万向接轴一端，y轴和z轴分别沿 图5考虑倾角微元轴段的受力图 垂直和水平方向（图3） Fig.5 Forces of the micro segment considering the angle of the spin- dle 根据理论力学8)]，刚体对定轴的转动惯量与角 加速度的乘积等于作用在刚体上的主动力系对该轴 的力矩，该力矩包括微元轴段扭矩M町、阻力矩 M2,以及由重力和偏心所产生的惯性力对应的力矩 M3,各力矩如图6所示，并计算如下 图3连续分布质量万向接轴坐标系 Fig.3 Coordinate system of the spindle with continuous distributing M.Q,ds M.+oMe dr dx g(x)sin adxecoso mass 由于重力作用，微元轴段的几何中心0不再与 x轴重合（图4），微元的质量中心在c点，与几何中 ,dx M,+ax 心相距为e,假设轴为各向同性，支承均为刚性，变 -M2 形符合平面变形的假设，质量偏心距ε相对于轴段 M 是固定的，设轴旋转的角速度为2，t=0时刻o'c 0.dx M 与y轴正方向的夹角为中，则t时刻c点相对于o'点 M+dx g(x)sinadresin 的转角为： 9=中+nt十0 (1) 图6微元轴段的所受力矩图 Fig.6 Moments of the micro segment 式中，6为微元轴段的扭转角 (1)微元轴段所受扭矩 aMx Mi=M,+asdx-M.= a Mx a20 2sdx--Gle agidx (2) 式中，Mx为截面的内扭矩，依据材料力学Mx= 图4微元轴段横截面示意图 Fig.4 Cross section of the micro segment G,号是：G为村料的剪切模量：为酸面对形心的 极惯性矩 取微元轴段dx,由于万向接轴存在倾角α，即 (2)微元轴段阻力矩
表1 轧机振动时各测试参数的主要频率 Table1 Main frequencies of testing data during vibrating 测试参数 上接轴扭矩 上接轴弯矩 下接轴扭矩 下接轴弯矩 频率／Hz 41～43 1～1∙2538～43 40∙5～42∙5 1～1∙2541～44 综上所述当轧机出现振动时似乎出现弯扭耦 合振动现象．因此需要从理论上给出科学的解释． 2 振动耦合微分方程的建立 2∙1 微元轴段扭转振动微分方程 对万向接轴按一般微元轴段处理考虑质量偏 心、自重、接轴倾角以及阻尼的影响建立弯扭耦合 振动方程由于接轴转速较慢所以不计陀螺力矩． 取接轴上任意等直径的一般微元轴段作为研究对 象建立直角坐标系 oxyz 坐标原点取在变形前的 微元轴段中心x 轴与万向接轴未发生弯曲变形时 的轴线重合指向万向接轴一端y 轴和 z 轴分别沿 垂直和水平方向（图3）． 图3 连续分布质量万向接轴坐标系 Fig．3 Coordinate system of the spindle with continuous distributing mass 由于重力作用微元轴段的几何中心 o′不再与 x 轴重合（图4）微元的质量中心在 c 点与几何中 心相距为 e．假设轴为各向同性支承均为刚性变 形符合平面变形的假设质量偏心距 e 相对于轴段 是固定的．设轴旋转的角速度为 Ωt＝0时刻 o′c 与 y 轴正方向的夹角为●则 t 时刻 c 点相对于 o′点 的转角为： φ＝●＋Ωt＋θ （1） 式中θ为微元轴段的扭转角． 图4 微元轴段横截面示意图 Fig．4 Cross section of the micro segment 取微元轴段 d x由于万向接轴存在倾角 α即 它的 x 轴与水平方向、y 轴与竖直方向的夹角均为 α（图5）．重力作用在万向接轴上为均布载荷设单 位长度上的重力为 q（ x ）通过微元轴段力和力矩 的平衡关系来建立弯扭振动耦合微分方程［7］． 图5 考虑倾角微元轴段的受力图 Fig．5 Forces of the micro segment considering the angle of the spindle 根据理论力学［8］刚体对定轴的转动惯量与角 加速度的乘积等于作用在刚体上的主动力系对该轴 的力矩．该力矩包括微元轴段扭矩 M1 ［9］、阻力矩 M2以及由重力和偏心所产生的惯性力对应的力矩 M3．各力矩如图6所示并计算如下． 图6 微元轴段的所受力矩图 Fig．6 Moments of the micro segment （1） 微元轴段所受扭矩． M1＝ Mx＋ ∂Mx ∂x d x— Mx＝ ∂Mx ∂x d x＝— GIP ∂2θ ∂x 2d x （2） 式中Mx 为截面的内扭矩依据材料力学 Mx ＝ GIP ∂θ ∂x ；G 为材料的剪切模量；IP 为截面对形心的 极惯性矩． （2）微元轴段阻力矩． ·1160· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第10期 闫晓强等：CSP轧机万向接轴弯扭耦合振动 ,1161, ∂9， M2=cidx (3) 式中，Q,为微元轴段所受单位剪力，“为单位轴向 长度上弯曲振动阻尼系数， 式中，c为单位轴向长度旋转阻尼系数， (3)微元轴段重力和惯性力产生的力矩，由图4 Q 可得质心c的坐标： ye=y+ecos (4) ze=z十esin9 (5) aQ,dx Q,+0x 式中，e为偏心距 以上两式对时间求二阶导数为： ￥=g-29in eising cos (6) Q:+x tq(x)dx 2z_2z+29 ∂92 a-32+ea2cos9-3月 sin (7) 图7微元轴段力学模型 由于质量偏心所产生的惯性力为： Fig.7 Mechanical model of the micro segment (x)-eAfdx (8) 由微元轴段对与z轴平行的形心轴转动的力 e)-a 矩方程，可得到y方向剪力Q,的表达式，微元轴段 (9) 对形心轴的力矩包括微元轴段截面所受弯矩M:' 式中，P为轴的密度，A为轴段的截面面积 (根据材料力学可知M:=E:兰，a为微元截面 重力与惯性力所产生的力矩之和为： 的直径惯性矩)，由剪力而产生的弯矩Q,dx,以及 M3=[f,(x)+g(x)dxcos a]esin -f(x)ecos 重力的分力而产生的力矩，因此力矩方程为： (10) 0M2, 将式(6)一(9)代入式(10)中并化简得： M.-M.+x dx+dx- w-[eH3品ans-ms ∂2x q(x)sin adxecos=0 (15) 由式(15)可以解出剪力Q,: e4e手+g(aoon时as (11) Q-Ela(x)esin ocos? (16) 由刚体定轴转动微分方程可以得到： 将式(6)和(16)带入式(14)即可得到y方向的 B3n-M1-M2十Ms ∂29 (12) 振动微分方程： eu叶o- 「29 式中，p=Idx为微元轴段对形心的转动惯量 PA 将式(2)、(3)和(11)代入式(12)可得： 《+A-6 ay_dg(x a20 Ela ax dx esin acos ∂9. PAe sin cos g(s)esin号n9-g(x)amsa+r-0(17)） 2.3微元轴段z方向振动微分方程 a9二0 (x)ecosasin (13) 仍以质心c为研究对象，与y方向相比，沿z 方向没有重力，但存在由接轴倾角α而产生的附加 2.2微元轴段y方向振动微分方程 弯矩为： 微元轴段y、z两个方向的受力如图7所示. ∂20 以微元轴段质心c为研究对象，根据牛顿第二 Mr-Mitana-Gly agidxtana (18) 定律，y方向的动力学方程为： 其中，各作用力的具体求解与y方向分析一致，最 PAdx at2 后得到z方向的振动微分方程： 「a29 ∂g27 +00, 0,+2d-0,+gr- PA +Ae 2cos at sin ∂30 (14) adaxesin asin Gle 2xitana Ela dx
M2＝c ∂φ ∂t d x （3） 式中c 为单位轴向长度旋转阻尼系数． （3）微元轴段重力和惯性力产生的力矩．由图4 可得质心 c 的坐标： yc＝y＋ecosφ （4） z c＝z ＋esinφ （5） 式中e 为偏心距． 以上两式对时间求二阶导数为： ∂2 yc ∂t 2 ＝ ∂2 y ∂t 2—e ∂2φ ∂t 2sinφ—e ∂φ ∂t 2 cosφ （6） ∂2 z c ∂t 2 ＝ ∂2 z ∂t 2＋e ∂2φ ∂t 2cosφ—e ∂φ ∂t 2 sinφ （7） 由于质量偏心所产生的惯性力为： f y（ x）＝ρA ∂2 yc ∂t 2d x （8） f z （ x）＝ρA ∂2 z c ∂t 2d x （9） 式中ρ为轴的密度A 为轴段的截面面积． 重力与惯性力所产生的力矩之和为： M3＝［ f y（ x）＋q（ x）d xcosα］ esinφ— f z （ x） ecosφ （10） 将式（6）～（9）代入式（10）中并化简得： M3＝ ρAe ∂2 y ∂t 2sinφ— ∂2 z ∂t 2cosφ — ρAe 2∂2φ ∂t 2＋q（ x） ecosαsinφ d x （11） 由刚体定轴转动微分方程可以得到： JP ∂2φ ∂t 2＝ M1— M2＋ M3 （12） 式中JP＝ρIPd x 为微元轴段对形心的转动惯量． 将式（2）、（3）和（11）代入式（12）可得： ρ（ IP＋ Ae 2） ∂2φ ∂t 2— GIP ∂2θ ∂x 2— ρAe ∂2 y ∂t 2sinφ— ∂2 z ∂t 2cosφ — q（ x） ecosαsinφ＋c ∂φ ∂t ＝0 （13） 2∙2 微元轴段 y 方向振动微分方程 微元轴段 y、z 两个方向的受力如图7所示． 以微元轴段质心 c 为研究对象根据牛顿第二 定律y 方向的动力学方程为： ρAd x ∂2 yc ∂t 2 ＝ Qy＋ ∂Qy ∂x d x — Qy＋q（ x）cosαd x—μ ∂y ∂t d x （14） 式中Qy 为微元轴段所受单位剪力μ为单位轴向 长度上弯曲振动阻尼系数． 图7 微元轴段力学模型 Fig．7 Mechanical model of the micro segment 由微元轴段对与 z 轴平行的形心轴转动的力 矩方程可得到 y 方向剪力 Qy 的表达式．微元轴段 对形心轴的力矩包括微元轴段截面所受弯矩 Mz′ （根据材料力学可知 Mz′＝ EId ∂2 y ∂x 2Id 为微元截面 的直径惯性矩）由剪力而产生的弯矩 Qyd x以及 重力的分力而产生的力矩．因此力矩方程为： Mz′— Mz′＋ ∂Mz′ ∂x d x ＋ Qyd x— q（ x）sinαd xecosφ＝0 （15） 由式（15）可以解出剪力 Qy： Qy＝ EId ∂3 y ∂x 3＋q（ x） esinαcosφ （16） 将式（6）和（16）带入式（14）即可得到 y 方向的 振动微分方程： ρA ∂2 y ∂t 2—ρAe ∂2φ ∂t 2sinφ＋ ∂φ ∂t 2 cosφ — EId ∂4 y ∂x 4— d q（ x） d x esinαcosφ＋ q（ x） esinα ∂φ ∂x sinφ—q（ x）cosα＋μ ∂y ∂t ＝0 （17） 2∙3 微元轴段 z 方向振动微分方程 仍以质心 c 为研究对象与 y 方向相比沿 z 方向没有重力但存在由接轴倾角 α而产生的附加 弯矩为： MF＝ M1tanα＝ GIp ∂2θ ∂x 2d xtanα （18） 其中各作用力的具体求解与 y 方向分析一致最 后得到 z 方向的振动微分方程： ρA ∂2 z ∂t 2＋ρAe ∂2φ ∂t 2cosφ— ∂φ ∂t 2 sinφ ＋ GIP ∂3θ ∂x 3tanα— EId ∂4 z ∂x 4— d q（ x） d x esinαsinφ— 第10期 闫晓强等： CSP 轧机万向接轴弯扭耦合振动 ·1161·
,1162. 北京科技大学学报 第30卷 g(x)esin号ose+r号=-0 ∂9 (19) 程度的残余质量不平衡和存在较小的倾角，所以弯 振和扭振之间在这种条件下存在着耦合关系， 式(13)、(17)和(19)即为弯扭耦合振动的微分方程 组 参考文献 3讨论耦合振动微分方程组 [1]Zou JX.Tandem Mill Vibration Control.Beijing:Metallurgical Industry Press,1998 (1)从所得到的微分方程组(13)、(17)和(19)可 (邹家祥.冷连轧机系统振动控制，北京：冶金工业出版社， 1998) 以看出，弯振和扭振之间存在着明显的偶合关 系1o1. [2]Zou JX.Modern Design Theory of Mill.Beijing:Metallurgical Industry Press,1991:335 (2)当质量偏心不存在(e=0)时，重力和惯性 (邹家祥.轧钢机现代设计理论，北京：治金工业出版社，1991： 力所对应的力矩M3=0,则扭振运动微分方程(13) 335) 中不再含有与弯振有关的量，其微分方程组变为： [3]Qiang Y.Review and prospect for coupled lateral and torsional vi- m-6m29+e=0 ∂29 bration of turbogenerator unit shafting Turbine Technol.2006. (20) 48(5):321 (强彦.汽轮发电机组转子及轴系弯扭耦合振动发展现状及展 y二0 pAa-Eaa-q(x)cosa+μt (21) 望.汽轮机技术，2006,48(5)：321) [4]FuZ G.Yang K.Song Z P.Research on the effect of the bend ∂30 Glp a3tan a-Ela0 and mass unbalance on the coupling flexural torsional vibration of rotor.Turbine Technol.1999.41(4):197 (22) (傅忠广，杨昆，宋之平，弯曲和质量失衡对转子弯扭耦合振动 从上面的方程组可以看出，当万向接轴没有质 影响的探讨.汽轮机技术，1999,41(4)：197) 量偏心影响时，弯振对扭振没有影响，扭振对弯振还 [5]Liu ZS.Research on control system of shop floor based on multi- agent system and dynamic and logical manufacturing Mech Eng 有影响，但只对：方向有影响，体现在式(22)中的 China,2003,14(7):603 a30 Glana项. (刘占生.转子弯扭耦合振动非线性动力学特性研究，中国机械 工程，2003,14(7)：603) (③)若不考虑万向接轴倾角，则附加弯矩不存 [6]ShuGQ.Liang X Y.Weight effect on coupled torsional and flex- 在，方程(21)和(22)便可写成： ural vibration of a continuous shaft.Eng Mech,2005.22(2):168 (舒歌群，梁兴雨，基于自重影响的连续轴扭/弯耦合振动的研 PA (23) 究.工程力学，2005,22(2)：168) [7]He C B.Research on Coupled Flexural and Torsional Vibration (24) of Turbo generator Shafis [Dissertation ]Beijing:North China Electric Power University.2003:72 由方程(20)、(23)和(24)可以看到，此时弯曲振 (何成兵·汽轮发电机组轴系弯扭耦合振动研究[学位论文]·北 动和扭转振动不存在耦合关系， 京：华北电力大学，2003.72) 4结论 [8]Fan Q S.Theoretical Mechanics.Beijing:Higher Education Pre5s,2000.264 当CSP轧机万向接轴存在由质量不平衡引起 (范钦珊.理论力学.北京：高等教育出版社，2000：264) 的偏心时，扭转振动与弯曲振动之间有很明显的相 [9]Liu H W.Material Mechanics:Ist Volume.3rd Ed.Beijing: Higher Education Press,1992:97 互耦合关系，而且是高度非线性的；当万向接轴无质 (刘鸿文.材料力学：上册.3版.北京：高等教育出版社， 量偏心影响时，弯曲振动对扭转振动没有影响，而扭 1992.97) 转振动会对弯曲振动产生影响，这和实测结果相吻 [10]Zhang Y.Jiang Z K.Mathematic model of coupled bending and 合·当万向接轴无质量偏心并且倾角为零时，弯曲 torsional vibration of shaft systems.J Tsinghua Univ Sci Tech- nol,1998,38(8):114 振动和扭转振动才不存在耦合关系，实际上，万向 (张勇，蒋滋康。轴系弯扭耦合振动的数学模型.清华大学学 接轴即使已经做过良好的平衡，轴上总会存在一定 报：自然科学版，1998,38(8)：114)
q（ x） esinα ∂φ ∂x cosφ＋μ ∂z ∂t ＝0 （19） 式（13）、（17）和（19）即为弯扭耦合振动的微分方程 组． 3 讨论耦合振动微分方程组 （1）从所得到的微分方程组（13）、（17）和（19）可 以看出弯振和扭振之间存在着明显的偶合关 系［10］． （2）当质量偏心不存在（ e＝0）时重力和惯性 力所对应的力矩 M3＝0则扭振运动微分方程（13） 中不再含有与弯振有关的量其微分方程组变为： ρIP ∂2φ ∂t 2— GIP ∂2θ ∂x 2＋c ∂φ ∂t ＝0 （20） ρA ∂2 y ∂t 2— EId ∂4 y ∂x 4—q（ x）cosα＋μ ∂y ∂t ＝0 （21） ρA ∂2 z ∂t 2＋ GIP ∂3θ ∂x 3tanα— EId ∂4 z ∂x 4＋μ ∂z ∂t ＝0 （22） 从上面的方程组可以看出当万向接轴没有质 量偏心影响时弯振对扭振没有影响扭振对弯振还 有影响但只对 z 方向有影响体现在式（22）中的 GIP ∂3θ ∂x 3tanα项． （3）若不考虑万向接轴倾角则附加弯矩不存 在方程（21）和（22）便可写成： ρA ∂2 y ∂t 2— EId ∂4 y ∂x 4—q（ x）＋μ ∂y ∂t ＝0 （23） ρA ∂2 z ∂t 2— EId ∂4 z ∂x 4＋μ ∂z ∂t ＝0 （24） 由方程（20）、（23）和（24）可以看到此时弯曲振 动和扭转振动不存在耦合关系． 4 结论 当 CSP 轧机万向接轴存在由质量不平衡引起 的偏心时扭转振动与弯曲振动之间有很明显的相 互耦合关系而且是高度非线性的；当万向接轴无质 量偏心影响时弯曲振动对扭转振动没有影响而扭 转振动会对弯曲振动产生影响这和实测结果相吻 合．当万向接轴无质量偏心并且倾角为零时弯曲 振动和扭转振动才不存在耦合关系．实际上万向 接轴即使已经做过良好的平衡轴上总会存在一定 程度的残余质量不平衡和存在较小的倾角所以弯 振和扭振之间在这种条件下存在着耦合关系． 参 考 文 献 ［1］ Zou J X．Tandem Mill V ibration Control．Beijing：Metallurgical Industry Press1998 （邹家祥．冷连轧机系统振动控制．北京：冶金工业出版社 1998） ［2］ Zou J X．Modern Design Theory of Mill．Beijing：Metallurgical Industry Press1991：335 （邹家祥．轧钢机现代设计理论．北京：冶金工业出版社1991： 335） ［3］ Qiang Y．Review and prospect for coupled lateral and torsional vibration of turbogenerator unit shafting．T urbine Technol2006 48（5）：321 （强彦．汽轮发电机组转子及轴系弯扭耦合振动发展现状及展 望．汽轮机技术200648（5）：321） ［4］ Fu Z GYang KSong Z P．Research on the effect of the bend and mass unbalance on the coupling flexura-l torsional vibration of rotor．T urbine Technol199941（4）：197 （傅忠广杨昆宋之平．弯曲和质量失衡对转子弯扭耦合振动 影响的探讨．汽轮机技术199941（4）：197） ［5］ Liu Z S．Research on control system of shop floor based on mult-i agent system and dynamic and logical manufacturing．Mech Eng China200314（7）：603 （刘占生．转子弯扭耦合振动非线性动力学特性研究．中国机械 工程200314（7）：603） ［6］ Shu G QLiang X Y．Weight effect on coupled torsional and flexural vibration of a continuous shaft．Eng Mech200522（2）：168 （舒歌群梁兴雨．基于自重影响的连续轴扭／弯耦合振动的研 究．工程力学200522（2）：168） ［7］ He C B．Research on Coupled Flexural and Torsional V ibration of T urbo-generator Shafts ［Dissertation ］．Beijing：North China Electric Power University2003：72 （何成兵．汽轮发电机组轴系弯扭耦合振动研究［学位论文］．北 京：华北电力大学2003：72） ［8］ Fan Q S． Theoretical Mechanics．Beijing：Higher Education Press2000：264 （范钦珊．理论力学．北京：高等教育出版社2000：264） ［9］ Liu H W． Material Mechanics：1st Volume．3rd Ed．Beijing： Higher Education Press1992：97 （刘鸿文．材料力学：上册．3版．北京：高等教育出版社 1992：97） ［10］ Zhang YJiang Z K．Mathematic model of coupled bending and torsional vibration of shaft systems．J Tsinghua Univ Sci Technol199838（8）：114 （张勇蒋滋康．轴系弯扭耦合振动的数学模型．清华大学学 报：自然科学版199838（8）：114） ·1162· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷