《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 1、复合函数可由多个函数相继复合而成每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进 行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：y=sinw,4=√F,v=1-x2,复合成：y=sinV-x,x∈[-L,. 2、不仅要会复合，更要会分解把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定 义域的变化 ①y=log。V1-x2,xe(0,)→y=log。4,u=VF,:=1-x2 ②y=arcsin√r2+i→y=arcsinu,u=√X+l. ③y=2mx→y=2”,=2,v=sinx 五、反函数 (一)引言 在函数y=fx)中把x叫做自变量，y叫做因变量但需要指出的是，自变量与因变 量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f(0)=√a,u=P+L,那么u对于∫来讲是 自变量，但对1来讲，u是因变量 习惯上说函数y=f(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现时变化但有 时我们不公要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况对此，我们引入反函数 的概念。 (二)反函数概念 定义设f:X→R是一函数，如果V,∈X,由≠为→)≠(x) (或由f()=fx)→x=x),则称∫在X上是1-1的. 若：X→y,y=fX,称∫为满的. 若f:X→Y是满的1-1的，则称∫为1-1对应. ∫：X→R是1-1的意味着y=四对周定y至多有一个解x,f:X→”是1-1的意味 着对y∈Y,y=f(x)有且仅有一个解x. 定义设f:X→y是1-1对应.少eY,由y=f)唯一确定一个x∈X,由这种对应法 则所确定的函数称为y=(x)的反函数，记为x=O). 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 5 1、复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进 行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如： 2 y u u v v x = = = − sin , , 1 ，复合成： 2 y x x = −  − sin 1 , [ 1,1]. 2、不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定 义域的变化. ① 2 2 log 1 , (0,1) log , , 1 . a a y x x y u u z z x = −  → = = = − ② 2 2 y x y u u x = + → = = + arcsin 1 arcsin , 1. ③ 2 sin 2 2 2 , , sin . x u y y u v v x = → = = = 五、反函数 (一) 引言 在函数 y f x = ( ) 中把 x 叫做自变量， y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变 量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如： 2 f u u u t ( ) , 1, = = + 那么 u 对于 f 来讲是 自变量，但对 t 来讲， u 是因变量. 习惯上说函数 y f x = ( ) 中 x 是自变量， y 是因变量，是基于 y 随 x 的变化现时变化.但有 时我们不公要研究 y 随 x 的变化状况，也要研究 x 随 y 的变化的状况.对此，我们引入反函数 的概念. (二) 反函数概念 定义 设 f : X → R 是一函数，如果  1 x ， x2  X , 由 ( ) ( ) 1 2 1 2 x  x  f x  f x (或由 1 2 1 2 f (x ) = f (x ) x = x )，则称 f 在 X 上是 1-1 的. 若 f : X →Y ，Y = f (X ) ，称 f 为满的. 若 f : X →Y 是满的 1-1 的，则称 f 为 1-1 对应. f : X → R 是 1-1 的意味着 y = f (x) 对固定 y 至多有一个解 x ， f : X →Y 是 1-1 的意味 着对 y Y ， y = f (x) 有且仅有一个解 x . 定义 设 f : X →Y 是 1-1 对应. y Y , 由 y = f (x) 唯一确定一个 x X , 由这种对应法 则所确定的函数称为 y = f (x) 的反函数，记为 ( ) 1 x f y − = . 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域