《数学分析》上册敦案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 E=Im v=gt Emg'p. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数)=m,=g,把)代入了，即得 f0》=sr。 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数” 问题：任给两个函数都可以复合吗？考虑下例： y=f(u)=arcsinu.uED=[-1I.I].u=g(x)=2+x,xEE=R. 就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数” 的定义域的交集不空（从而引出下面定义） (二)定义（复合函数) 设有两个函数y=f(,ueD,u=g(x,x∈E,记E={xVx)∈D}nE,若E≠中，则对每 个x∈E,通过g对应D内唯一一个值u,而u又通过f对应唯一一个值y,这就确定了 个定义在E上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作y-fgx),x∈E或 y=(fg(x),x∈E.简记为fg称为函数∫和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数， u为中间变量。 (三)例子 例1y=f)=Va,u=g(x)=1-x2.求(fogx)=fg(x)]并求 定义域 例2(1)f1-x)=x2+x+1f(x)= A.x2, B.x2+1, C.x2-2D.x2+2. 例讨论函数y=f()=√a,u∈0，+o)与函数u=g(x)=-x,x∈R能否 进行复合，求复合函数 (四)说明《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 4 2 2 2 1 1 2 2 E mv E mg t v gt  =   = =   . 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数 1 2 ( ) , 2 f v mv v gt = = ，把 vt() 代入 f ，即得 1 2 2 ( ( )) 2 f v t mg t = . 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”. 问题: 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例； 2 y f u u u D u g x x x E R = =  = − = = +  = ( ) arcsin , [ 1,1], ( ) 2 , . 就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数” 的定义域的交集不空（从而引出下面定义）. (二) 定义（复合函数） 设有两个函数 y f u u D u g x x E =  =  ( ), , ( ), ，记 E x f x D E =    ( )  ，若 E   ，则对每 一个 x E  ，通过 g 对应Ｄ内唯一一个值 u ，而 u 又通过 f 对应唯一一个值 y ，这就确定了一 个定义在 E 上的函数，它以 x 为自变量， y 因变量，记作 y f g x x E =  ( ( )), 或 y f g x x E =  ( )( ), .简记为 f g .称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数，g 为内函数， u 为中间变量. (三) 例子 例 1 ( ) , ( ) 1 . 2 y = f u = u u = g x = − x 求 (f  g)(x) = fg(x). 并求 定义域. 例 2 (1) 2 f x x x f x (1 ) 1, ( ) _. − = + + = (2) . 1 1 2 2 x x x f x  = +      + 则 f (x) = ( ) A. , 2 x B. 1, 2 x + C. 2, 2 x − D. 2. 2 x + 例 讨论函数 y f u u u = =  + ( ) , [0, ) 与函数 2 u g x x x R = = −  ( ) 1 , 能否 进行复合，求复合函数. (四) 说明