厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu. cn s3.9子空间 教学目的和要求掌握子空间的交,和运算的概念,掌握生成子空间的元素的表 示方法,了解由子集S生成的子空间L(S)是包含S的子空间的最小子空间,熟练 掌握子空间的和是直和的等价刻划,熟练掌握证明子空间的方法,证明空间作直和 分解的方法,理解维数公式证明中扩基的方法,了解子空间的并不是运算的原因 了解有”有限个真子空间不能覆盖整个空间” 子空间 定义设V是数域K上的线性空间,V是V的非空子集且v对加法,数乘 封闭.则称V是V的线性子空间,简称子空间 注(1)定义中V是K上线性空间; (2)任意非零线性空间Ⅴ都有两个平凡子空间:零空间0与V本身 (3)设V是n维线性空间V的非平凡子空间,则0< dime<dimV 例1(1)R3中,通过原点的平面是二维子空间,通过原点的直线是一维子空 (2)K上的所有n阶对称矩阵构成的集合V是K×n的子空间; (3)所有n阶反对称矩阵构成的集合U是K×n的子空间 例2设V,V是V的子空间,则ⅵ∩V是V的子空间,称为Ⅵ与V的交 空间 注设V,V2是V的子空间,VgV,V2gV,则VUV不是子空间事实 上,取a∈V\V,B∈V\,则a+BgV∪V 例3设V,V是V的子空间,则V1+V={a+Ba∈V,B∈V}是V的子 空间,简称和空间 例4设S是线性空间V的子集, L(S):={a1a1+…+anm|m∈N,a∈S,a1∈K,1≤i≤m}￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.9 ✑✒✓ ✔✕ ✖✗✘✙✚ ✛✜✑✒✓✢✣✤✥✦✧✢★✩✤✛✜✪✫✑✒✓✢✬✭✢✮ ✯✰✱✤✲✳✴✑✵ S ✪✫✢ ✑✒✓ L(S) ✶✷✸ S ✢ ✑✒✓✢✹✺✑✒✓✤✻✼ ✛✜✑✒✓✢✥ ✶✽✥✢✾✿❀❁✤✻✼✛✜❂❃✑✒✓✢✰✱✤❂❃✒✓❄ ✽ ✥ ❅✳✢✰✱✤❆✳❇❈❉❊❂❃❋●❍✢✰✱✤✲✳✑✒✓✢■❏✶ ✦✧✢❑▲✤ ✲✳▼ ” ▼◆❖P✑✒✓❏◗❘❙❚❖ ✒✓ ”. ❯❱✑✒✓ ❲❳ ❨ V ✶ ❈❩ K ❬ ✢❭❪✒✓✤ V0 ✶ V ✢❫✒✑✵❴ V0 ❵❛✱✤❈❜ ❝❞❱❡❢ V0 ✶ V ✢❭❪✑✒✓✤❣❢✑✒✓❱ ❤ (1) ✐❥❋ V0 ✶ K ❬ ❭❪✒✓❦ (2) ❧♠❫♥❭❪✒✓ V ♦ ▼♣❖qr✑✒✓s♥ ✒✓ 0 t V ✉✈❦ (3) ❨ V0 ✶ n ❇❭❪✒✓ V ✢❫qr✑✒✓✤❡ 0 < dimV0 < dimV . ✇ 1 (1) R 3 ❋✤①②❑③✢q④✶⑤❇ ✑✒ ✓✤①②❑③✢✽ ❭ ✶❯❇ ✑✒ ✓❦ (2) K ❬ ✢⑥▼ n ⑦❵❢⑧⑨⑩✫✢ ✵❶ V ✶ Kn×n ✢ ✑✒✓❦ (3) ⑥▼ n ⑦❷❵❢⑧⑨⑩✫✢ ✵❶ U ✶ Kn×n ✢ ✑✒✓❱ ✇ 2 ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❡ V1 ∩ V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❢❸ V1 t V2 ✢ ❹ ❺❻.❤ ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤ V1 * V2, V2 * V1, ❡ V1 ∪ V2 ❏ ✶✑✒✓❱❼❽ ❬ ✤❾ α ∈ V1 \ V2, β ∈ V2 \ V1, ❡ α + β 6∈ V1 ∪ V2. ✇ 3 ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❡ V1 + V2 = {α + β|α ∈ V1, β ∈ V2} ✶ V ✢ ✑ ✒✓✤❣❢ ✘❺❻. ✇ 4 ❨ S ✶ ❭❪✒✓ V ✢ ✑✵✤ L(S) := {a1α1 + · · · + amαm | m ∈ N, αi ∈ S, ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ m} 1