是V的子空间,称为由S生成的子空间特别地,当S={a1,a2,……,am},L(S {a1a1+…+ amam a∈K,1≤i≤m} 例5(1)a可由a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是a∈L( (2)设1,E2,……,Em是V的一个基,则L(e1,e2,…,Em 定理1设S是V的非空子集 (1)L(S)是V的子空间,设V是包含S的子空间,则L(S)sVo,因此 L(S)=∩erV2,其中V,∈I是V的包含S的所有子空间 (2)设51,52,…,5m是S中极大线性无关组,则L(S)=L(51,52,…,m),且 dim(S)=m 例6设V1,V是V的子空间,则L(uV)=Ⅵ+V2 证明对任意的a∈L(VUV)则a=a1a1+…+aa+b1A1+…+b1A4,a1,b K,a∈V,∈V,所以a∈Ⅵ+V2,所以L(vUV)sV+V 反之,设a∈V+V,存在a1∈V,a2∈v使得a=a1+a2∈L(V∪V).口 维数公式 定理2设V,V2是线性空间V的有限维子空间,则 dim(vi+v2)+dim(VinV2)=dimI+dimv2 证明设dm(V∩V2)=m,dimV=m+r,dimV2=m+t.取定V∩v2的基 a1,……,am扩为V1的基a1,……,am,B1,…,β3,扩为V2的基a1,……,am,m1,…,t 下面证明a1,…,am,B1,…,3,m,…,t是V+V2的基.事实上,对于任意的 a+B,其中a∈V,B∈V2,则因为a可以表为a1,…,am,B1,…,。的线 性组合,B可以表为a1,……,Om,m1,…,mt的线性组合,所以a+β可以表为 1,…,am,月,…,,m1,…,t的线性组合.另一方面,设 a1a1+…+amQm+b11+…+b3+c171+…+ctt=0.,(*) 则a1a1+…+amm+b161+…+bB=-c17 cnt∈v∩v2.所以存在 d1,…,dm,使得-c1 ctt=d1a1+…+dlnm,因为a1,…,am,1 是V的基,所以G=0,1≤i≤t,d=0.1≤j≤m.这样,由(*)式,知✶ V ✢ ✑✒✓✤❢❸ ❿ S ➀➁✗➂❺❻. ➃➄➅✤➆ S = {α1, α2, · · · , αm}, L(S) = {a1α1 + · · · + amαm|ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ m}. ✇ 5 (1) α ➇ ✴ α1, α2, · · · , αm ❭❪✮✯✢➈❅➉➊➋➌✶ α ∈ L(α1, α2, · · · , αm). (2) ❨ ε1, ε2, · · · , εm ✶ V ✢❯❖❍✤❡ L(ε1, ε2, · · · , εm) = V . ❲➍ 1 ❨ S ✶ V ✢❫✒✑✵✤ (1) L(S) ✶ V ✢ ✑✒ ✓✤❨ V0 ✶✷✸ S ✢ ✑✒ ✓✤❡ L(S) ⊆ V0, ▲➎ L(S) = ∩i∈IVi , ➏ ❋ Vi , i ∈ I ✶ V ✢ ✷✸ S ✢⑥▼ ✑✒✓❱ (2) ❨ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✶ S ❋➐➑❭❪➒➓➔✤❡ L(S) = L(ξ1, ξ2, · · · , ξm), ❴ dimL(S) = m. ✇ 6 ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❡ L(V1 ∪ V2) = V1 + V2. →➣ ❵❧♠✢ α ∈ L(V1∪V2), ❡ α = a1α1+· · ·+asαs+b1β1+· · ·+btβt , ai , bj ∈ K, αi ∈ V1, βj ∈ V2, ⑥↔ α ∈ V1 + V2, ⑥↔ L(V1 ∪ V2) ⊆ V1 + V2. ❷↕✤❨ α ∈ V1 + V2, ➙➛ α1 ∈ V1, α2 ∈ V2 ➜➝ α = α1 + α2 ∈ L(V1 ∪ V2). ✷ ⑤❱❇❈❉❊ ❲➍ 2 ❨ V1, V2 ✶ ❭❪✒✓ V ✢▼◆❇✑✒✓✤❡ dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2) = dimV1 + dimV2. →➣ ❨ dim(V1 ∩ V2) = m, dimV1 = m + r, dimV2 = m + t. ❾ ✐ V1 ∩ V2 ✢❍ α1, · · · , αm ●❸ V1 ✢❍ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, ●❸ V2 ✢❍ α1, · · · , αm, γ1, · · · , γt , ➞④❂ ❃ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, γ1, · · · , γt ✶ V1 + V2 ✢❍❱❼❽❬ ✤ ❵➟❧♠✢ α + β, ➏ ❋ α ∈ V1, β ∈ V2, ❡ ▲❸ α ➇ ↔✮❸ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs ✢❭ ❪➔❶ ✤ β ➇ ↔✮❸ α1, · · · , αm, γ1, · · · , γt ✢❭❪➔❶ ✤⑥↔ α + β ➇ ↔✮❸ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, γ1, · · · , γt ✢❭❪➔❶❱➠❯✰④✤❨ a1α1 + · · · + amαm + b1β1 + · · · + bsβs + c1γ1 + · · · + ctγt = 0, (∗) ❡ a1α1 + · · · + amαm + b1β1 + · · · + bsβs = −c1γ1 − · · · − ctγt ∈ V1 ∩ V2. ⑥↔➙➛ d1, · · · , dm, ➜➝ −c1γ1 − · · · − ctγt = d1α1 + · · · + dmαm. ▲❸ α1, · · · , αm, γ1, · · · , γt ✶ V2 ✢❍✤⑥↔ ci = 0, 1 ≤ i ≤ t, dj = 0, 1 ≤ j ≤ m. ➡➢✤✴ (*) ❊✤➤ 2