a101+…+am(m+b161+…+b3=0.由于a1,……,am,31,…,B是Ⅵ的基, 所以a2=0,1≤i≤m,b=0,1≤j≤s.这样,a1,…,m,1,……,B,m…,t, 因而是V1+V的基 三.子空间的直和 定义设V,V2,……,Vm是线性空间V的子空间,对1≤i<m均有 V∩(V 则称和Ⅵ+V2+…+Vm为直和记为V由V⊕…⊕Vm 定理3设V1,V2是有限维空间V的子空间,则下列命题等价: (1)+V2=Ⅵ⊕V2,即V∩V=0; (2)设V=Ⅵ+V,则V中零元素表示法唯一,即0=a1+a2,ai∈V,则 0. 0: (3)设V=V1+V,则v中元素表为V,V中元素之和时,表示法唯一,即 +B1=a2+B2,a∈V1,B1∈V2 B1=B2; (4)V的基51,…,5。与V的基m,…,m凑成V+V2的基51,…,5s,mh,……,m 5)dim(Vi+V2)=dimI +dimv2 证明(1)→(2):0 ,所以a1 ∈V∩V2=0,所以a1=0 (2)→(3):a=a1+B1=a2+A2则(a1-a2)+(1-B2)=0 (3)→(4):a∈V+V,存在a1∈ⅵ,a2∈V,a1∈L(51,…,5s),a2∈ L(m,…,mh),所以a∈L(51,…,5s,m,…,m,即+V中任意向量可由51,…,s, mh,…,mt线性表示 另一方面,设a151+…+a35s+bm1 bnh=0,则a151 aSs∈V b1m1+…+bmh∈V.根据(3),有a151+…+a3s=0.,b1m+…+bmh=0,所以 i≤s,b=0,1≤j≤t.所以51,……,5 h线性无关 (4)→(5):显然 (5)→(1):根据维数公式.口 例7设K上所有n阶对称矩阵全体构成空间为V,所有n阶反对称矩阵构成 空间为U,求证:Kx=V⊕U并求dimV,dimUa1α1 + · · · + amαm + b1β1 + · · · + bsβs = 0. ✴ ➟ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs ✶ V1 ✢❍✤ ⑥↔ ai = 0, 1 ≤ i ≤ m, bj = 0, 1 ≤ j ≤ s. ➡➢✤ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, γ1, · · · , γt , ▲➥ ✶ V1 + V2 ✢❍❱ ✷ ➦❱✑✒✓✢ ✽ ✥❱ ❲❳ ❨ V1, V2, · · · , Vm ✶ ❭❪✒✓ V ✢ ✑✒✓✤ ❵ 1 ≤ i ≤ m ➧ ▼ Vi ∩ (V1 + · · · + Vi−1 + Vi+1 + · · · + Vm) = 0 ❡❢✥ V1 + V2 + · · · + Vm ❸ ➨✘ , ➩❸ V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm. ❲➍ 3 ❨ V1, V2 ✶ ▼◆❇✒✓ V ✢ ✑✒✓✤❡➞➫➭➯✾✿s (1) V1 + V2 = V1 ⊕ V2, ➲ V1 ∩ V2 = 0; (2) ❨ V0 = V1 + V2, ❡ V0 ❋♥✬✭✮✯✱➳❯✤ ➲ 0 = α1 + α2, αi ∈ Vi , ❡ α1 = 0, α2 = 0; (3) ❨ V0 = V1 + V2, ❡ V0 ❋✬✭✮❸ V1, V2 ❋✬✭↕ ✥➵✤✮✯✱➳❯✤ ➲ α ∈ V0, α = α1 + β1 = α2 + β2, αi ∈ V1, βi ∈ V2, ❡ α1 = α2, β1 = β2; (4) V1 ✢❍ ξ1, · · · , ξs t V2 ✢❍ η1, · · · , ηt ➸ ✫ V1+V2 ✢❍ ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt ; (5) dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2. →➣ (1) ⇒ (2) : 0 = α1+α2, ⑥↔ α1 = −α2 ∈ V1∩V2 = 0, ⑥↔ α1 = 0, α2 = 0. (2) ⇒ (3) : α = α1 + β1 = α2 + β2, ❡ (α1 − α2) + (β1 − β2) = 0. (3) ⇒ (4) : α ∈ V1 + V2, ➙➛ α1 ∈ V1, α2 ∈ V2, α1 ∈ L(ξ1, · · · , ξs), α2 ∈ L(η1, · · · , ηt), ⑥↔ α ∈ L(ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt), ➲ V1+V2 ❋ ❧♠➺➻ ➇ ✴ ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt ❭❪✮✯❱ ➠❯✰④✤❨ a1ξ1 + · · · + asξs + b1η1 + · · · + btηt = 0, ❡ a1ξ1 + · · · + asξs ∈ V1, b1η1 + · · · + btηt ∈ V2. ➼➽ (3), ▼ a1ξ1 + · · · + asξs = 0, b1η1 + · · · + btηt = 0, ⑥↔ ai = 0, 1 ≤ i ≤ s, bj = 0, 1 ≤ j ≤ t. ⑥↔ ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt ❭❪➒➓❱ (4) ⇒ (5) : ➾➚❱ (5) ⇒ (1) : ➼➽❇❈❉❊❱ ✷ ✇ 7 ❨ K ❬ ⑥▼ n ⑦❵❢⑧⑨➪➶⑩✫ ✒✓❸ V , ⑥▼ n ⑦❷❵❢⑧⑨⑩✫ ✒✓❸ U, ➹ ❂s Kn×n = V ⊕ U ■ ➹ dimV, dimU. 3