证明对任意A∈K×,A=生+4,∈V42∈U,所以Kxn= 另一方面,设A∈V∩U,则A=A,A'=-A,A=-A,A=0,即vnU=0 所以Kn×n=V⊕U V有基E+E,1≤还≤≤n,所以dm=,U有基E-E,1≤i< j≤n,所以dmU=m2n,dimV+dimU=++21m=n2= dimknxn口 例8设V=U⊕W,U=U1⊕U2,则V=U1⊕U2W 证明一设51,……,5是U1的基,m1,……,s是U2的基,(1,……,s是W的基, 因为U=U1④U2,所以51,……,r,m2,…,7是U的基,又因为V=U⊕W,所以 1,…,sr,mh,…,ns,(1,…,t是V的基,所以V=Ul1⊕U2⊕W 证明二对任意的a∈V,因为V=U⊕W,所以存在β∈U,∈W,使得 a=B+%,又因为U=U1⊕U2,所以存在∈U,1≤i≤2,使β=B1+2,所以 a=1+B2+7,所以V=U1+U2+W 另一方面,由0的表示方法唯一(由a∈V中表示方法唯一;由dimV dimU+dimW=dimU1+dinU2+dimW)均可得到V=U1⊕U2⊕W.口 思考题(1)写出m个子空间的和是直和的等价条件 (2)设V1,V2,…,Vm是线性空间V的有限维子空间,求证:dim(V+…+ Vmn)+∑2dim∩=V)=Em1dimv 作业: P144,10,P155,2,4,9 补充题.(1)设A∈Kmxn,求证:V={B∈Kx叫BA=AB}构成Kmx的 子空间 110 (2)在(1)中令A=011,求V的基与维数 挑战题:P14,12 思考题:P143,1,P1412,3,5,8,9,P15,1,4→➣ ❵❧♠ A ∈ Kn×n , A = A+A0 2 + A−A0 2 , A+A0 2 ∈ V, A−A0 2 ∈ U, ⑥↔ Kn×n = V + U. ➠❯✰④✤❨ A ∈ V ∩ U, ❡ A 0 = A, A0 = −A, A = −A, A = 0, ➲ V ∩ U = 0, ⑥↔ Kn×n = V ⊕ U. V ▼❍ Eij +Eji, 1 ≤ i ≤ j ≤ n, ⑥↔ dimV = (n+1)n 2 , U ▼❍ Eij −Eji, 1 ≤ i < j ≤ n, ⑥↔ dimU = (n−1)n 2 , dimV + dimU = (n+1)n 2 + (n−1)n 2 = n 2 = dimKn×n . ✷ ✇ 8 ❨ V = U ⊕ W, U = U1 ⊕ U2, ❡ V = U1 ⊕ U2 ⊕ W. →➣➘ ❨ ξ1, · · · , ξr ✶ U1 ✢❍✤ η1, · · · , ηs ✶ U2 ✢❍✤ ζ1, · · · , ζt ✶ W ✢❍✤ ▲❸ U = U1 ⊕ U2, ⑥↔ ξ1, · · · , ξr, η1, · · · , ηs ✶ U ✢❍✤➴▲❸ V = U ⊕ W, ⑥↔ ξ1, · · · , ξr, η1, · · · , ηs, ζ1, · · · , ζt ✶ V ✢❍✤⑥↔ V = U1 ⊕ U2 ⊕ W. →➣➷ ❵❧♠✢ α ∈ V, ▲❸ V = U ⊕ W, ⑥↔➙➛ β ∈ U, γ ∈ W, ➜➝ α = β + γ, ➴▲❸ U = U1 ⊕ U2, ⑥↔➙➛ βi ∈ Ui , 1 ≤ i ≤ 2, ➜ β = β1 + β2, ⑥↔ α = β1 + β2 + γ, ⑥↔ V = U1 + U2 + W. ➠❯✰④✤✴ 0 ✢✮✯✰✱➳❯ (✴ α ∈ V ❋✮✯✰✱➳❯❦✴ dimV = dimU + dimW = dimU1 + dimU2 + dimW) ➧➇➝➬ V = U1 ⊕ U2 ⊕ W. ✷ ➮➱✃ (1) ❐❒ m ❖ ✑✒✓✢✥ ✶✽✥✢✾✿➋➌❱ (2) ❨ V1, V2, · · · , Vm ✶ ❭❪✒✓ V ✢▼◆❇✑✒✓✤ ➹ ❂s dim(V1 + · · · + Vm) + Σm i=2dim(Vi ∩ Σ i−1 j=1Vj ) = Σm i=1dimVi . ❄❮s P144 4, 10 ✤ P155, 2, 4, 9 ❰➈➯❱ (1) ❨ A ∈ Kn×n , ➹ ❂s V = {B ∈ Kn×n |BA = AB} ⑩✫ Kn×n ✢ ✑✒✓❱ (2) ➛ (1) ❋Ï A =   1 1 0 0 1 1 0 1 1  , ➹ V ✢❍ t ❇❈❱ ÐÑ➯s P144, 12 ÒÓ➯s P143, 1, P144, 2, 3, 5, 8, 9, P155, 1, 4 4