元来之后和原来曲面的面积元素一除,即为求它的整个的积分,就得到映 射的 Degree.可以证明这个 Degree在可以定向的曲面的函这下,它是曲面 的 Euler数的2很可惜的,我大概没有时间把这个完合讲完.我想我下次 再详细讲讲.我现在大致讲讲这个证明是怎么样的.显然我们已有基本公 式du12=-KdA.我们还要把曲面放到E上去,所以要定一个单位矢量场 这不一定可天.这样的单位矢量场要有异点,也就是说如果你允许整体单位 矢量场有异点的话,它那是可天的.这也需要证明.有了异点之后,就看这个 异点的性质,比如说,你看看这些单位矢量场,画这儿个图(图略所.这是矢 量场的异点的可天性,可天矢量场有许多不同的方向,但是在异点有时候这 个矢量向外走,也有时候矢量向里走,也有时候就象第三个图,它是跟 双曲线相切.所以讨论矢量场的异点的性质是非常有意思的问题.那么我 在任何曲面一定有一个,并且且不只一个,而是有许多有异点的单位矢量场 在这个函形之下,你要把曲面切成小块,切成一个所谓 complex(复形).你先 定它在顶点,因为所谓的 complex,就是说,有些顶点,有些边,有些面,在顶 点,定一个任何的矢量,那么第二步把这个矢量场延到边.取一个边的话,如 果矢量场已经在顶点确定了,那么很容易看岀来可以把它延到整个的边.现 在是面了:假使是面的话,比方说有个三角形,现在矢量场已经在边上都定 了,是不是天够延长到它的内部,这就不明显了.当然这是一定可以的.假 使你允许它有异点,比方说是一个三角形,那么你就在三角形中间取一点, 然后从这点连到边上,那么这个矢量场就把它延到内部,但是这样定的矢量 场在中间的那点一定是异点,因为中间的那点没法子定一个可以连续的矢 量场,使得每点只有一个矢量.在这一点就没法子定.所以刚才这个理由可 以证明:假使你允许这矢量场有异点,这样的矢量场是存在的.普通一定有 异点,在地球上,要刮风的话,这风跟地球相切的时候,它的方向是个矢量 场,一定有一点没有风,至积有一点而这一点就很复杂了,那么这种样子点 的研究是很有意思,也很要紧的问题.区别矢量场在异点的性质,很简单的 个方法是我们可以在异点定一个整数.这一般就叫做它的指科: I(s)=lim I (5.16)➹✉❷⑨❩➷✉▼➪④➪è➹↔✘ø, ý➃❋➬④r➬④è■, Ò③t♥ ó④Degree. ✱✶②Ò❨➬Degree ó✱✶➼✺④▼➪④❁❨✆, ➬✹▼➪ ④Euler❥④ 1 2π . ✐✱ê④, ➲▲➊➊❿✣✲➨❨➬q❭❨q. ➲✳➲✆✬ ò✲û❨❨. ➲✙ó▲➋❨❨❨➬②Ò✹✍➃ø④. ✗❧➲➣✳❿äýÚ ✯dω12 = −KdA. ➲➣↕✞➨▼➪✽tEÞ❱, ➘✶✞➼✘➬❭➔✪Þ➐, ❨❳✘➼✱✕. ❨ø④❭➔✪Þ➐✞❿■➎, ✎Ò✹⑨➌✯✜ã➂r✍❭➔ ✪Þ➐❿■➎④➏, ➬￾✹✱✕④. ❨✎❽✞②Ò. ❿ê■➎❷⑨, Ò✗❨➬ ■➎④✉➓, ✞➌⑨, ✜✗✗❨❏❭➔✪Þ➐, ➌❨✁➬❈➹❈◗➘. ❨✹✪ Þ➐④■➎④✱✕✉, ✱✕✪Þ➐❿➂õ❳✸④✵✺, ❜✹ó■➎❿✣⑧❨ ➬✪Þ✺✐✒, ✎❿✣⑧✪Þ✺➦✒, ✎❿✣⑧Ò✻➅➤➬❈, ➬✹❐✘✘ ✈▼✧★★. ➘✶ÿ❳✪Þ➐④■➎④✉➓✹✿➒❿❄❻④➥☛. ￾➃➲ ó⑧❬▼➪✘➼❿✘➬, ❄✪✪❳➄✘➬, ✌✹❿➂õ❿■➎④❭➔✪Þ➐. ó❨➬❁♦❷✆, ✜✞➨▼➪★➘❇▲, ★➘✘➬➘➣complex(❹♦). ✜☛ ➼➬ó➸➎, ❖➃➘➣④complex, Ò✹⑨, ❿❏➸➎, ❿❏✣, ❿❏➪. ó➸ ➎, ➼✘➬⑧❬④✪Þ, ￾➃➅✓❩➨❨➬✪Þ➐Òt✣. ❘✘➬✣④➏, ➌ ✯✪Þ➐✳➨ó➸➎❤➼ê, ￾➃✐➂✹✗ñ✉✱✶➨➬Òtr➬④✣. ✙ ó✹➪ê: ✧✫✹➪④➏, ✞✵⑨❿➬➤♥♦, ✙ó✪Þ➐✳➨ó✣ÞÑ➼ ê, ✹❳✹✕êÒ➓t➬④✓❭, ❨Ò❳Ò✗ê. ❤❧❨✹✘➼✱✶④. ✧ ✫✜ã➂➬❿■➎, ✞✵⑨✹✘➬➤♥♦, ￾➃✜Òó➤♥♦➙✲❘✘➎, ❧⑨✱❨➎❐t✣Þ, ￾➃❨➬✪Þ➐Ò➨➬Òt✓❭, ❜✹❨ø➼④✪Þ ➐ó➙✲④￾➎✘➼✹■➎, ❖➃➙✲④￾➎➊✛✝➼✘➬✱✶❐➍④✪ Þ➐, ✫③➎➎➄❿✘➬✪Þ. ó❨✘➎Ò➊✛✝➼. ➘✶➛❜❨➬➤❸✱ ✶②Ò: ✧✫✜ã➂❨✪Þ➐❿■➎, ❨ø④✪Þ➐✹❄ó④. ✃✴✘➼❿ ■➎, ó➃❊Þ, ✞ý❩④➏, ❨❩❐➃❊★★④✣⑧, ➬④✵✺✹➬✪Þ ➐, ✘➼❿✘➎➊❿❩, ➊è❿✘➎. ✌❨✘➎Ò✐❹ìê, ￾➃❨➠ø✝➎ ④Ï➘✹✐❿❄❻, ✎✐✞➏④➥☛. ❑✴✪Þ➐ó■➎④✉➓, ✐❀❭④ ✘➬✵✛✹➲➣✱✶ó■➎➼✘➬r❥. ❨✘➘Ò✇✮➬④➁✮Õ I(s) = lim 1 2π Z ω1. (5.16) 9