定理5若D≠0,则方程组存在唯一解x=D (=1,2,…,n) 证存在性. a anle 0(∵1=r) ainIer a 第1行中元素an的代数余子式为 b, a1 D bn 将D按第1行展开可得 bd+ 0)+…+an(-D0) 因为D≠0,所以 D =b(i=1,2,…,n) D 故方程组有解x (=1,2,…,n) 唯一性.设方程组还有解x,x2…x,则 xD aux17 定理 5 若 D  0, 则方程组存在唯一解 ( 1,2, , ) ( ) j n D D x j j = =  . 证 存在性. 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ~  +  = i n n nj nn i i ij i n j n i i ij i n r r b a a a b a a a b a a a b a a a D                 0 ( ) = 1 = i+1 r r 第 1 行中元素 ij a 的代数余子式为 n n n j n j n n j j n j i j b a a a a b a a a a A          1 , 1 , 1 1 11 1, 1 1, 1 1 1 ( 1) ( 1) ~ − + − + + + = − ( ) 1 , 1 , 1 1 1 1, 1 1 1, 1 1 2 1 ( 1) ( 1) j n n j n n j n n j j n j j D a a b a a a a b a a = − − = − − + − + + −          将 D ~ 按第 1 行展开可得 ( ) ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) + 1 − + + − + + − = n in j biD ai D  aij D  a D 因为 D  0, 所以 ( 1,2, , ) (1) ( ) ( ) 1 b i n D D a D D a D D a i n i n j i ++ ij ++ = =  故方程组有解 ( 1,2, , ) ( ) j n D D x j j = =  唯一性. 设方程组还有解 * * 2 * 1 , , , n x x  x , 则 x jD = * n n j nj j n j n n j j j j n a a a x a a a a a x a a          , 1 * 1 , 1 1, 1 1 * 11 1, 1 1 − + − + n n j n n j j n n n n j n n j j j n n j n a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a              , 1 * * * 1 , 1 1 1 1, 1 1 * 1 * 1 * 1 1 1, 1 1 1 1 ( ) ( ) − + − + + + + + + + + + =