容易看出,Ω,与任何事件都独立。如果A与B独立,A与B,A与 A与B都是独立的 定义称A,B,C是相互独立的,如果有 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A), P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 类似的,可以定义n个事件A1,A2,……,An的独立性 定义称A1,A2,…,An是相互独立的,如果对于任意的自然数k(2≤ k≤m)以及满足1≤i1≤i≤…≤hn≤n的k个自然数i1,i2,…,in都 有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 例6.2某型号的高炮命中率为0.6。现在用若干门炮同时发射(每炮射 发),问要以0.99以上的把握击中一架敌机,至少配备几门高炮? 解设需要n门高炮,并记 A=第讠门高炮击中敌机,=1,2,…,m, B=敌机被击中 注意到 B=A1∪A2U…∪A B=4∩A2∩…∩A 故n应满足 P(B)=P(41A2…A)≤0.01 由于A1,A2,……,An是相互独立的,故A5,A2,……,A也是相互独立的 所以 P(B)=P(4342…A)=(1-0.6)=0.4≤0.01 可知n≥5.027,即至少需要6门高炮 这里要特别指出,两两独立并不能推出相互独立。就三个事件相互独立 来说,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是不可缺少的,下面就是一个例子Ch1 4 ➛✶✵✪☛✸✷⑥✘ Ω ✘ ∅ ✹ ➝✶✺✪Õ✪❜✂✮✮✒✯✏✻✟❄þ A ✹ B ✮✶✯✘ A ✹ Bc ✘ Ac ✹ B ✘ A c ✹ B c ✮✂✯✮✒✯✳✑✏ ✬✒✭ ❵ A ✘ B ✘ C ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘✟❄þ✂❉    P(AB) = P(A)P(B), P(BC) = P(B)P(C), P(CA) = P(C)P(A), P(ABC) = P(A)P(B)P(C). ✼✒✽✂✳✑✘ r✂➇é✂❨ n ✌✂Õ✂❜ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✳✮✒✯✂✴❹ ✬✒✭ ❵ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘✟✂þ❄★❄✩✂➝❄❳❄✳✿✾ ❰✏✍ k(2 6 k 6 n) ➇✒❀❾✂❿ 1 6 i1 6 i2 6 · · · 6 in 6 n ✳ k ✌✿✾á❰✒✍ i1 ✘ i2 ✘ · · · ✘ in ✮ ❉ P(A1A2 · · · An) = P(A1)P(A2)· · ·P(An). ✒ 6.2 ❝ ⑤✒❁✂✳✂ò✒❂✒❃✹✽✺❚✂❴ 0.6 ✏❅❄✂✷✂Ð✒❆✒❇✁❈✔❂✹❅✺❬❖✏❉ t ✐✏❂❉ ▼ ❖ ✇✈✘❋❊✺Ï➇ 0.99 ➇✓✂✳✒●✒❍✒■✹✽✺▼✒❏✒❑✒▲✴✘ ①❄②✏▼✏◆❋★❈❊ò✒❂♦ô ➹ ❷✒❖Ï n ❈✺ò✒❂✑✘ ✰ ✙ Ai = ➘ i ❈✺ò✒❂✒■✹✽✔❑✒▲✑✘ i = 1, 2, · · · , n, B = ❑✒▲✒P✒■✹✽⑥✏ ◗❳ ✣ B = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An, B c = A c 1 ∩ A c 2 ∩ · · · ∩ A c n , ❘ n ❙ ❾✂❿ P(B c ) = P(A c 1A c 2 · · · A c n ) 6 0.01. ➃✺✩ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘❘ Ac 1 ✘ Ac 2 ✘ · · · ✘ Ac n ❽ ✯✂♥➀✒✮✒✯ ✳✑✏ ✤➇ P(B c ) = P(A c 1A c 2 · · · A c n ) = (1 − 0.6)n = 0.4 n 6 0.01, r✂s n > 5.027 ✘✚➙①✂②✒❖Ï 6 ❈✺ò✒❂✑✏ ✫✒❚✂Ï✒❯✒❱✒❲✁✷⑥✘ö☞✂☞✮✒✯✰➁ ✳✒❳ ✷✺♥➀✒✮✏✯ ✏✚➱❭ ✌✂Õ❄❜✂♥➀✒✮✏✯ ç✒✕✑✘ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) ✯ ➁r✒❨② ✳✑✘✚◆❄⑦✂➱❄✯❄▼✂✌❄✍✂✎✴✏ 4