2.逆概公式 利用全概公式,我们可以得到下面的逆概公式 设A1,A2,……,An是样本空间9的一个分割,则对任一事件B,P(B) 有 P(ALB)=-=4)PCB4)-,;=1,2…,n ∑P(4)P(BA4) 艾滋病是一种令人恐惧的病症,而目前为止都是通过医学检查来确定是 否感染了艾滋病。但是,医学检査的准确率有多高呢?看看下面的例子 例5.2通过医学检查,艾滋病毒携带者试验结果呈阳性的概率是0.99, 而未携带艾滋病毒的人试验结果呈阳性的概率是0.01。如果人口总数的0.001 为艾滋病毒携带者,求一个人在试验结果呈阳性的情况下,实际上是艾滋病 携带者的概率。 解 A={艾滋病毒携带者} T={试验结果呈阳性} 有P(A)=001,P(T|A)=0.9,P(TA)=0.01。由逆概公式 P(TA)P(A) P(AT)P(T A)P(A)+P(T A)P(Ac)0.09 也就是说,在测试结果为阳性的人当中,只有不到十分之一的人是真正 的艾滋病毒携带者。而真正决定检査准确率的,是人群中携带艾滋病毒人数 所占的比例,和未携带艾滋病毒的人测试结果为阳性的概率 §6独立性 定义称两个事件A,B是相互独立的,如果 P(AB)= P(A)P(B) 称为独立,是因为如果A,B相互独立,就有P(B|A)=P(AB)P(A)= P(B),就是说,A的发生并不影响B发生的可能性的大小。Ch1 3 2. ➏✂✄✂✟✂✠ ❺✂Ð✂➴✂❙✂➄✂❶✑✘✚Ñ✂Òr✂➇❄➈✣◆❄⑦✂✳❄Ó❄❙✂➄❄❶✴✏ ❷ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯♣➑♣⑨♣➓❤➔ Ω ✳♣▼♣✌♣➣♣↔➒✘Ôq✪★✂➝✪▼✪Õ✪❜ B ✘ P(B) > 0 ✘✚❉ P(Ai |B) = P(Ai)P(B|Ai) Xn j=1 P(Aj)P(B|Aj) , i = 1, 2, · · · , n. Ö✪×✪Ø✪✯✪▼✪Ù✪Ú✂✔✂Û✂Ü✂✳✂Ø✪Ý✴✘Þ➯àßá◗✂❴✂➪✂✮✂✯✂â✂✻✹ã✺ä✂å✂æ✂ç✂è✂é✂✯ ê✂ë✂ì✂íÖ✂×✂Ø✑✏î✵❄✯✑✘ïã❊ä✂å❄æ✂✳❄ð❄è✂❚❄❉❄ñ✂ò❄ó❆ô❁☛❄☛✂◆❄⑦❄✳✂✍❄✎✴✏ ✒ 5.2 â✪✻↕ãõä✪å✂æ✴✘öÖ✂×✂Ø❄÷✂ø❄ù✂ú✂û❄ü✂ý✂þ❄ÿ✁￾✄✂✂✳✂❙❄❚✂✯ 0.99 ✘ ➯✆☎♣ø♣ù♣Ö♣×♣Ø✪÷✪✳✪✔✪û✪ü✪ý✪þ✪ÿ✝￾✞✂✪✳✪❙✪❚✪✯ 0.01 ✏✠✟♣þ♣✔☛✡✌☞✆✍♣✳ 0.001 ❴✂Ö✂×✂Ø✂÷✂ø✂ù✂ú✑✘ö➶❄▼✂✌❄✔✂✷❄û✂ü❄ý✂þ❄ÿ✁￾✄✂✂✳✏✎✒✑❄◆✑✘✚❱❄❲✏✓✂✯❄Ö✂×❄Ø ø✂ù✂ú✂✳✂❙✂❚✑✏ ➹ ✙ A = {Ö✂×✂Ø✂÷✂ø✂ù✂ú} ✘ T = {û✂ü✂ý✂þ✂ÿ✁￾✔✂} ✘ ❉ P(A) = 0.001 ✘ P(T|A) = 0.99 ✘ P(T|Ac ) = 0.01 ✏á➃✺Ó✂❙✂➄✂❶ P(A|T) = P(T|A)P(A) P(T|A)P(A) + P(T|Ac )P(Ac ) = 0.09. ❽ ➱✂✯✒✕✑✘ö✷✒✖✂û✂ý✂þ✂❴✁￾✄✂✂✳❄✔➮ ✽✾✘✘✗✂❉➁✣✏✙➣✏✚✂▼❄✳✂✔❄✯✒✛✏✜ ✳✂Ö✂×✂Ø✂÷✂ø✂ù✂ú✑✏ö➯✏✛✒✜✏✢✂é❄å✂æ❄ð✂è❄❚✂✳✴✘✚✯❄✔✒✣❆✽✺ø❄ù✂Ö❄×✂Ø❄÷✂✔✏✍ ✤✁✥ ✳✁✦✺✍✑✘✘✧✒☎❄ø❄ù✂Ö❄×✂Ø❄÷❄✳✂✔✏✖✂û❄ý❄þ✂❴★￾✄✂✂✳❄❙✂❚✴✏ §6 ✩✒✪✒✫ ✬✒✭ ❵✂☞✂✌✂Õ✂❜ A ✘ B ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘✟✂þ P(AB) = P(A)P(B). ❵♣❴✮✆✯✘ ✯↕●õ❴✒✟✪þ A ✘ B ♥➀✆✮✆✯✘ ➱✪❉ P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(B) ✘✚➱✂✯✒✕✑✘ A ✳❖✂P✒✰➁✒✱✒✲ B ❖✂P✳r✒✳✂✂✳✒✴✂❡✑✏ 3