§5全概公式与逆概公式 1.全概公式 假设A1,A2 An是样本空间Ω的一个分割,即A1两两不相 容,P(41)>0,且∑=141=9,则对任意的B,有B=∑=1BA, PB)=∑PBA)=∑P(A1)P(B|A) i=1 例5.1(赌徒破产模型)赌徒参加赌博,一开始他有x元赌本,而庄家 有α一x元赌本,假设每局赌徒贏的概率都为P,双方开始赌博直到其中 方输光为止,求赌徒最后输光的概率 解记 A1={赌徒开始有i元最后输光}, B={第一局赌徒贏}, 则由全概公式 P(Ai)= P(AlB)P(B)+ P(AiB)P(B) pP(A2+1)+qP(A1-1) 其中,q=1-p,记n2=P(A),则有 Pi= PPi+1+ qpi 联合p=1,pa=0可以解得 (g)2 ≠号; p P 当a>x时,就算赌局是公平的,即p=1/2,px=1-x/a≈1,赌徒 最后也几乎必然要输光Ch1 2 §5➎ ✄✂✟✂✠✂✆✂➏✂✄✂✟✂✠ 1. ➎ ✄✂✟✂✠ ➐ ❷ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯➒➑➒⑨➒➓→➔ Ω ✳➒▼➒✌➒➣➒↔↕✘♣➙ Ai ☞➒☞ ➁ ♥ ➛✑✘ P(Ai) > 0 ✘✚➜ Pn i=1 Ai = Ω ✘✚q✂★✂➝✂❳✂✳ B ✘✚❉ B = Pn i=1 BAi ✘ P(B) = Xn i=1 P(BAi) = Xn i=1 P(Ai)P(B|Ai). ✒ 5.1 t➟➞✪➠✪➡✪➢✂➤⑤♦✇ ➞✂➠✂➥❄➦✂➞✂➧✘❑▼✂➨❄➩✂➫✂❉ x ➭✪➞⑨✑✘❁➯✪➲✜ ❉ a − x ➭✂➞⑨✴✘➳➐❷✐❄➵➞❄➠❄➸✳❄❙❄❚❄✮❄❴ p ✘➳➺✂➻✂➨✂➩➞✂➧❄➼❄✣❄➽✽❊▼ ➻✂➾✂➚✂❴✂➪✑✘✚➶➞❄➠❀ ✿➾✂➚❄✳❄❙✂❚✴✏ ➹ ✙ Ai = {➞✂➠➨✂➩✂❉ i ➭ ❀ ✿➾✂➚} ✘ B = {➘▼✂➵➞✂➠✂➸} ✘ q✹➃✺➴✂❙✂➄✂❶ P(Ai) = P(Ai |B)P(B) + P(Ai |Bc )P(Bc ) = pP(Ai+1) + qP(Ai−1) ➽ ✽⑥✘ q = 1 − p ✘✚✙ pi = P(Ai) ✘✚q✂❉ pi = ppi+1 + qpi−1, ➷❼ p0 = 1 ✘ pa = 0 r✂➇✂➬✂➈ px =    ￾q p
x − ￾q p
a 1 − ￾q p
a , p 6= 1 2 ; 1 − x a , p = 1 2 ➮ a  x ❬✴✘❩➱✂▲➞ ➵✂✯✂➄✂✃❄✳✴✘❐➙ p = 1/2 ✘ px = 1 − x/a ≈ 1 ✘ ➞✂➠ ❀ ✿✂❽❋✂❒✂❮✂❰✂Ï✂➾✂➚✴✏ 2