4条件概率与乘法公式 先看两个例子 例41四个人打桥牌,记 A=东家拿到6张黑桃 B=西家拿到3张黑桃 对于P(A),P(B),这些都是很熟悉的。但是在叫牌的过程中,东家拿到6张 黑桃后,最关心的是同伴西家手中有几张黑桃。因此,计算一下在A发生的 前提下,B发生的概率,更有实际意义。这时西家拿到三张黑桃的概率是 Cc0/C) 将它记为P(BA),称为A发生的条件下,B的条件概率 例4.2某家庭有两个小孩,每一个小孩是男孩或女孩的概率相同,则 可知 P(该家有一男一女)=1/2 P(该家有一男一女至少有一个女孩)=2/3 在古典概型中,有下面的基本关系式(设P(A)≠0) P(BJA)=P(AB)/P(A) 设A发生的有利场合为m(A),A发生B也发生的有利场合为m(AB), 则可知 P(B A)=m(AB)/m(B)=P(AB)/P(A) 条件概率也是概率,它满足 (1)P(92A)=1 (2)P(BA)≥0; (3)B1互不相交,i=1,2,…,m,则P(∑=1B1)=P(A); 由条件概率公式变形可以得到下面的乘法公式: P(AB)=P(B)P(A B)=P(A)P(B A) 由归纳法可以得到下面的更一般的乘法公式 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2A1)P(A3|A1A2)…P(An|41A2…A1-1)Ch1 1 §4 ￾✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠ ✡✂☛✂☞✂✌✂✍✂✎✑✏ ✒ 4.1 ✓✌✂✔✂✕✂✖✂✗✑✘✚✙ A = ✛✂✜✂✢✂✣ 6 ✤✂✥✂✦✘ B = ✧✂✜✂✢✂✣ 3 ✤✂✥✂✦✏ ★✪✩ P(A) ✘ P(B) ✘✬✫✪✭✪✮✪✯✪✰✪✱✪✲✪✳✴✏✶✵✂✯✂✷✹✸✺✗✂✳✂✻✂✼✹✽✾✘ ✛✂✜✂✢✂✣ 6 ✤ ✥✪✦✪✿✘❁❀✪❂❄❃✂✳✂✯❆❅✺❇✧❄✜✂❈✽❊❉✂❋✤❄✥✂✦✏❍●✺■✴✘❑❏❄▲✂▼✂◆❄✷ A ❖✪P✳ ◗✂❘✂◆✑✘ B ❖✂P✳✂❙✂❚✑✘✚❯✂❉❄❱✂❲❄❳✂❨✴✏❩✫❄❬✧❄✜✂✢❄✣❄❭✂✤❄✥✂✦✳❄❙✂❚❄✯ C 3 7C 10 32 /C13 39 . ❪✂❫✂✙✂❴ P(B|A) ✘✚❵✂❴ A ❖✂P✳✂❛✂❜✂◆✑✘ B ✳✂❛✂❜✂❙✂❚✑✏ ✒ 4.2 ❝✂✜✂❞❉✂☞❄✌❄❡❣❢❤✘❥✐❣▼❄✌❄❡❣❢❄✯❣❦❄❢❣❧❄♠❣❢❄✳❄❙❣❚❄♥♦❅♣✘❥q r✂s P t✈✉✂✜❉✂▼✂❦✂▼✂♠♦✇ = 1/2 P t✈✉✂✜❉✂▼✂❦✂▼✂♠|①✂②❉✂▼✂✌✂♠✂❢♦✇ = 2/3 ✷✂③✂④✂❙✂⑤✹✽⑥✘✚❉✂◆❄⑦✂✳❄⑧❄⑨✂❂❄⑩✂❶ t❸❷ P(A) 6= 0 ✇❸❹ P(B|A) = P(AB)/P(A). ❷ A ❖✪P✳✪❉✪❺✪❻✪❼✂❴ m(A) ✘ A ❖✪P B ❽✪❖✪P✳✪❉✪❺✪❻✪❼✂❴ m(AB) ✘ qr✂s P(B|A) = m(AB)/m(B) = P(AB)/P(A). ❛✂❜✂❙✂❚❽ ✯✂❙✂❚✑✘✚❫❄❾❄❿❤❹ (1)P(Ω|A) = 1; (2)P(B|A) > 0; (3)Bi ➀✂➁♥✂➂✑✘ i =1 ✘ 2 ✘ · · · ✘ n ✘✚q P( Pn i=1 Bi) = P(A); ➃✺❛✂❜✂❙✂❚✂➄✂❶✂➅✂➆r✂➇❄➈✣◆❄⑦✂✳❄➉✂➊❄➄❄❶❤❹ P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A). ➃✺➋✂➌✂➊r✂➇✂➈✣◆✂⑦✂✳❄❯✂▼❄➍❄✳✂➉❄➊✂➄❄❶❤❹ P(A1A2 · · · An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)· · ·P(An|A1A2 · · · An−1). 1