·226 智能系统学报 第9卷 所以a∈pw(XnY)nQx(Y),从而pm(Xnpm(Y)-Qx(Y)。 Y)=p(X)∩pm(Y)-Qx(Y)。 所以Pm(X)UP(Y)=P(XUY)。 例1：设线性空间V是全体实数，定义它的加法 同理可得p.(X)∩Pm(Y)=p(XnY)。 运算为a①b=ab,乘法运算为a⑧b=a°。V的一 定理3设V是数域P上的线性空间，X、Y、Z 个线性子空间为W={-1,1},V中的2个子集X= 是V的任意子集，则有 {1,2,3,4,5}和Y={1,2,3,6}。求Px(Y),Qx(Y) 1)交换律： 并验证以上结论。 Pu(x)Up(Y)=pu(Y)Upu(x): 解：由定义可得 pw(X)∩pm(Y)=Pw(Y)∩pm(X)。 P(X)={2,3,4} 2)结合律： Pm(Y)={2) (pu(X)Up(Y))Upw(Z)= P(XU)={2,3,4,5} Pu(X)U(p(Y)Upw(Z)); (pu(x)np(Y))np(Z)= pm(X)={0,1,2,3,4,5,6) p(X)∩(Pm(Y)∩p(Z))。 pm(Y)={0,1,2,3,4,5,7} 3)分配律： pm(X∩)={0,1,2,3,4} P(x)U (p(Y)np(Z))= Px(Y)={5} (p(x)Up(Y))n(p(x)Up(Z)) Qx(Y)={5} Pm(X)∩(p(Y)UP(Z))= 所以P(XUY)=p(X)UP(Y)UPx(Y), (Pm(X)∩p(Y))U(Pm(X)∩pm(Z))。 pw(X∩Y)=pw(X)np(Y)-Qx(Y)。 4)幂等律： 3粗糙线性近似空间及其代数结构 Pw(X)Upu(X)=pu(X); P(X)∩P(X)=Pm(X)。 研究了基于同余关系的线性空间上下近似的性 5)0-1律： 质，并通过2个集合解决了信息丢失的问题，下面要 Pu(X)Upu(B)=pu(X): 讨论上下近似的代数结构。 Pm(X)∩p(V)=pm(X)。 定义6设V是数域P上的线性空间，X是V 6)互补律： 的任意子集，定义 pw(X)Upw(x-)=pu(V); Pw(X)=(pw(X).Pw(X)) Pm(X)∩pm(X)=Pm(O)。 定义7设V是数域P上的线性空间，X,Y是V 7)对偶律： 的任意子集，则粗糙线性空间的并、交、补、差运算定 (pu(x)Up(Y))=p(x)npu(Y); 义为： (Pm(X)∩pm(Y))=pm(X)UP(Y)。 证明： 1)pu(X)Up(Y)=(pu(x)U p(Y)U 1)由Px(Y)和Qx(Y)定义可以看出Px()= Px(Y).pu(X)Up(Y)): P(X),Qx(Y)=Q(X)。 2)pm(X)∩P(Y)=(p(X)∩pm(Y), 所以 pm(X)∩P(Y)-Qx(Y)); pu(x)Up(Y)=(pu(X)Up(Y)UPx(Y), 3)P(X1)=Pm(X)=(V-p(X),V- pu(X)Upu(Y))=(pu(Y)Up(X)UP:(X); Pw(X)); Pu(Y)Up(x))=pu(Y)Up(X), 4)pw(X)-Pw(Y)=(pw(X)-Pw(Y).Pw(X)- Pu(x)np(Y)=(pu(x)np(Y); P.(Y)-Qx(Y))。 pu(x)np(Y)-Qx())=(p(Y)np(x). 推论11)p(X)Up(Y)=Pm(XUY) pu(Y)npu(x)-Q(x))=P(Y)np(x). 2)P(x)np(Y)=p(xnY) 2)(pu(X)Upu(Y))Upu(Z)= 证明：由定义可得p(XUY)=(Pm(XUY), Pu(XUY)Up(Z)= p(XUY)),又由定理2可得p(XUY)= p((XUY)U Z)=(p((X UY)UZ) e(x)Ue(Y)U P(Y).p(x n Y)=pu(x)n pu((X UY)UZ))=(pu(XU(YU Z))所以 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∩ ＱＸ（Ｙ）， 从而 ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）。 例 １： 设线性空间 Ｖ 是全体实数，定义它的加法 运算为 ａ 􀱇 ｂ ＝ ａｂ， 乘法运算为 ａ 􀱋 ｂ ＝ ａ ｂ 。 Ｖ 的一 个线性子空间为 Ｗ ＝ { － １，１} ， Ｖ 中的 ２ 个子集 Ｘ ＝ {１，２，３，４，５} 和 Ｙ ＝ {１，２，３，６} 。 求 ＰＸ（Ｙ），ＱＸ（Ｙ） 并验证以上结论。 解：由定义可得 ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ {２，３，４} ρ － Ｗ（Ｙ） ＝ {２} ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ {２，３，４，５} ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ {０，１，２，３，４，５，６} ρ － Ｗ（Ｙ） ＝ {０，１，２，３，４，５，７} ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ {０，１，２，３，４} ＰＸ（Ｙ） ＝ {５} ＱＸ（Ｙ） ＝ {５} 所以 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）。 ３ 粗糙线性近似空间及其代数结构 研究了基于同余关系的线性空间上下近似的性 质，并通过 ２ 个集合解决了信息丢失的问题，下面要 讨论上下近似的代数结构。 定义 ６ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ 是 Ｖ 的任意子集，定义 ρＷ（Ｘ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ），ρ － Ｗ（Ｘ）） 定义 ７ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ，Ｙ 是 Ｖ 的任意子集，则粗糙线性空间的并、交、补、差运算定 义为： １） ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ），ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ））； ２ ） ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ））； ３ ） ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ （Ｘ） ⊥ ＝ （Ｖ － ρ － Ｗ（Ｘ），Ｖ － ρ － Ｗ（Ｘ））； ４） ρＷ（Ｘ） － ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） － ρ － Ｗ（Ｙ），ρ － Ｗ（Ｘ） － ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ ⊥ ））。 推论 １ １） ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ） ２） ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｙ） 证明：由定义可得 ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ））， 又 由 定 理 ２ 可 得 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ），ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）。 所以 ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ）。 同理可得 ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｙ）。 定理 ３ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ、Ｙ、Ｚ 是 Ｖ 的任意子集，则有 １）交换律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ）。 ２）结合律： （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∪ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ） ∪ （ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ））； （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ∩ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ） ∩ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｚ））。 ３）分配律： ρＷ（Ｘ） ∪ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｚ）） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∩ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｚ））； ρＷ（Ｘ） ∩ （ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ）） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ∪ （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｚ））。 ４）幂等律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ）。 ５）０－１ 律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（⌀） ＝ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｖ） ＝ ρＷ（Ｘ）。 ６）互补律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（Ｖ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（⌀）。 ７）对偶律： （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ⊥ ＝ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ）； （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ⊥ ＝ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∪ ρＷ（Ｙ ⊥ ）。 证明： １）由 ＰＸ（Ｙ） 和 ＱＸ（Ｙ） 定义可以看出 ＰＸ（Ｙ） ＝ ＰＹ（Ｘ），ＱＸ（Ｙ） ＝ ＱＹ（Ｘ）。 所以 ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ＰＹ（Ｘ）； ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ρ － Ｗ（Ｘ）） ＝ ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｘ）， ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）； ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｙ） ∩ ρ － Ｗ（Ｘ）， ρ － Ｗ（Ｙ） ∩ ρ － Ｗ（Ｘ） － ＱＹ（Ｘ）） ＝ ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ）。 ２） （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∪ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ Ｚ） ＝ （ρ － Ｗ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ Ｚ） ρ － Ｗ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ Ｚ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∪ （Ｙ ∪ Ｚ）） ·２２６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷