第9卷第2期 智能系统学报 Vol.9 No.2 2014年4月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Apr.2014 D01:10.3969/i.issn.1673-4785.201307016 网络出版地址：http://www.cmki.net/kcms/doi/CNKI:23-1538/TP.20131105.1201.002.html 粗糙线性近似空间的代数结构 刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，陈艳艳 (西安工程大学理学院，陕西西安710048) 摘要：针对线性空间上引入上下近似算子后的代数结构的刻画问题，根据基于同余关系的线性空间上下近似的性 质，提出2个新的集合，分别对上近似的并和下近似的交的包含关系进行了改进，得出了集合交的上近似、集合并的 下近似的等式刻画。进而，定义引入粗糙线性近似空间的概念，并在其上引入交、并、补的运算，得出粗糙线性近似 空间在运算下构成了布尔代数的结论，丰富了线性空间与粗糙集理论相结合的研究。 关键词：粗糙线性近似空间：线性子空间：同余：上下近似：布尔代数：代数结构 中图分类号：TP18:B815文献标志码：A文章编号：1673-4785(2014)02-0224-05 中文引用格式：刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，等.粗糙线性近似空间的代数结构[J].智能系统学报，2014,9(2)：224-228 英文引用格式：LIU Yamei,,MA Yingcang,LU Wenxia,etal.The algebraic structure of rough linear approximation space[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems,2014,9(2):224-228. The algebraic structure of rough linear approximation space LIU Yamei,MA Yingcang,LU Wenxia,CHEN Yanyan (School of Science,Xi'an Polytechnic University,Xi'an 710048,China) Abstract:Focusing on the description of the algebraic structure on the upper (lower)approximation,and according to the properties of the upper(lower)approximation in rough linear space,two new sets are presented,and the in- clusion relation of the upper approximation's union and the lower approximation's intersection are improved,deri- ving the equation expressions of the upper approximation's union and the lower approximation's intersection.More- over,the rough linear approximation space is proposed and the intersection,union and complementary operations are introduced in the rough linear approximation space.Finally,it has been proven that the rough linear approxima- tion space is Boolean algebra on the intersection,union and complementary operations.This paper enriches the combination of linear space and rough set research. Keywords:rough linear approximation space;linear subspace;congruence;upper and lower approximation;Bool- ean algebra;algebraic structure 粗糙集理论于1982年被Pawlak)提出以来，统[24。公理化方法就是先给定一个粗糙集代数系 已经取得很大的发展。特别是在数据的决策与分 统，然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性 析、模式识别、数据挖掘、机器学习与知识发现等方 方法定义的近似算子及导出的粗糙集代数系统就是 面。在粗糙集理论中有2种方式来定义近似算子： 给定的近似算子和粗糙集代数系统5。基于这2 构造性方法和公理化方法。构造性方法是以论域上 种方法，在代数结构方面，不少学者做出了一些研究 的二元关系、邻域系统或布尔子代数作为基本要素 并提出了许多新的概念，如粗糙群o]、粗糙子 构造性地定义近似算子，然后得出粗糙集代数系 群[山、粗糙不变子群[2]等。在线性空间方面，日 本学者N.Kuroki[14]研究了线性空间上粗糙集的性 收稿日期：2013-07-05.网络出版日期：2013-11-05. 质，提出了在线性空间上的等价关系以及上下近似 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60775038)：陕西省教育厅专 算子。国内学者WJ.Liu【s16、吴明芬等也研究 项科研计划资助项目(12JK0878). 通信作者：马盈仓.E-mail:mayingcang(@126.com. 了粗糙线性空间的性质并联系线性空间本身的性质
第 ９ 卷第 ２ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．９ №．２ ２０１４ 年 ４ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｐｒ． ２０１４ ＤＯＩ：１０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１３０７０１６ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｏｉ ／ ＣＮＫＩ：２３⁃１５３８ ／ ＴＰ．２０１３１１０５．１２０１．００２．ｈｔｍｌ 粗糙线性近似空间的代数结构 刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，陈艳艳 （西安工程大学 理学院，陕西 西安 ７１００４８） 摘 要：针对线性空间上引入上下近似算子后的代数结构的刻画问题，根据基于同余关系的线性空间上下近似的性 质，提出 ２ 个新的集合，分别对上近似的并和下近似的交的包含关系进行了改进，得出了集合交的上近似、集合并的 下近似的等式刻画。 进而，定义引入粗糙线性近似空间的概念，并在其上引入交、并、补的运算，得出粗糙线性近似 空间在运算下构成了布尔代数的结论，丰富了线性空间与粗糙集理论相结合的研究。 关键词：粗糙线性近似空间；线性子空间；同余；上下近似；布尔代数； 代数结构 中图分类号： ＴＰ１８；Ｂ８１５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１４）０２⁃０２２４⁃０５ 中文引用格式：刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，等． 粗糙线性近似空间的代数结构［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（２）： ２２４⁃２２８． 英文引用格式：ＬＩＵ Ｙａｍｅｉ， ＭＡ Ｙｉｎｇｃａｎｇ， ＬＵ Ｗｅｎｘｉａ， ｅｔ ａｌ． Ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９（２）： ２２４⁃２２８． Ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ＬＩＵ Ｙａｍｅｉ， ＭＡ Ｙｉｎｇｃａｎｇ， ＬＵ Ｗｅｎｘｉａ， ＣＨＥＮ Ｙａｎｙａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｘｉ’ａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４８， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｃｕｓｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｎ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ （ｌｏｗｅｒ） ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ａｎｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ （ｌｏｗｅｒ） ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ， ｔｗｏ ｎｅｗ ｓｅｔｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ， ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎ⁃ ｃｌｕｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ’ｓ ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ＇ｓ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ， ｄｅｒｉ⁃ ｖｉｎｇ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ’ｓ ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ＇ｓ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ． Ｍｏｒｅ⁃ ｏｖｅｒ， ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ， ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｉｔ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａ⁃ ｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ｉｓ Ｂｏｏｌｅａｎ ａｌｇｅｂｒａ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ， ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｅｎｒｉｃｈｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｒｅｓｅａｒｃｈ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ； ｌｉｎｅａｒ ｓｕｂｓｐａｃｅ； ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ； ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ； Ｂｏｏｌ⁃ ｅａｎ ａｌｇｅｂｒａ； ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ 收稿日期：２０１３⁃０７⁃０５． 网络出版日期：２０１３⁃１１⁃０５． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０７７５０３８）；陕西省教育厅专 项科研计划资助项目（１２ＪＫ０８７８）． 通信作者：马盈仓． Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｍａｙｉｎｇｃａｎｇ＠ １２６．ｃｏｍ． 粗糙集理论于 １９８２ 年被 Ｐａｗｌａｋ ［１］ 提出以来， 已经取得很大的发展。 特别是在数据的决策与分 析、模式识别、数据挖掘、机器学习与知识发现等方 面。 在粗糙集理论中有 ２ 种方式来定义近似算子： 构造性方法和公理化方法。 构造性方法是以论域上 的二元关系、邻域系统或布尔子代数作为基本要素 构造性地定义近似算子，然后得出粗糙集代数系 统［２⁃４］ 。 公理化方法就是先给定一个粗糙集代数系 统，然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性 方法定义的近似算子及导出的粗糙集代数系统就是 给定的近似算子和粗糙集代数系统［５⁃９］ 。 基于这 ２ 种方法，在代数结构方面，不少学者做出了一些研究 并提出 了 许 多 新 的 概 念， 如 粗 糙 群［１０］ 、 粗 糙 子 群［１１］ 、粗糙不变子群［１２⁃１３］ 等。 在线性空间方面，日 本学者 Ｎ． Ｋｕｒｏｋｉ ［１４］研究了线性空间上粗糙集的性 质，提出了在线性空间上的等价关系以及上下近似 算子。 国内学者 Ｗ．Ｊ．Ｌｉｕ ［１５⁃１６］ 、吴明芬［１７］ 等也研究 了粗糙线性空间的性质并联系线性空间本身的性质
第2期 刘亚梅，等：粗糙线性近似空间的代数结构 ·225· 研究更深入的性质，同时还把粗糙集引入了线性空 2 集合的交（并）的上（下）近似的等 间和模糊线性空间中。本文就是在文献[17]基础 式刻画 上，结合模糊逻辑及其代数分析18)的有关概念，以 由性质2中的5)、6)可以看出，在线性空间中 及H.G.Zhang19)对经典粗糙集上信息丢失问题的提 交的上近似、并的下近似并不是等式刻画，存在信息 出的方法，根据上下近似算子的性质提出了2个集 丢失的问题。在本节中，主要解决这一问题，为此引 合，使信息丢失的问题得到解决，并建立基于布尔代 入以下定义： 数的粗糙线性近似空间模型。 定义5设V是数域P上的线性空间，W是V 1基本概念 的一个子空间，X,Y是V的2个子集，记 Px(Y)= 定义1]设V是数域P上的线性空间，X、Y {apw(a)SXUY且p(a)tX,pm(a)￠Y}; 是V上的非空子集，k是数域P上的任意元素，定义 Qx(Y)={alpm(a)n(XnY)=☑， 集合的和与数乘为： 且pm(a)nX≠☑，p(a)nY≠}。 X+Y={a=a1+a2a1∈X,a2∈Y) 定理2： kX={kaa∈X} 1)P(xUY)=Pu(X)Up(Y)UP(Y) 定义2n)设线性空间V上一个等价关系p, 2)pm(X∩Y)=pm(X)∩pw(Y)-Qx(Y) 若对Ha,B∈V,有(a,B)∈p,(a+Y,a+y)∈p, 证明：1)对a∈Pm(XUY),有pm(a)S (ka,邮)∈p,Hy∈V,k∈P。则称p为V上的一 XUY。 个同余关系。 定义3)]设W是线性空间上V的一个子空 若p(a)SX或p(a)SY,则有a∈Pm(X), 间，定义一个二元关系Pw: 或a∈pm(Y),则a∈Pm(X)UPm(Y)UPx(Y)。 Pw={(a,B)la,B E V,a-BE W) 若pw(a)tX且p(a)￠Y,则a∈Px(Y),所以 定理1)设W是线性空间V的子空间，则下 a Ep(x)Up(Y)UPx(Y). 面结论成立： 因此有Pm(XUY)CPm(X)UP(Y)U 1)Pm是V上的一个同余关系 Px(Y)。 2)Ha∈V,同余类[am=a+W则可将 对Ha∈P(X)UPm(Y)UPx(Y),有 [a]m记为p(a)。V/pg={pm(a)|Hae}是 a∈p(X)或a∈pn()或aePx(Y)。 全体同余类的集合。 若a∈p(X),则有a∈pm(XUY),若a∈ 性质1mp(a)+pm(B)=Pm(a+B) P(Y),则有a∈p(XU),若a∈P(Y),则 pu(ka)=kpu(a) 定义4)]设V是数域P上的线性空间，W是 pm(a)CXUY,则有a∈Pm(XUY)。 V的线性子空间，X是V上的任意一个非空子集，定 所以P(X)Upm(Y)UPx(Y)EPm(XUY), 义X在W上关于Pm的上、下近似分别为： 即pw(XUY)=Pm(X)UPr(Y)。 Pr(X)={a∈Vlpm(a)SX} 2)此命题等价为 Pw(X)={a∈Vlpm(a)nX≠O} pw(X∩Y)UQx(Y)=pm(X)∩pm(Y) 性质2)]设V是数域P上的线性空间，W是 对Ha∈pm(XnY)UQx(Y),有a∈p(X∩Y) V的线性子空间，X,Y是V上的非空子集，则有： 或a∈Qx(Y)。 1)pu(X)XCP(X) 若aepm(XnY),则有a∈p.(X)np(Y), 若a∈Qx(Y),则有p(a)nX≠0且pm(a)n 2)p(XUY)=p(x)Upu(Y); Y≠O,所以a∈pm(X)且&∈p.(Y),则a∈ 3)pw(xn Y)=pw(x)npu(Y); pm(X)∩pm(Y)。对a∈pw(X)∩p(Y),则有 4)若XCY,则有pm(X)SP(Y), aepm(X)且aepm(Y),即p(a)nX≠O且 Pwnspu(Y): pw(a)nY≠☑。 5)p(XUY)2p(X)Up(Y); 若pw(a)n(XnY)≠，则有a∈Pm(Xn 6)p(xnY)p(x)np(Y). Y);若p(a)∩(XnY)=☑，则a∈Qx(Y)
研究更深入的性质，同时还把粗糙集引入了线性空 间和模糊线性空间中。 本文就是在文献［１７］ 基础 上，结合模糊逻辑及其代数分析［１８］ 的有关概念，以 及 Ｈ．Ｇ．Ｚｈａｎｇ ［１９］对经典粗糙集上信息丢失问题的提 出的方法，根据上下近似算子的性质提出了 ２ 个集 合，使信息丢失的问题得到解决，并建立基于布尔代 数的粗糙线性近似空间模型。 １ 基本概念 定义 １ ［１７］ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ、Ｙ 是 Ｖ 上的非空子集，ｋ 是数域 Ｐ 上的任意元素，定义 集合的和与数乘为： Ｘ ＋ Ｙ ＝ α ＝ α１ { ＋ α２ α１ ∈ Ｘ，α２ ∈ Ｙ} ｋＸ ＝ {ｋα α ∈ Ｘ} 定义 ２ ［１７］ 设线性空间 Ｖ 上一个等价关系 ρ， 若对 ∀α，β ∈ Ｖ， 有 （α，β） ∈ ρ，（α ＋ γ，α ＋ γ） ∈ ρ， （ｋα，ｋβ） ∈ ρ，∀γ ∈ Ｖ，ｋ ∈ Ｐ。 则称 ρ 为 Ｖ 上的一 个同余关系。 定义 ３ ［１７］ 设 Ｗ 是线性空间上 Ｖ 的一个子空 间，定义一个二元关系 ρＷ ： ρＷ ＝ {（α，β） α，β ∈ Ｖ，α － β ∈ Ｗ} 定理 １ ［１７］ 设 Ｗ 是线性空间 Ｖ 的子空间，则下 面结论成立： １） ρＷ 是 Ｖ 上的一个同余关系 ２） ∀α ∈ Ｖ， 同余类 [α] ρＷ ＝ α ＋ Ｗ 则可将 [α] ρＷ 记为 ρＷ（α）。 Ｖ ／ ρＷ ＝ ρ{ Ｗ（α） ∀α ∈ Ｖ} 是 全体同余类的集合。 性质 １ ［１７］ ρＷ（α） ＋ ρＷ（β） ＝ ρＷ（α ＋ β） ρＷ（ｋα） ＝ ｋρＷ（α） 定义 ４ ［１７］ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｗ 是 Ｖ 的线性子空间，Ｘ 是 Ｖ 上的任意一个非空子集，定 义 Ｘ 在 Ｗ 上关于 ρＷ 的上、下近似分别为： ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ α ∈ Ｖ ρ { Ｗ（α） ⊆ Ｘ} ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ α ∈ Ｖ ρ { Ｗ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀} 性质 ２ ［１７］ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｗ 是 Ｖ 的线性子空间，Ｘ，Ｙ 是 Ｖ 上的非空子集，则有： １） ρ － Ｗ（Ｘ） ⊆ Ｘ ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ）； ２） ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）； ３） ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）； ４ ） 若 Ｘ ⊆ Ｙ， 则 有 ρ － Ｗ（Ｘ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｙ） ， ρ － Ｗ（Ｘ）⊆ρ － Ｗ（Ｙ）； ５） ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ⊇ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）； ６） ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）。 ２ 集合的交（并）的上（下）近似的等 式刻画 由性质 ２ 中的 ５）、６）可以看出，在线性空间中 交的上近似、并的下近似并不是等式刻画，存在信息 丢失的问题。 在本节中，主要解决这一问题，为此引 入以下定义： 定义 ５ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｗ 是 Ｖ 的一个子空间，Ｘ，Ｙ 是 Ｖ 的 ２ 个子集，记 ＰＸ（Ｙ） ＝ α ρＷ（α） ⊆ Ｘ ∪ Ｙ且 ρＷ（α） ⊄ Ｘ，ρ { Ｗ（α） ⊄ Ｙ} ； ＱＸ（Ｙ） ＝ α ρ { Ｗ（α） ∩ （Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ⌀， 且 ρＷ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀，ρＷ（α） ∩ Ｙ ≠ ⌀} 。 定理 ２： １） ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ） ２） ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ） 证明：１） 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ，有 ρＷ（α） ⊆ Ｘ ∪Ｙ。 若 ρＷ（α） ⊆ Ｘ 或 ρＷ（α） ⊆ Ｙ， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ）， 或 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）。 若 ρＷ（α） ⊄ Ｘ 且 ρＷ（α） ⊄ Ｙ， 则 α ∈ ＰＸ（Ｙ）， 所以 α ∈ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）。 因此 有 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）。 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）， 有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） 或 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ） 或 α ∈ ＰＸ（Ｙ）。 若 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， 若 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， 若 α ∈ ＰＸ（Ｙ）， 则 ρＷ（α） ⊆ Ｘ ∪ Ｙ， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）。 所以 ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， 即 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）。 ２） 此命题等价为 ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ ＱＸ（Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ ＱＸ（Ｙ）， 有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） 或 α ∈ ＱＸ（Ｙ）。 若 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）， 若 α ∈ ＱＸ（Ｙ）， 则有 ρＷ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀ 且 ρＷ（α） ∩ Ｙ ≠⌀， 所以 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） 且 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）。 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） 且 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 即 ρＷ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀ 且 ρＷ（α） ∩ Ｙ ≠ ⌀。 若 ρＷ（α） ∩ （Ｘ ∩ Ｙ） ≠ ⌀， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ）； 若 ρＷ（α） ∩ （Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ⌀， 则 α ∈ ＱＸ（Ｙ）。 第 ２ 期 刘亚梅，等：粗糙线性近似空间的代数结构 ·２２５·
·226 智能系统学报 第9卷 所以a∈pw(XnY)nQx(Y),从而pm(Xnpm(Y)-Qx(Y)。 Y)=p(X)∩pm(Y)-Qx(Y)。 所以Pm(X)UP(Y)=P(XUY)。 例1：设线性空间V是全体实数，定义它的加法 同理可得p.(X)∩Pm(Y)=p(XnY)。 运算为a①b=ab,乘法运算为a⑧b=a°。V的一 定理3设V是数域P上的线性空间，X、Y、Z 个线性子空间为W={-1,1},V中的2个子集X= 是V的任意子集，则有 {1,2,3,4,5}和Y={1,2,3,6}。求Px(Y),Qx(Y) 1)交换律： 并验证以上结论。 Pu(x)Up(Y)=pu(Y)Upu(x): 解：由定义可得 pw(X)∩pm(Y)=Pw(Y)∩pm(X)。 P(X)={2,3,4} 2)结合律： Pm(Y)={2) (pu(X)Up(Y))Upw(Z)= P(XU)={2,3,4,5} Pu(X)U(p(Y)Upw(Z)); (pu(x)np(Y))np(Z)= pm(X)={0,1,2,3,4,5,6) p(X)∩(Pm(Y)∩p(Z))。 pm(Y)={0,1,2,3,4,5,7} 3)分配律： pm(X∩)={0,1,2,3,4} P(x)U (p(Y)np(Z))= Px(Y)={5} (p(x)Up(Y))n(p(x)Up(Z)) Qx(Y)={5} Pm(X)∩(p(Y)UP(Z))= 所以P(XUY)=p(X)UP(Y)UPx(Y), (Pm(X)∩p(Y))U(Pm(X)∩pm(Z))。 pw(X∩Y)=pw(X)np(Y)-Qx(Y)。 4)幂等律： 3粗糙线性近似空间及其代数结构 Pw(X)Upu(X)=pu(X); P(X)∩P(X)=Pm(X)。 研究了基于同余关系的线性空间上下近似的性 5)0-1律： 质，并通过2个集合解决了信息丢失的问题，下面要 Pu(X)Upu(B)=pu(X): 讨论上下近似的代数结构。 Pm(X)∩p(V)=pm(X)。 定义6设V是数域P上的线性空间，X是V 6)互补律： 的任意子集，定义 pw(X)Upw(x-)=pu(V); Pw(X)=(pw(X).Pw(X)) Pm(X)∩pm(X)=Pm(O)。 定义7设V是数域P上的线性空间，X,Y是V 7)对偶律： 的任意子集，则粗糙线性空间的并、交、补、差运算定 (pu(x)Up(Y))=p(x)npu(Y); 义为： (Pm(X)∩pm(Y))=pm(X)UP(Y)。 证明： 1)pu(X)Up(Y)=(pu(x)U p(Y)U 1)由Px(Y)和Qx(Y)定义可以看出Px()= Px(Y).pu(X)Up(Y)): P(X),Qx(Y)=Q(X)。 2)pm(X)∩P(Y)=(p(X)∩pm(Y), 所以 pm(X)∩P(Y)-Qx(Y)); pu(x)Up(Y)=(pu(X)Up(Y)UPx(Y), 3)P(X1)=Pm(X)=(V-p(X),V- pu(X)Upu(Y))=(pu(Y)Up(X)UP:(X); Pw(X)); Pu(Y)Up(x))=pu(Y)Up(X), 4)pw(X)-Pw(Y)=(pw(X)-Pw(Y).Pw(X)- Pu(x)np(Y)=(pu(x)np(Y); P.(Y)-Qx(Y))。 pu(x)np(Y)-Qx())=(p(Y)np(x). 推论11)p(X)Up(Y)=Pm(XUY) pu(Y)npu(x)-Q(x))=P(Y)np(x). 2)P(x)np(Y)=p(xnY) 2)(pu(X)Upu(Y))Upu(Z)= 证明：由定义可得p(XUY)=(Pm(XUY), Pu(XUY)Up(Z)= p(XUY)),又由定理2可得p(XUY)= p((XUY)U Z)=(p((X UY)UZ) e(x)Ue(Y)U P(Y).p(x n Y)=pu(x)n pu((X UY)UZ))=(pu(XU(YU Z))
所以 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∩ ＱＸ（Ｙ）， 从而 ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）。 例 １： 设线性空间 Ｖ 是全体实数，定义它的加法 运算为 ａ ｂ ＝ ａｂ， 乘法运算为 ａ ｂ ＝ ａ ｂ 。 Ｖ 的一 个线性子空间为 Ｗ ＝ { － １，１} ， Ｖ 中的 ２ 个子集 Ｘ ＝ {１，２，３，４，５} 和 Ｙ ＝ {１，２，３，６} 。 求 ＰＸ（Ｙ），ＱＸ（Ｙ） 并验证以上结论。 解：由定义可得 ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ {２，３，４} ρ － Ｗ（Ｙ） ＝ {２} ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ {２，３，４，５} ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ {０，１，２，３，４，５，６} ρ － Ｗ（Ｙ） ＝ {０，１，２，３，４，５，７} ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ {０，１，２，３，４} ＰＸ（Ｙ） ＝ {５} ＱＸ（Ｙ） ＝ {５} 所以 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）。 ３ 粗糙线性近似空间及其代数结构 研究了基于同余关系的线性空间上下近似的性 质，并通过 ２ 个集合解决了信息丢失的问题，下面要 讨论上下近似的代数结构。 定义 ６ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ 是 Ｖ 的任意子集，定义 ρＷ（Ｘ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ），ρ － Ｗ（Ｘ）） 定义 ７ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ，Ｙ 是 Ｖ 的任意子集，则粗糙线性空间的并、交、补、差运算定 义为： １） ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ），ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ））； ２ ） ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ））； ３ ） ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ （Ｘ） ⊥ ＝ （Ｖ － ρ － Ｗ（Ｘ），Ｖ － ρ － Ｗ（Ｘ））； ４） ρＷ（Ｘ） － ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） － ρ － Ｗ（Ｙ），ρ － Ｗ（Ｘ） － ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ ⊥ ））。 推论 １ １） ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ） ２） ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｙ） 证明：由定义可得 ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ））， 又 由 定 理 ２ 可 得 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ），ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）。 所以 ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ）。 同理可得 ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｙ）。 定理 ３ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ、Ｙ、Ｚ 是 Ｖ 的任意子集，则有 １）交换律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ）。 ２）结合律： （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∪ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ） ∪ （ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ））； （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ∩ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ） ∩ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｚ））。 ３）分配律： ρＷ（Ｘ） ∪ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｚ）） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∩ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｚ））； ρＷ（Ｘ） ∩ （ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ）） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ∪ （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｚ））。 ４）幂等律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ）。 ５）０－１ 律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（⌀） ＝ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｖ） ＝ ρＷ（Ｘ）。 ６）互补律： ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（Ｖ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（⌀）。 ７）对偶律： （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ⊥ ＝ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ）； （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ⊥ ＝ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∪ ρＷ（Ｙ ⊥ ）。 证明： １）由 ＰＸ（Ｙ） 和 ＱＸ（Ｙ） 定义可以看出 ＰＸ（Ｙ） ＝ ＰＹ（Ｘ），ＱＸ（Ｙ） ＝ ＱＹ（Ｘ）。 所以 ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）， ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ＰＹ（Ｘ）； ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ρ － Ｗ（Ｘ）） ＝ ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｘ）， ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）； ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｙ） ∩ ρ － Ｗ（Ｘ）， ρ － Ｗ（Ｙ） ∩ ρ － Ｗ（Ｘ） － ＱＹ（Ｘ）） ＝ ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ）。 ２） （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∪ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ Ｚ） ＝ （ρ － Ｗ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ Ｚ） ρ － Ｗ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∪ Ｚ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∪ （Ｙ ∪ Ｚ）） ·２２６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第2期 刘亚梅，等：粗糙线性近似空间的代数结构 ·227. p(xU(YU Z)))= [(p(x)Up(Y))npu(x)]np(Y)= (p(x)UP(YU Z)UP(YUZ) [(pu(x)npu(x))U(p(Y)np(x))]n p(x)Up(YUZ))= P(Y)=[U(p(Y)np(x))]n Pu(x)U (pu(Y)Upa(Z)) er(Y)=p(Y)np(x-)ne(Y-)= (pu(x)np(Y))npu(Z)= p(B)nR(x-)=R(), P(xnY)np(Z)= (p(x)Up(Y))U(pu(x)np(Y))= Pm((XnY)∩Z)=(pw((X∩Y)nZ), (p(X)Upu(Y)Upu(X))n p((X∩Y)nZ)=(pm(Xn(Y∩Z)), (p(x)Up(Y)Up(Y))= p.(X∩(Y∩Z))=(P(X)np(YnZ), (p(v)Up(Y))n(p(v)Up(x))= Pm()∩p(V)=p()。 pm(X)np(Y∩Z)-Qx(Y∩Z))= 所以(p(X)UPm(Y))'=p(X)npm(Y)。 Pm(X)∩(pm(Y)∩pm(Z))o 同理可证(Pm(X)np(Y)士=P(X)U 3)p(x)U(pu(Y)npu(Z))= Pm(X)Up(Y∩Z)=Pm((X)U(Y∩Z))= Pm(Y)。 定义8：设V是数域P上的线性空间，设(V, (e(xU (Yn z)), Pm)为粗糙线性空间，对XCV,定义P(X)= p(xU(Yn Z)))= (Pm(X),Pm(X)为(V,Pm)上的一个Rough集。 (p((XUY)n (X U Z)), 定义F={(V,Pm(X))|XC仍，称其为粗糙线性 P((xUY)n(XUZ)))= 近似空间。其上的运算定义如下： (p(XUY)np(X U Z), (xp(x))U(Ypu(Y))=(XUYpu(XUY)) p(XUY)np(XUZ)-0x(XUZ))= (Xp(x))n(Yp())=(xnrp(xnr)) P(XUY)np(XUZ)= (X,Pm(X))=(X,P(X4)) (p(X)Up(Y))n (p(x)Upu(Z)), 0=(pw(),Pw()),1=(p(V),Pm()。 pu(x)n(p(Y)Upu(Z))= 由以上分析可得出如下定理： P(X)∩P(YUZ)= 定理4代数系统(F,U,∩，上，0,1)为布尔 p(x)n(YUZ)=(p(xn(YUZ)), 代数。 p(xn (YUZ)))= 4 结束语 (P((xn r)U (x n z)), 粗糙集与代数系统的结合研究是粗糙集理论研 P((xnY)U(xnz))) 究热点之一，把粗糙集与线性空间结合研究具有重 (pu(x nY)Up(x n z)U Px(x n z), 要的理论意义。在本文中，根据线性空间中集合关 pm(XnY)Upw(X∩Z))= 于同余关系的上下近似的性质，提出了2个集合以 P(xnY)Up(xnz)= 解决线性空间中信息丢失的问题，通过对上近似的 (p(x)np(Y))U(p(x)npu(z)). 交和下近似的并的等式的刻画，同时研究了粗糙线 4)Pw(X)Upw(X)=pw(XUX)=Pw(X): 性近似空间中上下近似的代数结构并证明了其构成 P(X)∩Pm(X)=P.(X∩X)=Pm(X)。 了布尔代数。接下来将对此代数结构进行进一步的 5)pu(X)Up(B)=pu(XUB)=pu(X); 研究。但本文缺乏实际应用，未来将对上下近似的 Pw(X)∩pw(V)=pw(X∩)=pm(X)。 代数结构和实际应用做进一步的研究。 6)pu(x)Upu(x-)=p(XUX-)=pu(V); p(X)∩P(X)=P.(XnX)=pm()。 参考文献： 7)要证(P(X)UP(Y)上=P(X+）n [1]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Com- p(Y),只需证(p(X)Up.(Y))∩(P(X)n puter and Information Science,1982,11:341-356. [2]WU W Z,MI J S,ZHANG W X.Generalized fuzzy rough p(Y)=p(0)。 sets[J].Information Sciences,2003,151:263-282. (pu(x)Upu())U(pu(x)np(Y-))=pu(V), [3]WU W Z,ZHANG W X.Constructive and axiomatic ap- (p(x)Upu(Y))n(pu(x)np(Y))= proaches of fuzzy approximation operators[].Information
ρ － Ｗ（Ｘ ∪ （Ｙ ∪ Ｚ））） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ ∪ Ｚ） ∪ ＰＸ（Ｙ ∪ Ｚ） ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ ∪ Ｚ）） ＝ ρＷ（Ｘ） ∪ （ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ）） （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ∩ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｙ） ∩ ρＷ（Ｚ） ＝ ρＷ（（Ｘ ∩ Ｙ） ∩ Ｚ） ＝ （ρ － Ｗ（（Ｘ ∩ Ｙ） ∩ Ｚ）， ρ － Ｗ（（Ｘ ∩ Ｙ） ∩ Ｚ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∩ （Ｙ ∩ Ｚ））， ρ － Ｗ（Ｘ ∩ （Ｙ ∩ Ｚ））） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ ∩ Ｚ） ， ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ ∩ Ｚ） － ＱＸ（Ｙ ∩ Ｚ）） ＝ ρＷ（Ｘ） ∩ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｚ））。 ３） ρＷ（Ｘ） ∪ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｚ）） ＝ ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ ∩ Ｚ） ＝ ρＷ（（Ｘ） ∪ （Ｙ ∩ Ｚ）） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∪ （Ｙ ∩ Ｚ））， ρ － Ｗ（Ｘ ∪ （Ｙ ∩ Ｚ））） ＝ （ρ － Ｗ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∩ （Ｘ ∪ Ｚ））， ρ － Ｗ（（Ｘ ∪ Ｙ） ∩ （Ｘ ∪ Ｚ））） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ∩ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｚ）， ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ∩ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｚ） － ＱＸ＋Ｙ（Ｘ ∪ Ｚ）） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ ∪ Ｚ） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∩ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｚ））， ρＷ（Ｘ） ∩ （ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｚ）） ＝ ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ ∪ Ｚ） ＝ ρＷ（Ｘ） ∩ （Ｙ ∪ Ｚ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∩ （Ｙ ∪ Ｚ））， ρ － Ｗ（Ｘ ∩ （Ｙ ∪ Ｚ））） ＝ （ρ － Ｗ（（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ （Ｘ ∩ Ｚ））， ρ － Ｗ（（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ （Ｘ ∩ Ｚ））） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｚ） ∪ ＰＸ∩Ｙ（Ｘ ∩ Ｚ）， ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｚ）） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ ρＷ（Ｘ ∩ Ｚ） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ∪ （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｚ））。 ４） ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｘ） ＝ ρＷ（Ｘ）。 ５） ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（⌀） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ ⌀） ＝ ρＷ（Ｘ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｖ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｖ） ＝ ρＷ（Ｘ）。 ６） ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（Ｘ ∪ Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（Ｖ）； ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（Ｘ ∩ Ｘ ⊥ ） ＝ ρＷ（⌀）。 ７） 要 证 （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ⊥ ＝ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ），只需证（ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∩ （ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ）） ＝ ρＷ（⌀）。 （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∪ （ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ）） ＝ ρＷ（Ｖ）， （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∩ （ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ）） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ [ ） ] ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ ）） ∪ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ [ ）） ] ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ） ＝ ⌀ ∪ （ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ [ ）） ] ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ） ＝ ρＷ（Ｙ） ∩ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ） ＝ ρＷ（⌀） ∩ Ｒ（Ｘ ⊥ ） ＝ Ｒ（⌀）， （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∪ （ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ）） ＝ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｘ ⊥ ）） ∩ （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ） ∪ ρＷ（Ｙ ⊥ ）） ＝ （ρＷ（Ｖ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ∩ （ρＷ（Ｖ） ∪ ρＷ（Ｘ）） ＝ ρＷ（Ｖ） ∩ ρＷ（Ｖ） ＝ ρＷ（Ｖ）。 所以 （ρＷ（Ｘ） ∪ ρＷ（Ｙ）） ⊥ ＝ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∩ ρＷ（Ｙ ⊥ ）。 同理 可 证 （ρＷ（Ｘ） ∩ ρＷ（Ｙ）） ⊥ ＝ ρＷ（Ｘ ⊥ ） ∪ ρＷ（Ｙ ⊥ ）。 定义 ８： 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间， 设 （Ｖ， ρＷ ） 为粗糙线性空间，对 Ｘ ⊆ Ｖ ， 定义 ρＷ（Ｘ） ＝ （ρ － Ｗ（Ｘ），ρ － Ｗ（Ｘ）） 为 （Ｖ，ρＷ ） 上的一个 Ｒｏｕｇｈ 集。 定义 Ｆ ＝ （Ｖ，ρ { Ｗ（Ｘ）） Ｘ ⊆ Ｖ} ，称其为粗糙线性 近似空间。 其上的运算定义如下： （Ｘ，ρＷ（Ｘ）） ∪ （Ｙ，ρＷ（Ｙ）） ＝ （Ｘ ∪Ｙ，ρＷ（Ｘ ∪Ｙ）） （Ｘ，ρＷ（Ｘ）） ∩ （Ｙ，ρＷ（Ｙ）） ＝ （Ｘ ∩Ｙ，ρＷ（Ｘ ∩Ｙ）） （Ｘ，ρＷ（Ｘ）） ⊥ ＝ （Ｘ ⊥ ，ρＷ（Ｘ ⊥ ）） ０ ＝ （ρＷ（⌀），ρＷ（⌀））， １ ＝ （ρＷ（Ｖ），ρＷ（Ｖ））。 由以上分析可得出如下定理： 定理 ４ 代数系统 〈Ｆ， ∪， ∩， ⊥，０，１〉 为布尔 代数。 ４ 结束语 粗糙集与代数系统的结合研究是粗糙集理论研 究热点之一，把粗糙集与线性空间结合研究具有重 要的理论意义。 在本文中，根据线性空间中集合关 于同余关系的上下近似的性质，提出了 ２ 个集合以 解决线性空间中信息丢失的问题，通过对上近似的 交和下近似的并的等式的刻画，同时研究了粗糙线 性近似空间中上下近似的代数结构并证明了其构成 了布尔代数。 接下来将对此代数结构进行进一步的 研究。 但本文缺乏实际应用，未来将对上下近似的 代数结构和实际应用做进一步的研究。 参考文献： ［１］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍ⁃ ｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， １９８２， １１： ３４１⁃３５６． ［２］ＷＵ Ｗ Ｚ， ＭＩ Ｊ Ｓ， ＺＨＡＮＧ Ｗ Ｘ． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２００３， １５１： ２６３⁃２８２． ［３］ ＷＵ Ｗ Ｚ， ＺＨＡＮＧ Ｗ Ｘ． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ａｎｄ ａｘｉｏｍａｔｉｃ ａｐ⁃ ｐｒｏａｃｈｅｓ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ 第 ２ 期 刘亚梅，等：粗糙线性近似空间的代数结构 ·２２７·
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