第9卷第1期 智能系统学报 Vol.9 No.1 2014年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feb.2014 D0:10.3969/j.issn.1673-4785.201209063 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1673-4785.201209063.html 直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 申立平，王艳平 (辽宁工业大学理学院，辽宁锦州121001) 摘要：将直觉模糊粗糙集理论引入到逻辑推理中，通过对粗糙集、直觉模糊集、数理逻辑等基本理论的融合，给出 了直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理方法。首先给出直觉模糊命题逻辑的5个逻辑值，即直觉模糊真、直觉模糊假、 直觉模糊粗糙真、直觉模糊粗糙假和直觉模糊粗糙不相容，在此基础上定义了直觉模糊粗糙逻辑的运算，然后讨论 了近似空间中直觉模糊粗糙命题公式的语义，最后针对含有不同逻辑连接词的直觉模糊粗糙命题公式给出了其语 义推理方法。 关键词：粗糙集：粗糙逻辑：模糊粗糙逻辑；直觉模糊粗糙逻辑 中图分类号：TP301文献标志码：A文章编号：1673-4785(2014)01-0083-05 中文引用格式：申立平，王艳平.直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理[J].智能系统学报，2014,9(1)：83-87. 英文引用格式：SHEN Liping,WANG Yanping.Semantic of intuitionistic fuzzy rough logic and its reasoning[J].CAAI Transac- tions on Intelligent Systems,2014,9(1):83-87. Semantic of intuitionistic fuzzy rough logic and its reasoning SHEN Liping,WANG Yanping (School of Science,Liaoning University of Technology,Jinzhou 121001,China) Abstract:The theory of the intuitionistic fuzzy rough set is introduced into the logic reasoning.By the combination of such basic theories as rough sets,intuitionistic fuzzy sets and mathematical logic,the semantic and reasoning methods of intuitionistic fuzzy rough logic are given.Initially,five logic values for the intuitionistic fuzzy proposition logic are given,i.e.intuitionistic fuzzy true,intuitionistic fuzzy false,intuitionistic fuzzy rough true,intuitionistic fuzzy rough false and intuitionistic fuzzy rough incompatible,and on the basis of this,the intuitionistic fuzzy rough logic operations are given;then the semantic of intuitionistic fuzzy rough proposition formulas in approximate space is discussed;finally,the semantic reasoning methods are proposed as for the intuitionistic fuzzy rough propositional formula containing different logical conjunctions. Keywords:rough set;rough logic;fuzzy rough logic;intuitionistic fuzzy rough logic 粗糙逻辑是经典命题逻辑增加粗糙算子后的扩粗糙集引入到逻辑推理中，定义了5个直觉模糊粗 充，其推理形式也源于经典逻辑。但在语义研究方 糙逻辑真值，并讨论其语义推理。由于直觉模糊集 面，为了更准确地描述其涵义，粗糙逻辑采用了有别增加了一个新的属性参数：非隶属度函数，因此直觉 于经典命题逻辑的语义模型。在文献[1]中Pawlak 模糊粗糙逻辑的语义比粗糙逻辑和模糊粗糙逻辑的 将经典命题逻辑中的2个逻辑真值(“真”、“假”)扩 语义更加丰富，其推理也能够更加细腻地描述和刻 展为粗糙逻辑中的5个逻辑真值(“真”、“假”、“粗 画客观世界的模糊性本质。 糙真”、“粗糙假”、“粗糙不相容”)。之后，同林 等2)将粗糙公式扩展到了n维，给出公式的语义并 1 预备知识 讨论了语义推理。文献[7]中将模糊真值与粗糙逻 定义1劉设U是一个非空有限论域，称U上 辑真值结合，定义了5个模糊粗糙逻辑真值，并进行 形如A={(x,(x),ya(x)〉Ix∈U}的三元组为 了语义和推理研究。本文在此基础上，将直觉模糊 U上的一个直觉模糊集，其中，函数44：U→[0， 1]和vA:U→[0,1]分别表示U上元素x属于A的 收稿日期：2012-09-29.网络出版日期：2014-02-20 基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目(L2012226). 隶属度和非隶属度，并且满足0≤u(x)+'(x)≤ 通信作者：王艳平.E-mail:weiyanping65@yahoo..com.cm 1,x∈U
第 ９ 卷第 １ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．９ №．１ ２０１４ 年 ２ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｆｅｂ． ２０１４ ＤＯＩ：１０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１２０９０６３ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｏｉ ／ １０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１２０９０６３．ｈｔｍｌ 直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 申立平，王艳平 （辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 １２１００１） 摘 要：将直觉模糊粗糙集理论引入到逻辑推理中，通过对粗糙集、直觉模糊集、数理逻辑等基本理论的融合，给出 了直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理方法。 首先给出直觉模糊命题逻辑的 ５ 个逻辑值，即直觉模糊真、直觉模糊假、 直觉模糊粗糙真、直觉模糊粗糙假和直觉模糊粗糙不相容，在此基础上定义了直觉模糊粗糙逻辑的运算，然后讨论 了近似空间中直觉模糊粗糙命题公式的语义，最后针对含有不同逻辑连接词的直觉模糊粗糙命题公式给出了其语 义推理方法。 关键词：粗糙集；粗糙逻辑；模糊粗糙逻辑；直觉模糊粗糙逻辑 中图分类号：ＴＰ３０１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１４）０１⁃００８３⁃０５ 中文引用格式：申立平，王艳平．直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（１）： ８３⁃８７． 英文引用格式：ＳＨＥＮ Ｌｉｐｉｎｇ， ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ． Ｓｅｍａｎｔｉｃ ｏｆ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃ⁃ ｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９（１）： ８３⁃８７． Ｓｅｍａｎｔｉｃ ｏｆ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ＳＨＥＮ Ｌｉｐｉｎｇ， ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｊｉｎｚｈｏｕ １２１００１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｌｏｇｉｃ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ． Ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｓ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ， ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｌｏｇｉｃ， ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃ ａｎｄ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ． Ｉｎｉｔｉａｌｌｙ， ｆｉｖｅ ｌｏｇｉｃ ｖａｌｕｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｌｏｇｉｃ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ， ｉ．ｅ． ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｔｒｕｅ， ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｆａｌｓｅ， ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｔｒｕｅ， ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｆａｌｓｅ ａｎｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｉｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅ， ａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｉｓ， ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ； ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃ ｏｆ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｉｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ； ｆｉｎａｌｌｙ， ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ ｆｏｒｍｕｌａ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｌｏｇｉｃａｌ ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ； ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ； ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ； ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ 收稿日期：２０１２⁃０９⁃２９． 网络出版日期：２０１４⁃０２⁃２０． 基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目（Ｌ２０１２２２６）． 通信作者：王艳平． Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｗｅｉｙａｎｐｉｎｇ６５＠ ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ． 粗糙逻辑是经典命题逻辑增加粗糙算子后的扩 充，其推理形式也源于经典逻辑。 但在语义研究方 面，为了更准确地描述其涵义，粗糙逻辑采用了有别 于经典命题逻辑的语义模型。 在文献［１］中 Ｐａｗｌａｋ 将经典命题逻辑中的 ２ 个逻辑真值（“真”、“假”）扩 展为粗糙逻辑中的 ５ 个逻辑真值（“真”、“假”、“粗 糙真”、 “ 粗糙假”、 “ 粗糙不相容”）。 之后， 闫林 等［２⁃６］将粗糙公式扩展到了 ｎ 维，给出公式的语义并 讨论了语义推理。 文献［７］中将模糊真值与粗糙逻 辑真值结合，定义了 ５ 个模糊粗糙逻辑真值，并进行 了语义和推理研究。 本文在此基础上，将直觉模糊 粗糙集引入到逻辑推理中，定义了 ５ 个直觉模糊粗 糙逻辑真值，并讨论其语义推理。 由于直觉模糊集 增加了一个新的属性参数：非隶属度函数，因此直觉 模糊粗糙逻辑的语义比粗糙逻辑和模糊粗糙逻辑的 语义更加丰富，其推理也能够更加细腻地描述和刻 画客观世界的模糊性本质。 １ 预备知识 定义 １ ［８］ 设 Ｕ 是一个非空有限论域，称 Ｕ 上 形如 Ａ ＝ ｛〈ｘ，μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 的三元组为 Ｕ 上的一个直觉模糊集，其中，函数 μＡ ： Ｕ → ［０， １］ 和 νＡ ： Ｕ→［０，１］ 分别表示 Ｕ 上元素 ｘ 属于 Ａ 的 隶属度和非隶属度，并且满足 ０ ≤ μＡ（ｘ） ＋ νＡ（ｘ） ≤ １，∀ｘ ∈ Ｕ ．
·84· 智能系统学报 第9卷 为方便，记A(x)=(u,(x),v(x)》,U上所有直 M中粗糙不相容。 觉模糊集构成的集合为IFS(U). 定义5设M=(U,R)为Pawlak近似空间，T 定义2[)】设U是一个非空有限论域，A,B∈ 为直觉模糊概念的真值，中为U上的直觉模糊概 IFS(U),且具有下面的形式： 念，‖为解释函数（直觉模糊映射），‖：W→ A(x)=(u(x),A(x)》 IF(U),1中1→A∈IF(U),W为全体模糊概念的集 B(x)=(uB(x),'B(x)》 合，F(U)为全体直觉模糊集，ㄧ中I的直觉模糊真 规定序及运算如下： 值定义为T(1中1)(x)=A(x)=u(x),(x)）,其 1)ACB当且仅当u,(x)≤uB(x)且 直觉模糊粗糙真值定义为 v4(x)≥vs(x),Vx∈U; T(R1中I)(x)=A(x)=(u(x),'a(x)） 2)A=B当且仅当u4(x)=uB(x)且V(x)= T(R1中|)(x)=A(x)=(μ(x),'(x)） vB(x),Vx∈U; 则直觉模糊粗糙逻辑由粗糙逻辑中的5个逻辑值增 3)A nB=(x,min(x)ug(x),maxv(x), 加到无限多个值。做以下规定： vs(x)}〉Ix∈U; 4)A UB=(x,max (x)ug(x),minv(x), 1)若()≥且()<行，则称中在n vs(x)}〉Ix∈U; 中直觉模糊真，记作上中； 5)AC={(x,P(x),u(x)）|x∈U}. 显然，(IFS(U),C〉是一个偏序集。 2)若()<2且(x)≥2，则称b在M 定义3町设(U,R)是Pawlak近似空间， 中直觉模糊假，记作片中： U/R={X1,X2,…,X}是U上由R导出的所有等价 3)若)≥且()<行则称中在N 类。直觉模糊集B在U中的上、下近似分别记为B、 中直觉模糊粗糙真，记作F中； B,且被定义为U/R={X,X2,…,Xn}上的直觉模 糊集B,B:U/R→[0,1]×[0,1]，使得 4到若4()<行且4()≥分，则称中在M B(X;)={(x,sum(x),inf"e(x)）1x∈U 中直觉模糊粗糙假，记作片中； B(X)={(x,ina(x),uΨe(x)）1xeU川 5)若(x)≥2，"()<2且4(x)<2 式中：i=1,2,…,n.则称(B,B)为一个直觉模糊粗 ”(x)≥2，则称中在M中直觉模糊粗糙不相容。 糙集。 2直觉模糊粗糙逻辑的概念 3直觉模糊粗糙集的逻辑运算 在定义直觉模糊粗糙逻辑概念之前首先给出粗 下面在直觉模糊粗糙逻辑语义的基础上，讨论 糙逻辑的定义。 直觉模糊粗糙逻辑的运算。 定义41o)设M=(U,R)为Pawlak近似空间， 定义6设中、P是近似空间K=(U,R)上直觉 中为M下的原子公式，Ⅱ为解释函数，I: 模糊公式，其真值分别为T(1中I)和T(1p1), 则有 W→P(U),I中1→X∈P(U),W为所有粗糙逻辑 公式的集合，P(U)为U的幂集，则粗糙逻辑由经典 1)T(1中1)=T(1中1)， 的二值逻辑增加到5个逻辑真值：真、假、粗糙真、粗 2)T(1中∧p1)=T(1中1nlpI)= 糙假和粗糙不相容。 T(1Φ1)∧T(IpI), 1)若1中1=U,则称公式中在M中真，记作 3)T(1中VpI)=T(1中l Ul pl)= T(1中1)VT1pI), 上Mφ； 4)T(1中→pI)=T(17中V9I)= 2)若1中1≠U,则称公式中在M中假，记作 T(IΦ1U1p1）=7T(1中I)VT(IpI), 片φ； 5)T(1中p1)=T(1中→p1∩l中→pl)= 3)若R1中1=U,则称公式中在中M粗糙真，记 T(1中→p1)AT(1p→中1)。 作卡R中； 根据上述概念，给出直觉模糊粗糙逻辑的语义 4)若R1中1=☑，则称公式中在M中粗糙假， 推理。 记作片中； 在经典命题逻辑中，语义推理是围绕公式的真 5)若R1中1=U且R1中1=☑，则称公式中在 值所展开的关于前提与结论的真值关系的讨论，粗
为方便，记 Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉，Ｕ 上所有直 觉模糊集构成的集合为 ＩＦＳ（Ｕ） ． 定义 ２ ［９］ 设 Ｕ 是一个非空有限论域， Ａ，Ｂ ∈ ＩＦＳ（Ｕ） ，且具有下面的形式： Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 Ｂ（ｘ） ＝ 〈μＢ（ｘ），νＢ（ｘ）〉 规定序及运算如下： １ ） Ａ ⊆ Ｂ 当 且 仅 当 μＡ（ｘ） ≤ μＢ（ｘ） 且 νＡ （ｘ） ≥νＢ（ｘ），∀ｘ ∈ Ｕ ； ２） Ａ ＝ Ｂ 当且仅当 μＡ（ｘ） ＝ μＢ（ｘ） 且 νＡ（ｘ） ＝ νＢ（ｘ），∀ｘ ∈ Ｕ ； ３） Ａ ∩ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，ｍｉｎ｛μＡ（ｘ），μＢ（ｘ）｝，ｍａｘ｛νＡ（ｘ）， νＢ（ｘ）｝〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ； ４） Ａ ∪ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，ｍａｘ｛μＡ（ｘ），μＢ（ｘ）｝，ｍｉｎ｛νＡ（ｘ）， νＢ（ｘ）｝〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ； ５） Ａ Ｃ ＝ ｛〈ｘ，νＡ（ｘ），μＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ． 显然， 〈ＩＦＳ（Ｕ）， ⊆〉 是一个偏序集。 定义 ３ ［９］ 设 （Ｕ，Ｒ） 是 Ｐａｗｌａｋ 近 似 空 间， Ｕ／ Ｒ ＝｛Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，Ｘｎ ｝ 是 Ｕ 上由 Ｒ 导出的所有等价 类。 直觉模糊集 Ｂ 在 Ｕ 中的上、下近似分别记为 Ｂ、 Ｂ ，且被定义为 Ｕ／ Ｒ ＝ ｛Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，Ｘｎ ｝ 上的直觉模 糊集 Ｂ，Ｂ：Ｕ／ Ｒ → ［０，１］ × ［０，１］ ，使得 Ｂ（Ｘｉ） ＝ ｛〈ｘ，ｓｕｐ ｘ∈Ｘｉ μＢ（ｘ）， ｉｎｆ ｘ∈Ｘｉ νＢ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｂ（Ｘｉ） ＝ ｛〈ｘ， ｉｎｆ ｘ∈Ｘｉ μＢ（ｘ），ｓｕｐ ｘ∈Ｘｉ νＢ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 式中： ｉ ＝ １，２，…，ｎ ．则称 （Ｂ，Ｂ） 为一个直觉模糊粗 糙集。 ２ 直觉模糊粗糙逻辑的概念 在定义直觉模糊粗糙逻辑概念之前首先给出粗 糙逻辑的定义。 定义 ４ ［１０］ 设 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 为 Ｐａｗｌａｋ 近似空间， ϕ 为 Ｍ 下 的 原 子 公 式， ‖ 为 解 释 函 数， ‖： Ｗ →Ｐ（Ｕ） ， ｜ ϕ ｜ → Ｘ ∈ Ｐ（Ｕ） ， Ｗ 为所有粗糙逻辑 公式的集合， Ｐ（Ｕ） 为 Ｕ 的幂集，则粗糙逻辑由经典 的二值逻辑增加到 ５ 个逻辑真值：真、假、粗糙真、粗 糙假和粗糙不相容。 １）若 ｜ ϕ ｜ ＝ Ｕ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中真，记作 ｜＝ Ｍ ϕ ； ２）若 ｜ ϕ ｜ ≠ Ｕ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中假，记作 ｜≠Ｍ ϕ ； ３）若 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ Ｕ ，则称公式 ϕ 在中 Ｍ 粗糙真，记 作 ｜＝ Ｒϕ ； ４）若 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ ∅ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中粗糙假， 记作 ｜≠Ｒϕ ； ５）若 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ Ｕ 且 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ ∅ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中粗糙不相容。 定义 ５ 设 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 为 Ｐａｗｌａｋ 近似空间， Ｔ 为直觉模糊概念的真值， ϕ 为 Ｕ 上的直觉模糊概 念，‖ 为 解 释 函 数 （ 直 觉 模 糊 映 射）， ‖：Ｗ → ＩＦ（Ｕ）， ｜ ϕ ｜ → Ａ ∈ ＩＦ（Ｕ），Ｗ 为全体模糊概念的集 合， ＩＦ（Ｕ） 为全体直觉模糊集， ｜ ϕ ｜ 的直觉模糊真 值定义为 Ｔ（｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉，其 直觉模糊粗糙真值定义为 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ － （ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ），νＡ －（ｘ）〉 则直觉模糊粗糙逻辑由粗糙逻辑中的 ５ 个逻辑值增 加到无限多个值。 做以下规定： １）若 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ＜ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊真，记作 ｜＝ ＩＦＭ ϕ ； ２）若 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊假，记作 ｜≠ＩＦＭ ϕ ； ３）若 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ＜ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊粗糙真，记作 ｜＝ ＩＦＲϕ ； ４）若 μＡ （ｘ） ＜ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊粗糙假，记作 ｜≠ＩＦＲϕ ； ５）若 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ ， νＡ（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ ， νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊粗糙不相容。 ３ 直觉模糊粗糙集的逻辑运算 下面在直觉模糊粗糙逻辑语义的基础上，讨论 直觉模糊粗糙逻辑的运算。 定义 ６ 设 ϕ、φ 是近似空间 Ｋ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上直觉 模糊公式，其真值分别为 Ｔ（ ｜ ϕ ｜ ） 和 Ｔ（ ｜ φ ｜ ） ， 则有 １） Ｔ（｜ ┐ϕ ｜ ） ＝ ┐Ｔ（｜ ϕ ｜ ）， ２） Ｔ（｜ ϕ ∧ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ∩｜ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ） ∧ Ｔ（｜ φ ｜ ）， ３） Ｔ（｜ ϕ ∨ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ） ∨ Ｔ（｜ φ ｜ ）， ４） Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ∨ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ） ＝ ┐Ｔ（｜ ϕ ｜ ） ∨ Ｔ（｜ φ ｜ ）， ５） Ｔ（｜ ϕ↔φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ∩｜ ϕ → φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ） ∧ Ｔ（｜ φ → ϕ ｜ ）。 根据上述概念，给出直觉模糊粗糙逻辑的语义 推理。 在经典命题逻辑中，语义推理是围绕公式的真 值所展开的关于前提与结论的真值关系的讨论，粗 ·８４· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第1期 申立平，等：直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 .85. 糙语义推理是针对公式组成的前提和结论的粗糙逻 辑值关系的讨论，而直觉模糊粗糙逻辑推理是针对 2)因为片0，则，()<分且()≥ 直觉模糊公式的前提和结论的直觉模糊粗糙逻辑值 所以对于T(I中一→pI)(x)=(v(x)Vu(x), 关系进行的讨论。经典逻辑值只有真与假2个 值，直觉模糊粗糙逻辑值有5个：直觉模糊真、直觉 ()Λ(》，即有()V,()≥子且 模糊假、直觉模糊粗糙真、直觉模糊粗糙假、直觉模 糊粗糙不相容，其语义自然要丰富得多，主要性质在 ,(x)A"(x)<乞，因此可得结论。 以下的定理中给出。 3)因为片b一9，则()V4,(因<且 4直觉模糊粗糙逻辑语义推理 ()A()≥所以）< 1 4.1含有“→”公式 这里主要讨论T(1中→pI)(x)和T(F1中→ u()<分且u()≥分，(e)≥，散m, 1 1 P|)(x)的一些性质，令 片wP,因此可得结论。 T(I中I)(x)=A(x)=(u(x),'(x)） 定理2 T(IpI)(x)=B(x)=(u(x),'B(x))》 1)若卡p,则卡中一p,即若p直觉模糊粗 T(R1中1)(x)=A(x)=(u(x),va(x)》 糙真，则中→p直觉模糊粗糙真； T(R1pI)(x)=B(x)=(uB(x),'(x)） 2)若片p,则卡中一→p,即若中直觉模糊粗 则有 糙假，则中→9直觉模糊粗糙真； T(I中→pI)(x)= 3)若片中一p,则上中且片mP,即若中一9 T(I7中VpI)(x)=T(1中1U川p1)(x)= 直觉模糊粗糙假，则中直觉模糊粗糙真，P直觉模 T(I )(x)VT(I1)(x)= 糊粗糙假。 (va(x),a(x)〉U(ug(x),'s(x)〉= 证明类似定理1可证。 (v(x)VRg(x),(x)A vg(x)) 定理3 1)若卡Mp,则卡m中一P,即若p直觉模糊 T(F1中→p1)(x)= 真，则中→p直觉模糊粗糙真； T(R17中VpI)(x)=T(R(I中lUlol))(x)= 2)若片中，则上m中一p,即若中直觉模糊 T(R-1中1)(x)VT(RI中I)(x)= 假，则中→p直觉模糊粗糙真。 (v(x),(x)〉U〈u(x）,'(x)〉= 证明 〈'(x)VB(x),(x)AV(x)） 1)因为me则()≥方且()<分 设中、p是近似空间M=(U,R)上的直觉模糊 公式，则有下面的定理1~6成立。 又由于1 PIERIOI,所以()≥2且v(x)< 定理1 1)若上P,则乍n中→p,即若p直觉模糊 ),因此对于T(页1中p1)(x)=("(x)V 真，则中→p直觉模糊真； 2)若片M中，则卡m中→p,即若中直觉模糊 u(x),(x)N"(x)》,总有(x)V(x)≥2 假，则中→p直觉模糊真； 3)若片中→p,则卡中且片9，即若中一 且：()An()<之，因此可得结论。 P直觉模糊假，则中直觉模糊真，p直觉模糊假。 2)同理可证。 证明 在经典命题逻辑语义推理和模糊粗糙逻辑推理 1)因为非mp,则a(x)≥2且v(x)<2, 中，若（中→p)八中为真，则p也为真，记作（中→ p)A中卡p].下面的定理表明：将其变为直觉模糊 所以对于T(I中→PI)(x)=((x)VuB(x), 真和直觉模糊粗糙真后，上述结论仍成立。 么()A(》,显然有()V4,()≥行且 定理4 1)若上w(中→p)A中，则FmP; (A)<子，因此可得结论。 2)若上（中→p)∧中，则上mp
糙语义推理是针对公式组成的前提和结论的粗糙逻 辑值关系的讨论，而直觉模糊粗糙逻辑推理是针对 直觉模糊公式的前提和结论的直觉模糊粗糙逻辑值 关系进行的讨论［１１］ 。 经典逻辑值只有真与假 ２ 个 值，直觉模糊粗糙逻辑值有 ５ 个：直觉模糊真、直觉 模糊假、直觉模糊粗糙真、直觉模糊粗糙假、直觉模 糊粗糙不相容，其语义自然要丰富得多，主要性质在 以下的定理中给出。 ４ 直觉模糊粗糙逻辑语义推理 ４．１ 含有“ → ”公式 这里主要讨论 Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） 和 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） 的一些性质，令 Ｔ（｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 Ｔ（｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｂ（ｘ） ＝ 〈μＢ（ｘ），νＢ（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ － （ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ），νＡ －（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｂ － （ｘ） ＝ 〈μＢ －（ｘ），νＢ －（ｘ）〉 则有 Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ∨ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ ┐Ｔ（｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ∨ Ｔ（｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ），μＡ（ｘ）〉 ∪ 〈μＢ（ｘ），νＢ（ｘ）〉 ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ），μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ ｜ ┐ϕ ∨ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ（｜ ┐ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ））（ｘ） ＝ ┐Ｔ（Ｒ －｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ∨ Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ －（ｘ），μＡ －（ｘ）〉 ∪ 〈μＢ －（ｘ），νＢ －（ｘ）〉 ＝ 〈νＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ），μＡ －（ｘ） ∧ νＢ －（ｘ）〉 设 ϕ、φ 是近似空间 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上的直觉模糊 公式，则有下面的定理 １～６ 成立。 定理 １ １）若 ｜＝ ＩＦＭ φ ，则 ｜＝ ＩＦＭ ϕ → φ ，即若 φ 直觉模糊 真，则 ϕ → φ 直觉模糊真； ２）若 ｜≠ＩＦＭ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＭ ϕ → φ ，即若 ϕ 直觉模糊 假，则 ϕ → φ 直觉模糊真； ３）若 ｜≠ＩＦＭ ϕ → φ ，则 ｜＝ ＩＦＭ ϕ 且 ｜≠ＩＦＭ φ ，即若 ϕ → φ 直觉模糊假，则 ϕ 直觉模糊真， φ 直觉模糊假。 证明 １） 因为｜＝ ＩＦＭ φ ，则 μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ， 所以对于 Ｔ（ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ）， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 显然有 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ２） 因为 ｜≠ＩＦＭ ϕ ，则 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ， 所以对于 Ｔ（ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ）， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 即有 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ３） 因为 ｜≠ＩＦＭ ϕ → φ ，则 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， 所 以 νＡ（ｘ） ＜ １ ２ ， μＢ（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ ， νＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， 故｜＝ＩＦＭ ϕ， ｜≠ＩＦＭ φ， 因此可得结论。 定理 ２ １）若 ｜＝ ＩＦＲφ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 φ 直觉模糊粗 糙真，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真； ２）若 ｜≠ＩＦＲφ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 ϕ 直觉模糊粗 糙假，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真； ３）若 ｜≠ＩＦＲϕ→φ ，则 ｜＝ＩＦＲϕ 且 ｜≠ＩＦＲφ ，即若 ϕ→φ 直觉模糊粗糙假，则 ϕ 直觉模糊粗糙真， φ 直觉模 糊粗糙假。 证明 类似定理 １ 可证。 定理 ３ １）若 ｜＝ ＩＦＭ φ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 φ 直觉模糊 真，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真； ２）若 ｜≠ＩＦＭ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 ϕ 直觉模糊 假，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真。 证明 １） 因为｜＝ ＩＦＭ φ ，则 μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ， 又由于 ｜ φ ｜ ⊆ Ｒ ｜ φ ｜ ，所以 μＢ －（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＢ －（ｘ） ＜ １ ２ ，因此对于 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ），μＡ －（ｘ） ∧ νＢ －（ｘ）〉 ，总有 νＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ） ≥ １ ２ 且 μＡ －（ｘ） ∧ νＢ －（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ２）同理可证。 在经典命题逻辑语义推理和模糊粗糙逻辑推理 中，若 （ϕ → φ） ∧ ϕ 为真，则 φ 也为真，记作 （ϕ → φ） ∧ϕ ｜＝φ ［１２］ ．下面的定理表明：将其变为直觉模糊 真和直觉模糊粗糙真后，上述结论仍成立。 定理 ４ １）若 ｜＝ ＩＦＭ（ϕ → φ） ∧ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＭ φ ； ２）若 ｜＝ ＩＦＲ（ϕ → φ） ∧ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＲφ ． 第 １ 期 申立平，等：直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 ·８５·
·86- 智能系统学报 第9卷 证明 1)T(I(中→p)A中1)(x)=T(1(中Vp)A uB(x)≥ ，()A,()<分，则卡me且 中1)(x)=T(I9Λ中I)(x)=T(1中1)(x)Λ 卡R T(IpI)(x)=(u(x)Au(x),v(x)Vvs(x)〉。 2)如果卡9且对于T(1中1nlp1)(x)= (u(x)AuB(x),A(x)VVs(x)〉，有u(x)A 因为卡m(中→P)A中，则有u(x)A 1 e()≥2(x)Va(x)<2,所以，ua(x)≥ u()<分()V)≥则片np且 片F中→P. ()<分，因此可得结论。 1 证明 1)因为卡中→p,所以对T(1中一pI)(x)= 2)T(F-l(中→p)∧中1)(x)=T(R1(中V P)∧中1)(x)=T(F1pA中I)(x)=T(F(1中In 国v国国A4e》.有Va倒≥ 191))(x)=(a,b) 1 AN)<分又由A,()VA()≥ 因为m(中一p)∧中，则有a≥2b<2,由 (x)Λva(x)<2,则必有s(≥2，"()< 于R1中∧PICR1中1∩RIP1,而 T(R1中1)(x)∧T(F1PI)(x)=(μ(x)Λ 方又因为11c11,所以分≤，()≤ u(x),'(x)VV(x)）,于是有(x)A(x)≥ a≥7m()V)<b<分，所以s)≥ 1 4),4)≤()<号，因此可得结论。 1 1 :()<?,因此结论得证。 2)因为卡m中，则有，(x)≥2(x)）<2, 1 在定理4中，若把卡（中→p）A中，则卡R9 又因为，()Na()<2"()Vra(x)≥ 改为：若FR中一P且=P,则FFR中，其结论不成 立。然而，若把上式中的条件加强，即把卡中一9 所以有，()<方()≥2。而T1中一 改为卡中一p,上m中改为卡中，则结论成立，即 PI)(x)=T(I中VPI)(x)=〈(x)Vu(x), 有下面定理。 定理5如果卡N中→p且卡N中，则非pMP,进 ()N"e(x)》,因此有(x)Ve()<2 而有卡P. 证明因为卡中→p,所以对T(1中→ ,(x）A"x)≥2。又因为1b一g12R1中一 p1)(x=〈y(x)Va(x),(x)A”(x),有p1,所以对T(R1中→p1)(x)=(v(x)Vu(x), 1 (x)Avg(x)）,有"(x)Vg(x)≤v(x)V v(x)Vue(x)≥2，(x)Aa(x)<2 1 又由卡中，所以对T(I中1)=((x),'(x) ue(x)<2:(x)A"ex)≥u(x)A"a(x)≥2 1 因此可证得结论。 有(x)≥，(x)<2。于是ua()≥2 4.2含有“7”公式 ()<号，即卡m9成立。 定理7设中是近似空间M=(U,R)上的直觉 模糊公式，则如果中在M=(U,R)上直觉模糊粗糙 又因为1pl二F1pl,故 ≤，（四≤， 不相容，则中在M上也直觉模糊粗糙不相容。 证明令T(RI中I)(x)=〈u(x),v(x)）, T(R1中1)(x)=((x),'(x)）。因为中在M= '(x)≤v(x)<。,因此可得结论。 2 (U,R)上直觉模糊粗糙不相容，所以有ux(x)≥ 上述条件过于严格，若把条件放宽，则结论仍然 成立，即有下面的定理。 2)<7且4)<7()≥7，又由 定理6 F17中1=F(71中I)=7R1中I,R17中1= 1)如课=w中→p且对于T(I中1U川p1)(x)= R(71中1)=7F1中1，所以T(F1中1)(x)= (u(x)Vug(x),Va(x)Avg(x)）,有(x)V T(R1中1)=(V(x),(x)〉，T(R17中I)(x)=
证明 １） Ｔ（｜ （ϕ →φ） ∧ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（｜ （┐ϕ ∨φ） ∧ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（ ｜ φ ∧ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ∧ Ｔ（｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ） ∧ μＢ（ｘ），νＡ（ｘ） ∨ νＢ（ｘ）〉。 因为 ｜＝ ＩＦＭ（ϕ → φ） ∧ ϕ ， 则 有 μＡ（ｘ） ∧ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ，νＡ（ｘ） ∨ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，所以， μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ，νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ２ ） Ｔ（Ｒ －｜ （ϕ→φ） ∧ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ ｜ （┐ϕ∨ φ） ∧ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ ｜ φ ∧ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ（｜ ϕ ｜ ∩ ｜ φ ｜ ））（ｘ） ＝ 〈ａ，ｂ〉 因为｜＝ ＩＦＲ（ϕ → φ） ∧ ϕ ，则有 ａ ≥ １ ２ ，ｂ ＜ １ ２ ，由 于 Ｒ ｜ ϕ ∧ φ ｜ ⊆ Ｒ ｜ ϕ ｜ ∩ Ｒ ｜ φ ｜ ， 而 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ） （ｘ） ∧Ｔ（Ｒ ｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ） ∧ μＢ －（ｘ），νＡ －（ｘ） ∨ νＢ －（ｘ）〉 ，于是有 μＡ －（ｘ） ∧ μＢ －（ｘ） ≥ ａ ≥ １ ２ ，νＡ －（ｘ） ∨νＢ －（ｘ） ＜ ｂ ＜ １ ２ ，所以 μＢ －（ｘ） ≥ １ ２ ， νＢ －（ｘ） ＜ １ ２ ，因此结论得证。 在定理 ４ 中，若把 ｜＝ ＩＦＲ（ϕ → φ） ∧ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＲφ 改为：若 ｜＝ＩＦＲϕ → φ 且 ｜＝ＩＦＲφ ，则 ｜＝ＩＦＲϕ ，其结论不成 立。 然而，若把上式中的条件加强，即把 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ 改为 ｜＝ ＩＦＭ ϕ → φ，｜＝ ＩＦＲϕ 改为 ｜＝ ＩＦＭ ϕ ，则结论成立，即 有下面定理。 定理 ５ 如果 ｜＝ ＩＦＭ ϕ → φ 且 ｜＝ ＩＦＭ ϕ，则｜＝ ＩＦＭ φ， 进 而有 ｜＝ ＩＦＲφ． 证明 因为 ｜＝ ＩＦＭ ϕ → φ ， 所以对 Ｔ（ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ），μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 有 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ 。 又由 ｜＝ＩＦＭ ϕ ，所以对 Ｔ（｜ ϕ ｜ ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 有 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，νＡ（ｘ） ＜ １ ２ 。 于是 μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，即 ｜＝ ＩＦＭ φ 成立。 又因为 ｜ φ ｜ ⊆Ｒ ｜ φ ｜ ，故 １ ２ ≤μＢ（ｘ） ≤μＢ －（ｘ）， νＢ －（ｘ） ≤ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 上述条件过于严格，若把条件放宽，则结论仍然 成立，即有下面的定理。 定理 ６ １）如果｜＝ＩＦＭ ϕ → φ 且对于 Ｔ（｜ ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ） （ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ），νＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 有 μＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ，νＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ， 则 ｜＝ ＩＦＭ φ 且 ｜＝ ＩＦＲφ． ２） 如果 ｜＝ ＩＦＭ φ 且对于 Ｔ（ ｜ ϕ ｜ ∩｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ） ∧ μＢ（ｘ），νＡ（ｘ） ∨ νＢ（ｘ）〉， 有 μＡ（ｘ） ∧ μＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，νＡ（ｘ） ∨ νＢ（ｘ） ≥ １ ２ ，则 ｜≠ＩＦＲϕ → φ 且 ｜≠ＩＦＭ ϕ → φ ． 证明 １） 因为 ｜＝ ＩＦＭϕ → φ ，所以对 Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ） （ｘ）＝ 〈νＡ（ｘ） ∨μＢ（ｘ），μＡ（ｘ） ∧νＢ（ｘ）〉，有νＡ（ｘ） ∨μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，又由 μＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， νＡ（ｘ） ∧νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，则必有 μＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，又因为 ｜ φ ｜ ⊆ Ｒ ｜ φ ｜ ，所以 １ ２ ≤ μＢ（ｘ） ≤ μＢ －（ｘ），νＢ －（ｘ） ≤ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ２） 因为 ｜＝ ＩＦＭ ϕ ，则有 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，νＡ（ｘ） ＜ １ ２ ， 又因为 μＡ（ｘ） ∧ μＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，νＡ（ｘ） ∨ νＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， 所以有 μＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，νＢ（ｘ） ≥ １ ２ 。 而 Ｔ（ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ∨ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ）， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 因此有 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ＜ １ ２ ， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ≥ １ ２ 。 又因为 ｜ ϕ → φ ｜ ⊇ Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ，所以对 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ）， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 有 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≤ νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，μＡ（ｘ） ∧νＢ（ｘ） ≥μＡ（ｘ） ∧νＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， 因此可证得结论。 ４．２ 含有“┐”公式 定理 ７ 设 ϕ 是近似空间 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上的直觉 模糊公式，则如果 ϕ 在 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上直觉模糊粗糙 不相容，则 ┐ϕ 在 Ｍ 上也直觉模糊粗糙不相容。 证明 令 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉， Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉。 因为 ϕ 在 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上直觉模糊粗糙不相容，所以有 μ Ａ （ｘ） ≥ １ ２ ，νＡ －（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ ，νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，又 由 Ｒ ｜ ┐ϕ ｜ ＝ Ｒ（┐ ｜ ϕ ｜ ） ＝ ┐Ｒ ｜ ϕ ｜ ，Ｒ ｜ ┐ϕ ｜ ＝ Ｒ（┐ ｜ ϕ ｜ ） ＝ ┐Ｒ ｜ ϕ ｜ ， 所以 Ｔ（Ｒ ｜ ┐ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ ┐Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ） ＝ 〈νＡ（ｘ），μＡ（ｘ）〉，Ｔ（Ｒ ｜ ┐ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ ·８６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第1期 申立平，等：直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 .87. T(R1中|)=〈v(x),(x)）。 3 SHE Yanhong,HE Xiaoli,WANG Guojun.Rough truth de- 故中在M上直觉模糊粗糙不相容。 grees of formulas and approximate reasoning in rough logic 4.3含有“∧，V”公式 [J].Fundamenta Informaticae,2011,107(10):67-83. 定理8设中是近似空间M=(U,R)上直觉的 [4]VILEM N.Reasoning about mathematical fuzzy logic and its future[J].Fuzzy Sets and Systems,2012,192(2):25-44. 模糊原子公式，若中在M=(U,R)上直觉模糊粗糙 [5]FERNANDO B,UMBERTO S.Generalized fuzzy rough de- 不相容，则对H中，有=中VP且片中AP,即中 scription logics[J].Information Sciences,2012,189(2): Vp在M上直觉模糊粗糙真，中∧p在M上直觉模 43-62. 糊粗糙假。 [6]BEATA K.Three-valued logic for reasoning about covering- 证明 based rough sets[J].Rough Sets and Intelligent Systems, T(R1中1)(x)=A(x)=(u(x),'(x)） 2013,42(1):439-461. T(R|中1)(x)=〈u(x),'a(x)） [7]李丽，陈永胜模糊粗糙逻辑的语义[J]辽宁工业大学学 报，2008,28(2)：135-137. T(R1p|)(x)=B(x)=((x),'(x)》 LI Li,CHEN Yongsheng.Semantics of fuzzy rough logic 由题意有上中和中，即1()≥行， [J].Journal of Liaoning University of Technology,2008, 28(2):135-137. )<且u()<分以)=2 [8]ATANASSOV K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,.1986,20(1):87-96. 所以对 [9]张瑜，王艳平直觉模糊粗糙集模型[J]辽宁工业大学学 T(R1中VPI)(x)= 报，2008,28(6)：414-420. T(RII)(x)VT(RIl)(x)= ZHANG Yu,WANG Yanping.Intuitionistic fuzzy rough sets model[J].Journal of Liaoning University of Technology, (u(x)VuB(x),vi(x)Vvn(x)) 2008,28(6):414-420. T(R1中∧PI)(x)= [10]张文修，吴伟志，梁吉业，等粗糙集理论与方法[M.北 T(RII)(x)AT(RI)(x)= 京：科学出版社，2001：98-100 〈(x)Ag(x),'(x)Avg(x)） [11]雷英杰，王宝树.基于直觉模糊逻辑的近似推理方法 可得 [J].控制与决策，2006,21(3)：305-310， (eV4(=e)A4()<号 LEI Yingjie,WANG Baoshu.Approximate reasoning meth- od based on intuitionistic fuzzy logic[J].Control and Deci- 1 1 sion,2006,21(3):305-310. ()Ae()<2"4)Vex)≥2 [12]王艳平，徐义，窦金培.模糊粗糙逻辑语义及其推理[J]。 因此可得结论。 辽宁工业大学学报，2010,30(4)：259-264. WANG Yanping,XU Yi,DOU Jinpei.Fuzzy rough logic 5 结束语 semantic and its reasoning[J].Journal of Liaoning Univer- sity of Technology,2010,30(4):259-264. 本文所讨论的直觉模糊粗糙逻辑的语义推理是 作者简介： 在直觉模糊粗糙集的基础上进行的逻辑推理，这种 申立平，女，1985年生，硕士研究 逻辑推理拓展了经典逻辑中的语义推理。因此，在 生，主要研究方向为模糊集与粗糙集， 直觉模糊粗糙集基础上进行的直觉模糊粗糙语义推 发表学术论文2篇。 理为逻辑推理开辟了新径，与此同时逻辑推理也为 直觉模糊粗糙集理论的研究提供新思路。因此，直 觉模糊粗糙集理论与逻辑推理的融合为双方的深入 研究互相指明了方向。 王艳平，女，1965年生，教授，主要 参考文献： 研究方向为模糊集与粗糙集，发表学术 [1]PAWLAK Z.Rough logic[J].Bulletin of Polish Academy of 论文30余篇。 Science:Technical Sciences,1987,35(5/6):253-258. [2]闫林数理逻辑基础与粒计算[M].北京：科学出版社， 2007:320-322
┐Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ） ＝ 〈νＡ －（ｘ），μＡ －（ｘ）〉。 故 ┐ϕ 在 Ｍ 上直觉模糊粗糙不相容。 ４．３ 含有“ ∧， ∨ ”公式 定理 ８ 设 ϕ 是近似空间 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上直觉的 模糊原子公式，若 ϕ 在 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上直觉模糊粗糙 不相容，则对 ∀ϕ ，有 ｜＝ ＩＦＲϕ ∨ φ 且 ｜≠ＩＦＲϕ ∧ φ，即 ϕ ∨ φ 在 Ｍ 上直觉模糊粗糙真， ϕ ∧ φ 在 Ｍ 上直觉模 糊粗糙假。 证明 Ｔ（Ｒ － ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ － （ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ），νＡ －（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ － ｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｂ － （ｘ） ＝ 〈μＢ －（ｘ），νＢ －（ｘ）〉 由题意有 ｜＝ ＩＦＲϕ 和 ｜≠ＩＦＲϕ ， 即 μＡ －（ｘ） ≥ １ ２ ， νＡ －（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ ，νＡ（ｘ） ≥ １ ２ 。 所以对 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ∨ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ∨ Ｔ（Ｒ ｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ），νＡ －（ｘ） ∨ νＢ －（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ∧ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ∧ Ｔ（Ｒ ｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ） ∧ μＢ（ｘ），νＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉 可得 μＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ） ≥ １ ２ ，νＡ －（ｘ） ∧ νＢ －（ｘ） ＜ １ ２ μＡ（ｘ） ∧ μＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，νＡ（ｘ） ∨ νＢ（ｘ） ≥ １ ２ 因此可得结论。 ５ 结束语 本文所讨论的直觉模糊粗糙逻辑的语义推理是 在直觉模糊粗糙集的基础上进行的逻辑推理，这种 逻辑推理拓展了经典逻辑中的语义推理。 因此，在 直觉模糊粗糙集基础上进行的直觉模糊粗糙语义推 理为逻辑推理开辟了新径，与此同时逻辑推理也为 直觉模糊粗糙集理论的研究提供新思路。 因此，直 觉模糊粗糙集理论与逻辑推理的融合为双方的深入 研究互相指明了方向。 参考文献： ［１］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ［Ｊ］． Ｂｕｌｌｅｔｉｎ ｏｆ Ｐｏｌｉｓｈ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ： Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９８７， ３５（５ ／ ６）： ２５３⁃２５８． ［２］闫林．数理逻辑基础与粒计算［Ｍ］．北京：科学出版社， ２００７： ３２０⁃３２２． ［３］ＳＨＥ Ｙａｎｈｏｎｇ， ＨＥ Ｘｉａｏｌｉ， ＷＡＮＧ Ｇｕｏｊｕｎ． Ｒｏｕｇｈ ｔｒｕｔｈ ｄｅ⁃ ｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｏｒｍｕｌａｓ ａｎｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｉｎ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ ［Ｊ］． Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｃａｅ， ２０１１， １０７（１０）： ６７⁃８３． ［４］ＶＩＬÉＭ Ｎ． Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ａｂｏｕｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｆｕｚｚｙ ｌｏｇｉｃ ａｎｄ ｉｔｓ ｆｕｔｕｒｅ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１２， １９２（２）： ２５⁃４４． ［５］ＦＥＲＮＡＮＤＯ Ｂ， ＵＭＢＥＲＴＯ Ｓ． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｄｅ⁃ ｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｌｏｇｉｃｓ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１２， １８９（ ２）： ４３⁃６２． ［６］ＢＥＡＴＡ Ｋ． Ｔｈｒｅｅ⁃ｖａｌｕｅｄ ｌｏｇｉｃ ｆｏｒ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ａｂｏｕｔ ｃｏｖｅｒｉｎｇ⁃ ｂａｓｅｄ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１３， ４２（１）： ４３９⁃４６１． ［７］李丽，陈永胜．模糊粗糙逻辑的语义［ Ｊ］．辽宁工业大学学 报， ２００８， ２８（２）： １３５⁃１３７． ＬＩ Ｌｉ， ＣＨＥＮ Ｙｏｎｇｓｈｅｎｇ． Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２００８， ２８（２）： １３５⁃１３７． ［８］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８６， ２０（１）： ８７⁃９６． ［９］张瑜，王艳平．直觉模糊粗糙集模型［ Ｊ］．辽宁工业大学学 报， ２００８， ２８（６）： ４１４⁃４２０． ＺＨＡＮＧ Ｙｕ， ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｍｏｄｅｌ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２００８， ２８（６）： ４１４⁃４２０． ［１０］张文修，吴伟志，梁吉业，等．粗糙集理论与方法［Ｍ］．北 京：科学出版社， ２００１： ９８⁃１００． ［１１］雷英杰，王宝树．基于直觉模糊逻辑的近似推理方法 ［Ｊ］．控制与决策， ２００６， ２１（３）： ３０５⁃３１０． ＬＥＩ Ｙｉｎｇｊｉｅ， ＷＡＮＧ Ｂａｏｓｈｕ． Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｍｅｔｈ⁃ ｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｌｏｇｉｃ［Ｊ］． Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｄｅｃｉ⁃ ｓｉｏｎ， ２００６， ２１（３）： ３０５⁃３１０． ［１２］王艳平，徐义，窦金培．模糊粗糙逻辑语义及其推理［ Ｊ］． 辽宁工业大学学报， ２０１０， ３０（４）： ２５９⁃２６４． ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ， ＸＵ Ｙｉ， ＤＯＵ Ｊｉｎｐｅｉ． Ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｌｏｇｉｃ ｓｅｍａｎｔｉｃ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒ⁃ ｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２０１０， ３０（４）： ２５９⁃２６４． 作者简介： 申立平，女，１９８５ 年生，硕士研究 生，主要研究方向为模糊集与粗糙集， 发表学术论文 ２ 篇。 王艳平，女，１９６５ 年生，教授，主要 研究方向为模糊集与粗糙集，发表学术 论文 ３０ 余篇。 第 １ 期 申立平，等：直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 ·８７·