第9卷第2期 智能系统学报 Vol.9 No.2 2014年4月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Apr.2014 D0I:10.3969/j.issn.1673-4785.201307022 网络出版t地址：htp:/ww.cmki.net/kcms/doi/CNKI:23-1538/TP.20131105.1202.005.html 基于决策粗糙集的图像分割 李峰12，苗夺谦12，刘财辉12，杨伟12 (1.同济大学计算机科学与技术系，上海201804：2.同济大学嵌入式系统与服务计算教育部重点实验室，上海 201804) 摘要：图像分割是图像处理和图像分析中的重要研究内容之一。目前的研究大多集中在处理比较理想、不带噪声 的图像，而现实中的图像往往是带有噪声的，并且图像中物体之间的边界灰度值常常是模糊的。针对带噪声的图 像，在粒计算和决策粗糙集的框架下，提出了一种新的图像分割方法。该方法用决策粗糙集思想模拟目标和背景区 域，在求取近似集时容忍部分噪声点的存在，通过优化目标和背景区域的粗糙度，获得分割的阈值。实验结果表明 该方法能较好地处理带噪声的图像。 关键词：决策粗糙集：图像分割：噪声图像：粒计算 中图分类号：TP391文献标志码：A文章编号：1673-4785(2014)02-0143-05 中文引用格式：李峰，苗夺谦，刘财辉，等.基于决策粗糙集的图像分割[J].智能系统学报，2014,9(2)：143-147. 英文引用格式：LIFeng,MIAO Duoqian,LIUCaihui,etal.Image segmentation algorithm based on the decision-theoretic rough set model[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2014,9(2):143-147. Image segmentation algorithm based on the decision-theoretic rough set model LI Feng'2,MIAO Duoqian'2,LIU Caihui',YANG Wei2 (1.Department of Computer Science and Technology,Tongji University,Shanghai 201804,China;2.Key Laboratory of Embedded System and Service Computing,Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 201804,China) Abstract:Image segmentation is one of the important topics in image processing and analysis.The recent studies fo- cus mainly on handling the ideal images without noise,which often go against the reality.What's more,the grey value of the boundaries between objects in the image is often fuzzy.For images with noise,within the framework of granular computing and decision-theoretic rough sets,a novel algorithm for image segmentation is proposed.The al- gorithm deals with image segmentation by simulating the target and background regions with the decision-theoretic rough set model,and tolerates some noise points when calculating the approximate sets.It determines the threshold of partitioning through minimization of roughness in both object and background regions.The experimental results show that the proposed method can solve the problem of noise and improve the effects of image segmentation. Keywords:decision-theoretic rough sets;image segmentation;image noise;granule computing 图像分割是将图像细分为构成它的子区域或对泛的应用，如工业自动化、文档图像处理、生物医学 象，把其中感兴趣的对象提取出来的技术和过程。 图像分析等方面。 它既是图像处理中的重要内容，又是由图像处理到 Sezgin等)总结了2003年以前的40种经典 图像分析的关键步骤。图像分割在实际中已得到广 的阈值分割方法，这些方法按照分割时考虑的图 像信息分为6类：直方图形状、测试空间聚集度、 收稿日期：2013-07-05.网络出版日期：2013-11-05. 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61103067,61273304). 熵、目标属性、空间相关性和局部灰度图。Sankar 通信作者：李峰.E-mail:lifeng12.23@163.com. 等[2]将粒计算和粗糙集思想运用于阈值分割，提
第 ９ 卷第 ２ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．９ №．２ ２０１４ 年 ４ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｐｒ． ２０１４ ＤＯＩ：１０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１３０７０２２ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｏｉ ／ ＣＮＫＩ：２３⁃１５３８ ／ ＴＰ．２０１３１１０５．１２０２．００５．ｈｔｍｌ 基于决策粗糙集的图像分割 李峰１，２ ，苗夺谦１，２ ，刘财辉１，２ ，杨伟１，２ （１．同济大学 计算机科学与技术系，上海 ２０１８０４； ２．同济大学 嵌入式系统与服务计算教育部重点实验室，上海 ２０１８０４） 摘 要：图像分割是图像处理和图像分析中的重要研究内容之一。 目前的研究大多集中在处理比较理想、不带噪声 的图像，而现实中的图像往往是带有噪声的，并且图像中物体之间的边界灰度值常常是模糊的。 针对带噪声的图 像，在粒计算和决策粗糙集的框架下，提出了一种新的图像分割方法。 该方法用决策粗糙集思想模拟目标和背景区 域，在求取近似集时容忍部分噪声点的存在，通过优化目标和背景区域的粗糙度，获得分割的阈值。 实验结果表明 该方法能较好地处理带噪声的图像。 关键词：决策粗糙集；图像分割；噪声图像；粒计算 中图分类号： ＴＰ３９１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１４）０２⁃０１４３⁃０５ 中文引用格式：李峰，苗夺谦，刘财辉，等． 基于决策粗糙集的图像分割［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（２）： １４３⁃１４７． 英文引用格式：ＬＩ Ｆｅｎｇ，ＭＩＡＯ Ｄｕｏｑｉａｎ，ＬＩＵ Ｃａｉｈｕｉ， ｅｔ ａｌ． Ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９（２）： １４３⁃１４７． Ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ ＬＩ Ｆｅｎｇ １，２ ， ＭＩＡＯ Ｄｕｏｑｉａｎ １，２ ， ＬＩＵ Ｃａｉｈｕｉ １，２ ， ＹＡＮＧ Ｗｅｉ １，２ （１． Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１８０４， Ｃｈｉｎａ； ２． Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｅｍｂｅｄｄｅｄ Ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ Ｓｅｒｖｉｃｅ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ， Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１８０４， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏｐｉｃｓ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｔｈｅ ｒｅｃｅｎｔ ｓｔｕｄｉｅｓ ｆｏ⁃ ｃｕｓ ｍａｉｎｌｙ ｏｎ ｈａｎｄｌｉｎｇ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｉｍａｇｅｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｎｏｉｓｅ， ｗｈｉｃｈ ｏｆｔｅｎ ｇｏ ａｇａｉｎｓｔ ｔｈｅ ｒｅａｌｉｔｙ． Ｗｈａｔ’ ｓ ｍｏｒｅ， ｔｈｅ ｇｒｅｙ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｆｕｚｚｙ． Ｆｏｒ ｉｍａｇｅｓ ｗｉｔｈ ｎｏｉｓｅ， ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｏｆ ｇｒａｎｕｌａｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｎｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ， ａ ｎｏｖｅｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｔｈｅ ａｌ⁃ ｇｏｒｉｔｈｍ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｂｙ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ ａｎｄ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ， ａｎｄ ｔｏｌｅｒａｔｅｓ ｓｏｍｅ ｎｏｉｓｅ ｐｏｉｎｔｓ ｗｈｅｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｅｔｓ． Ｉｔ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｏｆ ｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇ ｔｈｒｏｕｇｈ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ ｉｎ ｂｏｔｈ ｏｂｊｅｃｔ ａｎｄ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｒｅｇｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｎｏｉｓｅ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ； ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ； ｉｍａｇｅ ｎｏｉｓｅ； ｇｒａｎｕｌｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ 收稿日期：２０１３⁃０７⁃０５． 网络出版日期：２０１３⁃１１⁃０５． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１１０３０６７，６１２７３３０４）． 通信作者：李峰． Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｌｉｆｅｎｇ１２．２３＠ １６３．ｃｏｍ． 图像分割是将图像细分为构成它的子区域或对 象，把其中感兴趣的对象提取出来的技术和过程。 它既是图像处理中的重要内容，又是由图像处理到 图像分析的关键步骤。 图像分割在实际中已得到广 泛的应用，如工业自动化、文档图像处理、生物医学 图像分析等方面。 Ｓｅｚｇｉｎ 等［ １］ 总结了 ２００３ 年以前的 ４０ 种经典 的阈值分割方法，这些方法按照分割时考虑的图 像信息分为 ６ 类：直方图形状、测试空间聚集度、 熵、目标属性、空间相关性和局部灰度图。 Ｓａｎｋａｒ 等［ ２］ 将粒计算和粗糙集思想运用于阈值分割，提
.144 智能系统学报 第9卷 出了一种基于粒计算和粗糙熵的目标提取方法。 1.1 Pawlak粗糙集 该方法主要解决灰度图像中物体之间的边界灰 粗糙集理论[8)是1982年波兰科学家Pawlak提 度值常常模糊的问题，图像信息具有较强的空间 出的。给定信息系统S=（U,A,V),U为论域，A 复杂性、相关性，处理过程中会遇到不完整和不 为属性集，V为值域，f:U×A→V为信息函数。设 确定性问题。Sankar等[)还做了进一步的工作， 属性B二A和集合X二U,则可以在属性B下用集 将这种处理方式运用于运动目标检测。Sankar 合X的上下近似来近似模拟X。X的下近似和上近 的方法是单阈值的分割，只是把图像分割成背景 似分别定义为： 和感兴趣的目标区域，但有时感兴趣的目标是多 BX={x∈U:[x]BCX} 个，所以为了能分割出多目标区域，Dariusz等I4) Bx={x∈U:[x]gnX≠☑y 提出了自适应多阈值粗糙嫡优化算法，这样可以 其中[x]B={ylfy,a)=f(x,a),a∈B},即为对 比较灵活地处理一些特殊需求。这2种方法都 象x在属性B下的等价类。下近似BX是指在现有 是在灰度图像上进行处理，只是一维的，Dariusz 知识B下判断肯定属于X的对象所组成的最大集 等[1又把处理的维度提升到两维。Dariusz等[6-] 针对粗糙集与图像分割的结合，还做了其他一系 合，而上近似BX则是可能属于X的对象组成的最 列工作。 小集合。 上述的方法虽然解决了图像分割中模糊性的问 上近似BX下近似BX集合X粒x]B 题，但忽略了噪声对处理结果的影响。因为其使用 的是Pawlak粗糙集模型，而Pawlak粗糙集模型使 用的是绝对集合包含关系，对像素点的灰度值要求 较严格，不能很好地处理带噪声的数据，所以上述方 法都不宜处理带有噪声的图像。而决策粗糙集鲁棒 性较好，能处理带噪声的数据，于是为了能够较好地 处理带有噪声的图像，本文在文献[2]的基础上，结 合决策粗糙集，提出一种能较好处理带噪声图像的 基于决策粗糙集的图像分割方法。这里之所以选择 图1集合X的上近似、下近似示意图 单阈值分割这种简单情况，是因为方便阐述这种解 Fig.1 The upper and lower approximations of set X 决带噪声图像的思想，对于多阈值分割情况，可以在 基于X的上、下近似，可以得到论域U的一个 单阈值分割基础上进行扩展。 划分，分别定义为X的正域POS(X)、负域 NEG(X)和边界域BND(X): 1基础知识 POS(X)=BX 目前图像分割的方法主要可以分为以下3类： NEG(X)=U-BX 基于阈值的图像分割、基于边缘检测和连接的图像 BND(X)=BX -BX 分割以及基于区域的图像分割。其中基于阈值的图 由此可知，如果x∈POS(X),则x一定属于 像分割是一种简单有效的图像分割方法，它用一个 X;如果x∈NEG(X),则x一定不属于X,即属于 或几个阈值T将图像的灰度级分为几个部分，认为 X的补集X:如果x∈BND(X),则不能判断x一 属于同一个部分的像素是同一个物体。如对于单阈 定属于或者不属于X。 值的图像分割，可以有 1.2决策粗糙集 g(i,)= 1,fi,)>T (1) 由于Pawlak粗糙集模型使用绝对集合包含关 0,fi,i)≤T 系来定义上、下近似，对于带有噪声的数据不能很好 式中：g(i,)为该像素点的所属部分，1代表目标区 地处理。在文献[9]中，Wong和Ziarkao将概率近 域，0代表背景区域，f(i,)是指像素点第i行第j列 似空间引入到粗糙集的研究中。令Pr(XI[x])表 的灰度值，T为阈值。阈值分割以其实现简单、计算 示等价类[x]中元素属于X的条件概率。那么，可 量小且性能稳定的特点，在重视运算效率的应用场 以得到粗糙集的另一种等价表示： 合得到了广泛的应用。但是，图像分割仍然是一个 Pr(XI[x])=1台[x]CX 公认的难题。 Pr(XI[x])=0台[x]nX=☑
出了一种基于粒计算和粗糙熵的目标提取方法。 该方法主要解决灰度图像中物体之间的边界灰 度值常常模糊的问题，图像信息具有较强的空间 复杂性、相关性，处理过程中会遇到不完整和不 确定性问题。 Ｓａｎｋａｒ 等［ ３］ 还做了进一步的工作， 将这种处理方式运用于运动目标 检 测。 Ｓａｎｋａｒ 的方法是单阈值的分割，只是把图像分割成背景 和感兴趣的目标区域，但有时感兴趣的目标是多 个，所以为了能分割出多目标区域，Ｄａｒｉｕｓｚ 等［ ４］ 提出了自适应多阈值粗糙熵优化算法，这样可以 比较灵活地处理一些特殊需求。 这 ２ 种方法都 是在灰度图像上进行处理，只是一维的，Ｄａｒｉｕｓｚ 等［ ５］ 又把处理的维度提升到两维。 Ｄａｒｉｕｓｚ 等［ ６⁃７］ 针对粗糙集与图像分割的结合，还做了其他一系 列工作。 上述的方法虽然解决了图像分割中模糊性的问 题，但忽略了噪声对处理结果的影响。 因为其使用 的是 Ｐａｗｌａｋ 粗糙集模型，而 Ｐａｗｌａｋ 粗糙集模型使 用的是绝对集合包含关系，对像素点的灰度值要求 较严格，不能很好地处理带噪声的数据，所以上述方 法都不宜处理带有噪声的图像。 而决策粗糙集鲁棒 性较好，能处理带噪声的数据，于是为了能够较好地 处理带有噪声的图像，本文在文献［２］的基础上，结 合决策粗糙集，提出一种能较好处理带噪声图像的 基于决策粗糙集的图像分割方法。 这里之所以选择 单阈值分割这种简单情况，是因为方便阐述这种解 决带噪声图像的思想，对于多阈值分割情况，可以在 单阈值分割基础上进行扩展。 １ 基础知识 目前图像分割的方法主要可以分为以下 ３ 类： 基于阈值的图像分割、基于边缘检测和连接的图像 分割以及基于区域的图像分割。 其中基于阈值的图 像分割是一种简单有效的图像分割方法，它用一个 或几个阈值 Ｔ 将图像的灰度级分为几个部分，认为 属于同一个部分的像素是同一个物体。 如对于单阈 值的图像分割，可以有 ｇ（ｉ，ｊ） ＝ １，ｆ（ｉ，ｊ） ＞ Ｔ ０，ｆ（ｉ，ｊ） ≤ Ｔ { （１） 式中： ｇ（ｉ，ｊ） 为该像素点的所属部分，１ 代表目标区 域，０ 代表背景区域， ｆ（ｉ，ｊ） 是指像素点第 ｉ 行第 ｊ 列 的灰度值， Ｔ 为阈值。 阈值分割以其实现简单、计算 量小且性能稳定的特点，在重视运算效率的应用场 合得到了广泛的应用。 但是，图像分割仍然是一个 公认的难题。 １．１ Ｐａｗｌａｋ 粗糙集 粗糙集理论［８］是 １９８２ 年波兰科学家 Ｐａｗｌａｋ 提 出的。 给定信息系统 Ｓ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ）， Ｕ 为论域， Ａ 为属性集， Ｖ 为值域， ｆ：Ｕ × Ａ → Ｖ 为信息函数。 设 属性 Ｂ ⊆ Ａ 和集合 Ｘ ⊆ Ｕ， 则可以在属性 Ｂ 下用集 合 Ｘ 的上下近似来近似模拟 Ｘ 。 Ｘ 的下近似和上近 似分别定义为： Ｂ＿ Ｘ ＝ ｘ ∈ Ｕ： [ｘ] { Ｂ ⊆ Ｘ} Ｂ － Ｘ ＝ ｘ ∈ Ｕ： [ｘ] { Ｂ ∩ Ｘ ≠ ∅} 其中 [ｘ] Ｂ ＝ ｛ｙ ｜ ｆ(ｙ，ａ) ＝ ｆ(ｘ，ａ) ，ａ ∈ Ｂ｝， 即为对 象 ｘ 在属性 Ｂ 下的等价类。 下近似 Ｂ＿ Ｘ 是指在现有 知识 Ｂ 下判断肯定属于 Ｘ 的对象所组成的最大集 合，而上近似 Ｂ － Ｘ 则是可能属于 Ｘ 的对象组成的最 小集合。 图 １ 集合 Ｘ 的上近似、下近似示意图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｔ Ｘ 基于 Ｘ 的上、下近似，可以得到论域 Ｕ 的一个 划 分， 分 别 定 义 为 Ｘ 的 正 域 ＰＯＳ（Ｘ）、 负 域 ＮＥＧ（Ｘ） 和边界域 ＢＮＤ（Ｘ） ： ＰＯＳ（Ｘ） ＝ Ｂ＿ Ｘ ＮＥＧ(Ｘ) ＝ Ｕ － Ｂ － Ｘ ＢＮＤ（Ｘ） ＝ Ｂ － Ｘ － Ｂ＿ Ｘ 由此可知，如果 ｘ ∈ ＰＯＳ（Ｘ）， 则 ｘ 一定属于 Ｘ ；如果 ｘ ∈ ＮＥＧ(Ｘ) ， 则 ｘ 一定不属于 Ｘ， 即属于 Ｘ 的补集 Ｘ ｃ ；如果 ｘ ∈ ＢＮＤ(Ｘ) ， 则不能判断 ｘ 一 定属于或者不属于 Ｘ 。 １．２ 决策粗糙集 由于 Ｐａｗｌａｋ 粗糙集模型使用绝对集合包含关 系来定义上、下近似，对于带有噪声的数据不能很好 地处理。 在文献［９］ 中，Ｗｏｎｇ 和 Ｚｉａｒｋａｏ 将概率近 似空间引入到粗糙集的研究中。 令 Ｐｒ（Ｘ ｜ [ｘ] ） 表 示等价类 [ｘ] 中元素属于 Ｘ 的条件概率。 那么，可 以得到粗糙集的另一种等价表示： Ｐｒ(Ｘ ｜ [ｘ] ) ＝ １⇔ [ｘ] ⊆ Ｘ Ｐｒ(Ｘ ｜ [ｘ] ) ＝ ０⇔ [ｘ] ∩ Ｘ ＝ ∅ ·１４４· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第2期 李峰，等：基于决策粗糙集的图像分割 ·145- 00 mn (3) 是（α，β）-概率正、负和边界域： 1-a mn 集思想来模拟，即目标区域的上下近似可以分别看成 N) 内部含有的最大粒簇和外部包含他的最小粒簇。 B,={6,mn 本文处理的是二值化灰度图像，即将图像分割成 目标区域B和背景区域O两部分。假设整幅图像的 B,={6,m ≤1-a n 灰度级为L,只要找到一个最好的阈值T,就能将图 再根据式(2)就能得到目标和背景的粗糙度： 像分成B(0,1,…,T和0(T+1,T+2,…,L-1)2 类。这样就可以得到目标区域和背景区域的上、下近 Ro,=1-(|0,l)/|0=(|01-10I)/|0, 似，分别表示为O,、O、B,和B,。这里定义，在阈值 (RB,=1-(|B,I)/八B,|=(|B|-IB,I)/IB,I T这个属性的划分下，只要粒中所有像素点都大于 (4) (小于)阈值，则认为该粒是属于目标（背景）的下近 式中：|·|表示集合的基，即集合元素的个数。这里 似：而粒中只要存在像素点大于（小于）阈值，则认为 定义图像的粗糙嫡： 该粒是属于目标（背景）的上近似。那么用概率粗糙 集模型来表示，只要对每个粒G:求出大于阈值T的 RERoog.(r log(R )(5
０ ＜ Ｐｒ（Ｘ ｜ [ｘ] ） ＜ １⇔[ｘ] ∩ Ｘ ≠ ∅ ∧ [ｘ] ⊄ Ｘ 则粗糙集中的 ３ 个域可以有另一种表示： ＰＯＳ（Ｘ） ＝ {ｘ ∈ Ｕ：Ｐｒ（Ｘ ｜ [ｘ] ） ⩾ １} ＮＥＧ(Ｘ) ＝ {ｘ ∈ Ｕ：Ｐｒ(Ｘ ｜ [ｘ] ) ≤ ０} ＢＮＤ(Ｘ) ＝ {ｘ ∈ Ｕ：０ ＜ Ｐｒ（Ｘ ｜ [ｘ] ） ＜ １} 这样，定性粗糙集 ３ 个域仅用了概率的 ２ 个极 端值，即 ０ 和 １。 如果将 ０ 和 １ 用其他的值来表示， 就可以获得一种定量粗糙集。 在 １９９０ 年，Ｙａｏ 等在文献［１０］中提出了一个更 一般性的概率粗糙集模型，称为决策粗糙集模型。 该模型用一对概率阈值来定义概率正、负和边界域。 设 ０ ≤ β ≤ α ≤１， 决策粗糙集模型的一个基本结果 是 (α，β) －概率正、负和边界域： ＰＯＳ (α，β ) （Ｘ） ＝ {ｘ ∈ Ｕ：Ｐｒ(Ｘ ｜ [ｘ] ) ≥ α} ＮＥＧ(α，β ) (Ｘ) ＝ {ｘ ∈ Ｕ：Ｐｒ(Ｘ ｜ [ｘ] ) ≤ β} ＢＮＤ(α，β ) (Ｘ) ＝ {ｘ ∈ Ｕ：β ＜ Ｐｒ(Ｘ ｜ [ｘ] ) ＜ α} 同 Ｐａｗｌａｋ 的 ３ 个域相比， α 和 β 分别取代了概 率极值 １ 和 ０。 为了表示集合 Ｘ 在 Ｂ 下的不确定程 度，粗糙度 Ｒ 的定义被提出，即： Ｒα ＝ １ － （ Ｂ＿ Ｘ ） ／ Ｂ － Ｘ （２） 当粗糙度为 ０ 时， Ｘ 在 Ｂ 下是精确的，即是一个 精确集；而当粗糙度大于 ０ 时， Ｘ 在 Ｂ 下是模糊不可 辨的，是一个粗糙集。 关于粗糙集更多详细的介绍 可以参见文献［６］。 ２ 基于决策粗糙集的图像分割 ２．１ 图像的粗糙集描述 在图像分割的过程中，图像中的所有像素点构成 论域 Ｕ， 将一幅图像划分成大小为 ｍ × ｎ 个重叠的块， 每个块被看成是一个粒 Ｇ。 那么，每个粒中有 ｍ × ｎ 个 像素点。 定义粒后，图像中的目标区域就可以用粗糙 集思想来模拟，即目标区域的上下近似可以分别看成 内部含有的最大粒簇和外部包含他的最小粒簇。 本文处理的是二值化灰度图像，即将图像分割成 目标区域 Ｂ 和背景区域 Ｏ 两部分。 假设整幅图像的 灰度级为 Ｌ， 只要找到一个最好的阈值 Ｔ， 就能将图 像分成 Ｂ(０，１，…，Ｔ) 和 Ｏ（Ｔ ＋ １，Ｔ ＋ ２，…，Ｌ － １） ２ 类。 这样就可以得到目标区域和背景区域的上、下近 似，分别表示为 Ｏ － Ｔ、 Ｏ＿ Ｔ、 Ｂ － Ｔ 和 Ｂ＿ Ｔ 。 这里定义，在阈值 Ｔ 这个属性的划分下，只要粒中所有像素点都大于 （小于）阈值，则认为该粒是属于目标（背景）的下近 似；而粒中只要存在像素点大于（小于）阈值，则认为 该粒是属于目标（背景）的上近似。 那么用概率粗糙 集模型来表示，只要对每个粒 Ｇｉ 求出大于阈值 Ｔ 的 像素点个数 Ｎｉ 。 Ｎｉ ＝ ∑ ｍ ｊ ＝ １ ∑ ｎ ｋ ＝ １ ｇ(ｊ，ｋ) 式中： ｇ(ｊ，ｋ) 是粒 Ｇｉ 中像素点调用式（１） 后的结 果。 因为做的是二值化，图像中除了目标区域便是 背景区域，背景也就是目标的补集，每个粒的像素点 个数为 ｍｎ， 那么背景的正域便是目标的负域，因此 可得： Ｏ＿ Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ≥ １} Ｏ － Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ＞ ０} Ｂ＿ Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ＜ １} Ｂ － Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ≤ ０} ì î í ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï （３） 可以看出，对于属于目标（背景） 下近似的粒， 严格要求粒中的所有像素点的灰度值必须大于（小 于）阈值 Ｔ 。 此类式子对于没有噪声的图像分割效 果很好，但是在实际中有一些图像带有噪声，对于这 类带有噪声（如高斯噪声）的图像处理效果却不尽 人意，因为此类图像几乎找不到属于下近似的粒，没 有办法进行处理。 为了更好地处理带有噪声的图像，因此将决策 粗糙集的思想引入到图像分割中，允许一些噪声点 的存在，这样定义目标的上下近似时，概率阈值不再 是 {０，１} ， 而是 {１ － α，α} （α ∈ [０．５，１] ）， 于是从 式（３）得到新的定义公式： Ｏ＿ Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ≥ α} Ｏ － Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ＞ １ － α} Ｂ＿ Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ＜ α} Ｂ － Ｔ ＝ ∪ｉ Ｇｉ： Ｎｉ ｍｎ { ≤ １ － α} ì î í ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï 再根据式（２）就能得到目标和背景的粗糙度： ＲＯＴ ＝ １ － （ Ｏ＿ Ｔ ） ／ Ｏ － Ｔ ＝ （ Ｏ － Ｔ － Ｏ＿ Ｔ ） ／ Ｏ － Ｔ ＲＢＴ ＝ １ － （ Ｂ＿ Ｔ ） ／ Ｂ － Ｔ ＝ （ Ｂ － Ｔ － Ｂ＿ Ｔ ） ／ Ｂ － Ｔ { （４） 式中： ｜·｜表示集合的基，即集合元素的个数。 这里 定义图像的粗糙熵： ＲＥＴ ＝ － ｅ ２ ＲＯＴ ｌｏｇｅ（ＲＯＴ ） ＋ ＲＢＴ ｌｏｇｅ（ＲＢＴ [ ） ] （５） 第 ２ 期 李峰，等：基于决策粗糙集的图像分割 ·１４５·
·146 智能系统学报 第9卷 文献[2]中指出，当粗糙嫡最大时，取得最优的 3)当粗糙嫡值取得最大时图像分割阈值取得 分割阈值T,即T·=argmaxRE,。当熵取得最大值 最优值，即： 时，粗糙度也降到最低，取得最好的分类效果。 T·=arg max[REr(L)] 2.2阈值最优选择算法 假设max_gray和min_gray分别表示图像中最 3实验分析 大的灰度级值和最小的灰度级值。图像划分成大小 本文所提出的方法是在文献[2]的基础上做出的 为m×n的粒G:,粒的总数用total_num表示。O,、 改进，能很好地处理带噪声的图像，所以为了验证本文 Or、B,、B,分别表示目标和背景的上、下近似，Ro,、 方法的优势，分别用文献[2]中的方法和本文所提出的 R,则分别表示目标和背景的粗糙度，RE,表示粗 方法去处理带噪声的图像，并进行了实验对比。 糙嫡。 3.1粒尺寸的大小选择 初始化：置0，、0，、B,、B,为空集 要完成图像分割最优阈值的选择，首先需要的是 1)for i=1 to total_num 将图像划分成一簇尺寸大小相等的粒，而粒的大小的 1*对所有的图像粒G进行如下操作*1 选取影响着最终分割的效果。这里依据图像的灰度直 初始化N:为0 方图，选取直方图中各峰值对应的区域宽度中最小值 forj=1 to mn 的一半作为粒的长和宽[。选的太大会出现漏判目标 1*计算该粒中大于阈值T的像素点个数N:*1 区域为背景区域的情况，而选的太小则会把一些不必 if the gray ofj>T 要的区域误判为目标区域，增加算法复杂度。粒的尺 N:=N+1 寸变大（变小）会使求出的最佳阈值T减小（增大）。 end 3.2实验结果 end 实验选取了文献[2]实验中的块图片 ifN,/mn≥a (BL0CKS),并对其进行了尺寸变换（变换为512× 1*粒中大于阈值T的点个数比率大于或等于 512和加噪声（椒盐噪声）处理，然后用本文提出的方 α，则确定粒G:属于目标区域，否则可能属于背景 法和文献[2]提出的方法分别进行处理，并比较最终 区域*1 的实验结果，即最后阈值的选择情况和分割效果。 0,=0,UG 首先是选择粒的尺寸，图片的灰度直方图如图 else 2所示，只要选择峰值对应区域宽度最小值的一半 BT=BT UG 作为粒的长宽是最合适的。图2中峰值对应区域最 小的部分为180和220之间，即最小宽度为40，这 end 样将图像划分成20×20的粒群是最合适的。 ifN,/mn≤1-a 1*粒中大于阈值T的点个数比率小于或等于 ×10 1-α，则确定粒G:属于背景区域，否则可能属于目 标区域*、 3 Br=BT UG else a维a O,=0,UG x10 0.5 1.01.52.02.5 end 灰度值 end 图2灰度直方图 2)for L=min_gray to max_gray Fig.2 Histogram of the image 1*对所有图像灰度级进行如下操作*1 图像划分完成后，分别按本文前面所提算法和 在进行运算前先调用1) 文献[2]中所提方法进行实验，这里参数a取0.05， 根据式(4)分别得到在阈值L下目标和背景的 参数α的取值是根据经验和多次实验迭代而来。实 粗糙度R,(L)和Ra,(L)。再根据式(5)计算出相 验结果如图3所示。 应的粗糙嫡RE,(L)。 3.3结果分析 end 图3(b)的阈值选择结果在预期之中，如前面所
文献［２］中指出，当粗糙熵最大时，取得最优的 分割阈值 Ｔ， 即 Ｔ ∗ ＝ ａｒｇｍａｘＲＥＴ 。 当熵取得最大值 时，粗糙度也降到最低，取得最好的分类效果。 ２．２ 阈值最优选择算法 假设 ｍａｘ＿ｇｒａｙ 和 ｍｉｎ＿ｇｒａｙ 分别表示图像中最 大的灰度级值和最小的灰度级值。 图像划分成大小 为 ｍ × ｎ 的粒 Ｇｉ， 粒的总数用 ｔｏｔａｌ＿ｎｕｍ 表示。 Ｏ － Ｔ 、 Ｏ＿ Ｔ 、 Ｂ － Ｔ 、 Ｂ＿ Ｔ 分别表示目标和背景的上、下近似， ＲＯＴ 、 ＲＢＴ 则分别表示目标和背景的粗糙度， ＲＥＴ 表示粗 糙熵。 初始化：置 Ｏ － Ｔ 、 Ｏ＿ Ｔ 、 Ｂ － Ｔ 、 Ｂ＿ Ｔ 为空集 １）ｆｏｒ ｉ ＝ １ ｔｏ ｔｏｔａｌ＿ｎｕｍ ＼∗对所有的图像粒 Ｇｉ 进行如下操作∗＼ 初始化 Ｎｉ 为 ０ ｆｏｒ ｊ ＝ １ ｔｏ ｍｎ ＼∗计算该粒中大于阈值 Ｔ 的像素点个数 Ｎｉ ∗＼ ｉｆ ｔｈｅ ｇｒａｙ ｏｆ ｊ ＞ Ｔ Ｎｉ ＝ Ｎｉ ＋ １ ｅｎｄ ｅｎｄ ｉｆ Ｎｉ ／ ｍｎ ≥ α ＼∗粒中大于阈值 Ｔ 的点个数比率大于或等于 α， 则确定粒 Ｇｉ 属于目标区域，否则可能属于背景 区域∗＼ Ｏ＿ Ｔ ＝ Ｏ＿ Ｔ ∪ Ｇｉ ｅｌｓｅ Ｂ － Ｔ ＝ Ｂ － Ｔ ∪ Ｇｉ ｅｎｄ ｉｆ Ｎｉ ／ ｍｎ ≤ １ － α ＼∗粒中大于阈值 Ｔ 的点个数比率小于或等于 １ － α， 则确定粒 Ｇｉ 属于背景区域，否则可能属于目 标区域∗＼ Ｂ＿ Ｔ ＝ Ｂ＿ Ｔ ∪ Ｇｉ ｅｌｓｅ Ｏ － Ｔ ＝ Ｏ － Ｔ ∪ Ｇｉ ｅｎｄ ｅｎｄ ２）ｆｏｒ Ｌ ＝ ｍｉｎ＿ｇｒａｙ ｔｏ ｍａｘ＿ｇｒａｙ ＼∗对所有图像灰度级进行如下操作∗＼ 在进行运算前先调用 １） 根据式（４）分别得到在阈值 Ｌ 下目标和背景的 粗糙度 ＲＯＴ （Ｌ） 和 ＲＢＴ （Ｌ） 。 再根据式（５）计算出相 应的粗糙熵 ＲＥＴ (Ｌ) 。 ｅｎｄ ３）当粗糙熵值取得最大时图像分割阈值取得 最优值，即： Ｔ ∗ ＝ ａｒｇ ｍａｘ Ｌ ［ＲＥＴ (Ｌ) ］ ３ 实验分析 本文所提出的方法是在文献［２］的基础上做出的 改进，能很好地处理带噪声的图像，所以为了验证本文 方法的优势，分别用文献［２］中的方法和本文所提出的 方法去处理带噪声的图像，并进行了实验对比。 ３．１ 粒尺寸的大小选择 要完成图像分割最优阈值的选择，首先需要的是 将图像划分成一簇尺寸大小相等的粒，而粒的大小的 选取影响着最终分割的效果。 这里依据图像的灰度直 方图，选取直方图中各峰值对应的区域宽度中最小值 的一半作为粒的长和宽［２］ 。 选的太大会出现漏判目标 区域为背景区域的情况，而选的太小则会把一些不必 要的区域误判为目标区域，增加算法复杂度。 粒的尺 寸变大（变小）会使求出的最佳阈值 Ｔ 减小（增大）。 ３．２ 实验结果 实 验 选 取 了 文 献 ［ ２ ］ 实 验 中 的 块 图 片 （ＢＬＯＣＫＳ），并对其进行了尺寸变换（变换为 ５１２ × ５１２ 和加噪声（椒盐噪声）处理，然后用本文提出的方 法和文献［２］提出的方法分别进行处理，并比较最终 的实验结果，即最后阈值的选择情况和分割效果。 首先是选择粒的尺寸，图片的灰度直方图如图 ２ 所示，只要选择峰值对应区域宽度最小值的一半 作为粒的长宽是最合适的。 图 ２ 中峰值对应区域最 小的部分为 １８０ 和 ２２０ 之间，即最小宽度为 ４０，这 样将图像划分成 ２０ × ２０ 的粒群是最合适的。 图 ２ 灰度直方图 Ｆｉｇ．２ Ｈｉｓｔｏｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ 图像划分完成后，分别按本文前面所提算法和 文献［２］中所提方法进行实验，这里参数 α 取 ０．０５， 参数 α 的取值是根据经验和多次实验迭代而来。 实 验结果如图 ３ 所示。 ３．３ 结果分析 图 ３（ｂ）的阈值选择结果在预期之中，如前面所 ·１４６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第2期 李峰，等：基于决策粗糙集的图像分割 .147. 讲，按文献[2]方法很难让下近似不为0，导致所求 [2]PAL S K,SHANKAR B U,MITRA P.Granular compu- 的阈值无意义，根本起不到分类的效果。针对这个 ting,rough entropy and object extraction[].Pattern Rec- 问题，实验还选取了其他一些图片，同样进行加噪处 ognition Letters,2005,26(16):2509-2517. 理后，得到的阈值结果也为254，所以这个方法处理 [3]CHAKRABORTY D,SHANKAR B U,PAL S K.Granula- tion,rough entropy and spatiotemporal moving object detec- 带噪声的图片是不行的。 tion[J].Applied Soft Computing,2013,13(9):4001- 而本文的方法则有相对较好的结果，在处理带 4009. 噪声的图片时，允许粒中部分像素点为噪点，不会影 [4]MALYSZKO D,STEPANIUK J.Adaptive multilevel rough 响分割效果。而且在得到二值化的图像后，再进行 entropy evolutionary thresholding[].Information Sciences, 去噪，也简单方便许多。所以在处理带噪声的图片 2010,180:1138-1158. 上，本文的方法是比较可行的。 [5]MALYSZKO D,STEPANIUK J.Granular multilevel rough entropy thresholding in 2D domain[C]//116th International Conference Intelligent Information Systems.Zakopane,Po- land.2008:151-160. [6]MALYSZKO D,STEPANIUK J.Adaptive rough entropy clustering algorithms in image segmentation[J].Fundamen- ta Informaticae,2010,98:199-231. [7]MALYSZKO D,STEPANIUK J.Standard and fuzzy rough entropy clustering algorithms in image segmentation[C]// (a)加噪声原始图片 (b)T=254] RSCTC2008LNAI5306.Akon,USA,2008:409-418. [8]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Com- puter and Information Science,1982(11):341-356. [9]WONG S K M,ZIARKO W.Comparison of the probabilistic approximate classification and the fuzzy set model[J].Fuzzy Sets and Systems,1987,21:357-362. [10]YAO YY,WONG S K M,LINGRAS P.A decision-theo- retic rough set model[C]//Proceedings of the 5th Interna- tional Symposium on Methodologies for Intelligent Systems, Knoxville,USA,1990:17-25. (c)本文方法结果(T=104) 作者简介： 图3实验结果 李峰，男，1989年生，博士研究生， Fig.3 Experimental results 主要研究方向为图像处理、粗糙集、机 器学习。 4结束语 当前已有的大部分图像分割方法都是针对不带 噪声图像提出的，然而实际生活中的图像常常是存 苗夺谦.男，1964年生.教授，博士 在噪声的。为了较好地解决带噪声的图像分割问 生导师，主要研究方向为智能信息处 题，本文利用粗糙集方法模拟图像的目标和背景区 理、粗糙集、粒计算、网络智能、数据挖 掘等.主持完成国家“973”计划项目、国 域，提出了一种基于决策粗糙集的图像分割方法。 家“863”计划等多项。曾获国家教委科 实验结果表明，该方法在处理带噪声的图像分割问 技进步三等奖、教育部科技进步一等 题中能够取得较理想的效果，并简化了以往处理带 奖、上海市科技发明一等奖、重庆市自然科学一等奖。发表 噪声图像的过程。在本文提出的方法中，如何进行 学术论文160余篇，其中被SCI、EI检索80余篇，出版教材 参数选取是一个较困难的问题，接下来的工作是 及学术著作9部，获得专利授权9项。 如何寻找一种高效地选取参数α的方法。 刘财辉，男，1979年生，博士研究 生，主要研究方向为粗糙集、粒计算、机 参考文献： 器学习。 [1]SEZGIN M,SANKUR B.Survey over image thresholding techniques and quantitative performance evaluation[J]. Journal of Electronic Imaging,2004,13(1):146-165
讲，按文献［２］方法很难让下近似不为 ０，导致所求 的阈值无意义，根本起不到分类的效果。 针对这个 问题，实验还选取了其他一些图片，同样进行加噪处 理后，得到的阈值结果也为 ２５４，所以这个方法处理 带噪声的图片是不行的。 而本文的方法则有相对较好的结果，在处理带 噪声的图片时，允许粒中部分像素点为噪点，不会影 响分割效果。 而且在得到二值化的图像后，再进行 去噪，也简单方便许多。 所以在处理带噪声的图片 上，本文的方法是比较可行的。 （ａ）加噪声原始图片 （ｂ） Ｔ ＝ ２５４ ［２］ （ｃ）本文方法结果 （Ｔ ＝ １０４） 图 ３ 实验结果 Ｆｉｇ．３ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ４ 结束语 当前已有的大部分图像分割方法都是针对不带 噪声图像提出的，然而实际生活中的图像常常是存 在噪声的。 为了较好地解决带噪声的图像分割问 题，本文利用粗糙集方法模拟图像的目标和背景区 域，提出了一种基于决策粗糙集的图像分割方法。 实验结果表明，该方法在处理带噪声的图像分割问 题中能够取得较理想的效果，并简化了以往处理带 噪声图像的过程。 在本文提出的方法中，如何进行 参数 α 选取是一个较困难的问题，接下来的工作是 如何寻找一种高效地选取参数 α 的方法。 参考文献： ［１］ ＳＥＺＧＩＮ Ｍ， ＳＡＮＫＵＲ Ｂ． Ｓｕｒｖｅｙ ｏｖｅｒ ｉｍａｇｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ａｎｄ ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ［ Ｊ ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｉｍａｇｉｎｇ， ２００４， １３（１）： １４６⁃１６５． ［２］ ＰＡＬ Ｓ Ｋ， ＳＨＡＮＫＡＲ Ｂ Ｕ， ＭＩＴＲＡ Ｐ． Ｇｒａｎｕｌａｒ ｃｏｍｐｕ⁃ ｔｉｎｇ， ｒｏｕｇｈ ｅｎｔｒｏｐｙ ａｎｄ ｏｂｊｅｃｔ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ［ Ｊ］． Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃ⁃ ｏｇｎｉｔｉｏｎ Ｌｅｔｔｅｒｓ， ２００５， ２６（１６）： ２５０９⁃２５１７． ［３］ＣＨＡＫＲＡＢＯＲＴＹ Ｄ， ＳＨＡＮＫＡＲ Ｂ Ｕ， ＰＡＬ Ｓ Ｋ． Ｇｒａｎｕｌａ⁃ ｔｉｏｎ， ｒｏｕｇｈ ｅｎｔｒｏｐｙ ａｎｄ ｓｐａｔｉｏｔｅｍｐｏｒａｌ ｍｏｖｉｎｇ ｏｂｊｅｃｔ ｄｅｔｅｃ⁃ ｔｉｏｎ［ Ｊ］． Ａｐｐｌｉｅｄ Ｓｏｆｔ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， ２０１３， １３ （ ９）： ４００１⁃ ４００９． ［４］ ＭＡŁＹＳＺＫＯ Ｄ， ＳＴＥＰＡＮＩＵＫ Ｊ． Ａｄａｐｔｉｖｅ ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ ｒｏｕｇｈ ｅｎｔｒｏｐｙ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１０， １８０： １１３８⁃１１５８． ［５］ＭＡŁＹＳＺＫＯ Ｄ， ＳＴＥＰＡＮＩＵＫ Ｊ． Ｇｒａｎｕｌａｒ ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ ｒｏｕｇｈ ｅｎｔｒｏｐｙ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ ｉｎ ２Ｄ ｄｏｍａｉｎ［Ｃ］ ／ ／ Ｉ１６ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｚａｋｏｐａｎｅ， Ｐｏ⁃ ｌａｎｄ， ２００８： １５１⁃１６０． ［６］ ＭＡŁＹＳＺＫＯ Ｄ， ＳＴＥＰＡＮＩＵＫ Ｊ． Ａｄａｐｔｉｖｅ ｒｏｕｇｈ ｅｎｔｒｏｐｙ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｆｕｎｄａｍｅｎ⁃ ｔａ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｃａｅ， ２０１０， ９８： １９９⁃２３１． ［７］ＭＡŁＹＳＺＫＯ Ｄ， ＳＴＥＰＡＮＩＵＫ Ｊ． Ｓｔａｎｄａｒｄ ａｎｄ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｅｎｔｒｏｐｙ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ［ Ｃ］ ／ ／ ＲＳＣＴＣ ２００８ ＬＮＡＩ ５３０６． Ａｋｒｏｎ， ＵＳＡ， ２００８： ４０９⁃４１８． ［８］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍ⁃ ｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， １９８２（１１）： ３４１⁃３５６． ［９］ＷＯＮＧ Ｓ Ｋ Ｍ， ＺＩＡＲＫＯ Ｗ． Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８７， ２１： ３５７⁃３６２． ［１０］ＹＡＯ Ｙ Ｙ， ＷＯＮＧ Ｓ Ｋ Ｍ， ＬＩＮＧＲＡＳ Ｐ． Ａ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏ⁃ ｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ５ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａ⁃ ｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅｓ ｆｏｒ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， Ｋｎｏｘｖｉｌｌｅ， ＵＳＡ， １９９０ ： １７⁃２５． 作者简介： 李峰，男，１９８９ 年生，博士研究生， 主要研究方向为图像处理、粗糙集、机 器学习。 苗夺谦，男，１９６４ 年生，教授，博士 生导师，主要研究方向为智能信息处 理、粗糙集、粒计算、网络智能、数据挖 掘等．主持完成国家“９７３”计划项目、国 家“８６３”计划等多项。 曾获国家教委科 技进步三等奖、教育部科技进步一等 奖、上海市科技发明一等奖、重庆市自然科学一等奖。 发表 学术论文 １６０ 余篇，其中被 ＳＣＩ、ＥＩ 检索 ８０ 余篇，出版教材 及学术著作 ９ 部，获得专利授权 ９ 项。 刘财辉，男，１９７９ 年生，博士研究 生，主要研究方向为粗糙集、粒计算、机 器学习。 第 ２ 期 李峰，等：基于决策粗糙集的图像分割 ·１４７·