第2期 刘亚梅，等：粗糙线性近似空间的代数结构 ·225· 研究更深入的性质，同时还把粗糙集引入了线性空 2 集合的交（并）的上（下）近似的等 间和模糊线性空间中。本文就是在文献[17]基础 式刻画 上，结合模糊逻辑及其代数分析18)的有关概念，以 由性质2中的5)、6)可以看出，在线性空间中 及H.G.Zhang19)对经典粗糙集上信息丢失问题的提 交的上近似、并的下近似并不是等式刻画，存在信息 出的方法，根据上下近似算子的性质提出了2个集 丢失的问题。在本节中，主要解决这一问题，为此引 合，使信息丢失的问题得到解决，并建立基于布尔代 入以下定义： 数的粗糙线性近似空间模型。 定义5设V是数域P上的线性空间，W是V 1基本概念 的一个子空间，X,Y是V的2个子集，记 Px(Y)= 定义1]设V是数域P上的线性空间，X、Y {apw(a)SXUY且p(a)tX,pm(a)￠Y}; 是V上的非空子集，k是数域P上的任意元素，定义 Qx(Y)={alpm(a)n(XnY)=☑， 集合的和与数乘为： 且pm(a)nX≠☑，p(a)nY≠}。 X+Y={a=a1+a2a1∈X,a2∈Y) 定理2： kX={kaa∈X} 1)P(xUY)=Pu(X)Up(Y)UP(Y) 定义2n)设线性空间V上一个等价关系p, 2)pm(X∩Y)=pm(X)∩pw(Y)-Qx(Y) 若对Ha,B∈V,有(a,B)∈p,(a+Y,a+y)∈p, 证明：1)对a∈Pm(XUY),有pm(a)S (ka,邮)∈p,Hy∈V,k∈P。则称p为V上的一 XUY。 个同余关系。 定义3)]设W是线性空间上V的一个子空 若p(a)SX或p(a)SY,则有a∈Pm(X), 间，定义一个二元关系Pw: 或a∈pm(Y),则a∈Pm(X)UPm(Y)UPx(Y)。 Pw={(a,B)la,B E V,a-BE W) 若pw(a)tX且p(a)￠Y,则a∈Px(Y),所以 定理1)设W是线性空间V的子空间，则下 a Ep(x)Up(Y)UPx(Y). 面结论成立： 因此有Pm(XUY)CPm(X)UP(Y)U 1)Pm是V上的一个同余关系 Px(Y)。 2)Ha∈V,同余类[am=a+W则可将 对Ha∈P(X)UPm(Y)UPx(Y),有 [a]m记为p(a)。V/pg={pm(a)|Hae}是 a∈p(X)或a∈pn()或aePx(Y)。 全体同余类的集合。 若a∈p(X),则有a∈pm(XUY),若a∈ 性质1mp(a)+pm(B)=Pm(a+B) P(Y),则有a∈p(XU),若a∈P(Y),则 pu(ka)=kpu(a) 定义4)]设V是数域P上的线性空间，W是 pm(a)CXUY,则有a∈Pm(XUY)。 V的线性子空间，X是V上的任意一个非空子集，定 所以P(X)Upm(Y)UPx(Y)EPm(XUY), 义X在W上关于Pm的上、下近似分别为： 即pw(XUY)=Pm(X)UPr(Y)。 Pr(X)={a∈Vlpm(a)SX} 2)此命题等价为 Pw(X)={a∈Vlpm(a)nX≠O} pw(X∩Y)UQx(Y)=pm(X)∩pm(Y) 性质2)]设V是数域P上的线性空间，W是 对Ha∈pm(XnY)UQx(Y),有a∈p(X∩Y) V的线性子空间，X,Y是V上的非空子集，则有： 或a∈Qx(Y)。 1)pu(X)XCP(X) 若aepm(XnY),则有a∈p.(X)np(Y), 若a∈Qx(Y),则有p(a)nX≠0且pm(a)n 2)p(XUY)=p(x)Upu(Y); Y≠O,所以a∈pm(X)且&∈p.(Y),则a∈ 3)pw(xn Y)=pw(x)npu(Y); pm(X)∩pm(Y)。对a∈pw(X)∩p(Y),则有 4)若XCY,则有pm(X)SP(Y), aepm(X)且aepm(Y),即p(a)nX≠O且 Pwnspu(Y): pw(a)nY≠☑。 5)p(XUY)2p(X)Up(Y); 若pw(a)n(XnY)≠，则有a∈Pm(Xn 6)p(xnY)p(x)np(Y). Y);若p(a)∩(XnY)=☑，则a∈Qx(Y)。研究更深入的性质，同时还把粗糙集引入了线性空 间和模糊线性空间中。 本文就是在文献［１７］ 基础 上，结合模糊逻辑及其代数分析［１８］ 的有关概念，以 及 Ｈ．Ｇ．Ｚｈａｎｇ ［１９］对经典粗糙集上信息丢失问题的提 出的方法，根据上下近似算子的性质提出了 ２ 个集 合，使信息丢失的问题得到解决，并建立基于布尔代 数的粗糙线性近似空间模型。 １ 基本概念 定义 １ ［１７］ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｘ、Ｙ 是 Ｖ 上的非空子集，ｋ 是数域 Ｐ 上的任意元素，定义 集合的和与数乘为： Ｘ ＋ Ｙ ＝ α ＝ α１ { ＋ α２ α１ ∈ Ｘ，α２ ∈ Ｙ} ｋＸ ＝ {ｋα α ∈ Ｘ} 定义 ２ ［１７］ 设线性空间 Ｖ 上一个等价关系 ρ， 若对 ∀α，β ∈ Ｖ， 有 （α，β） ∈ ρ，（α ＋ γ，α ＋ γ） ∈ ρ， （ｋα，ｋβ） ∈ ρ，∀γ ∈ Ｖ，ｋ ∈ Ｐ。 则称 ρ 为 Ｖ 上的一 个同余关系。 定义 ３ ［１７］ 设 Ｗ 是线性空间上 Ｖ 的一个子空 间，定义一个二元关系 ρＷ ： ρＷ ＝ {（α，β） α，β ∈ Ｖ，α － β ∈ Ｗ} 定理 １ ［１７］ 设 Ｗ 是线性空间 Ｖ 的子空间，则下 面结论成立： １） ρＷ 是 Ｖ 上的一个同余关系 ２） ∀α ∈ Ｖ， 同余类 [α] ρＷ ＝ α ＋ Ｗ 则可将 [α] ρＷ 记为 ρＷ（α）。 Ｖ ／ ρＷ ＝ ρ{ Ｗ（α） ∀α ∈ Ｖ} 是 全体同余类的集合。 性质 １ ［１７］ ρＷ（α） ＋ ρＷ（β） ＝ ρＷ（α ＋ β） ρＷ（ｋα） ＝ ｋρＷ（α） 定义 ４ ［１７］ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｗ 是 Ｖ 的线性子空间，Ｘ 是 Ｖ 上的任意一个非空子集，定 义 Ｘ 在 Ｗ 上关于 ρＷ 的上、下近似分别为： ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ α ∈ Ｖ ρ { Ｗ（α） ⊆ Ｘ} ρ － Ｗ（Ｘ） ＝ α ∈ Ｖ ρ { Ｗ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀} 性质 ２ ［１７］ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｗ 是 Ｖ 的线性子空间，Ｘ，Ｙ 是 Ｖ 上的非空子集，则有： １） ρ － Ｗ（Ｘ） ⊆ Ｘ ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ）； ２） ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）； ３） ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）； ４ ） 若 Ｘ ⊆ Ｙ， 则 有 ρ － Ｗ（Ｘ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｙ） ， ρ － Ｗ（Ｘ）⊆ρ － Ｗ（Ｙ）； ５） ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ⊇ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）； ６） ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）。 ２ 集合的交（并）的上（下）近似的等 式刻画 由性质 ２ 中的 ５）、６）可以看出，在线性空间中 交的上近似、并的下近似并不是等式刻画，存在信息 丢失的问题。 在本节中，主要解决这一问题，为此引 入以下定义： 定义 ５ 设 Ｖ 是数域 Ｐ 上的线性空间，Ｗ 是 Ｖ 的一个子空间，Ｘ，Ｙ 是 Ｖ 的 ２ 个子集，记 ＰＸ（Ｙ） ＝ α ρＷ（α） ⊆ Ｘ ∪ Ｙ且 ρＷ（α） ⊄ Ｘ，ρ { Ｗ（α） ⊄ Ｙ} ； ＱＸ（Ｙ） ＝ α ρ { Ｗ（α） ∩ （Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ⌀， 且 ρＷ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀，ρＷ（α） ∩ Ｙ ≠ ⌀} 。 定理 ２： １） ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ） ２） ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） － ＱＸ（Ｙ） 证明：１） 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ，有 ρＷ（α） ⊆ Ｘ ∪Ｙ。 若 ρＷ（α） ⊆ Ｘ 或 ρＷ（α） ⊆ Ｙ， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ）， 或 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）。 若 ρＷ（α） ⊄ Ｘ 且 ρＷ（α） ⊄ Ｙ， 则 α ∈ ＰＸ（Ｙ）， 所以 α ∈ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）。 因此 有 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）。 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ）， 有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） 或 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ） 或 α ∈ ＰＸ（Ｙ）。 若 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， 若 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， 若 α ∈ ＰＸ（Ｙ）， 则 ρＷ（α） ⊆ Ｘ ∪ Ｙ， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）。 所以 ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ） ∪ ＰＸ（Ｙ） ⊆ ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ）， 即 ρ － Ｗ（Ｘ ∪ Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∪ ρ － Ｗ（Ｙ）。 ２） 此命题等价为 ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ ＱＸ（Ｙ） ＝ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ） 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） ∪ ＱＸ（Ｙ）， 有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ） 或 α ∈ ＱＸ（Ｙ）。 若 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）， 若 α ∈ ＱＸ（Ｙ）， 则有 ρＷ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀ 且 ρＷ（α） ∩ Ｙ ≠⌀， 所以 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） 且 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）。 对 ∀α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） ∩ ρ － Ｗ（Ｙ）， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ） 且 α ∈ ρ － Ｗ（Ｙ）， 即 ρＷ（α） ∩ Ｘ ≠ ⌀ 且 ρＷ（α） ∩ Ｙ ≠ ⌀。 若 ρＷ（α） ∩ （Ｘ ∩ Ｙ） ≠ ⌀， 则有 α ∈ ρ － Ｗ（Ｘ ∩ Ｙ）； 若 ρＷ（α） ∩ （Ｘ ∩ Ｙ） ＝ ⌀， 则 α ∈ ＱＸ（Ｙ）。 第 ２ 期 刘亚梅，等：粗糙线性近似空间的代数结构 ·２２５·