第9卷第2期 智能系统学报 Vol.9 No.2 2014年4月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Apr.2014 D01:10.3969/i.issn.1673-4785.201307016 网络出版地址：http://www.cmki.net/kcms/doi/CNKI:23-1538/TP.20131105.1201.002.html 粗糙线性近似空间的代数结构 刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，陈艳艳 (西安工程大学理学院，陕西西安710048) 摘要：针对线性空间上引入上下近似算子后的代数结构的刻画问题，根据基于同余关系的线性空间上下近似的性 质，提出2个新的集合，分别对上近似的并和下近似的交的包含关系进行了改进，得出了集合交的上近似、集合并的 下近似的等式刻画。进而，定义引入粗糙线性近似空间的概念，并在其上引入交、并、补的运算，得出粗糙线性近似 空间在运算下构成了布尔代数的结论，丰富了线性空间与粗糙集理论相结合的研究。 关键词：粗糙线性近似空间：线性子空间：同余：上下近似：布尔代数：代数结构 中图分类号：TP18:B815文献标志码：A文章编号：1673-4785(2014)02-0224-05 中文引用格式：刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，等.粗糙线性近似空间的代数结构[J].智能系统学报，2014,9(2)：224-228 英文引用格式：LIU Yamei,,MA Yingcang,LU Wenxia,etal.The algebraic structure of rough linear approximation space[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems,2014,9(2):224-228. The algebraic structure of rough linear approximation space LIU Yamei,MA Yingcang,LU Wenxia,CHEN Yanyan (School of Science,Xi'an Polytechnic University,Xi'an 710048,China) Abstract:Focusing on the description of the algebraic structure on the upper (lower)approximation,and according to the properties of the upper(lower)approximation in rough linear space,two new sets are presented,and the in- clusion relation of the upper approximation's union and the lower approximation's intersection are improved,deri- ving the equation expressions of the upper approximation's union and the lower approximation's intersection.More- over,the rough linear approximation space is proposed and the intersection,union and complementary operations are introduced in the rough linear approximation space.Finally,it has been proven that the rough linear approxima- tion space is Boolean algebra on the intersection,union and complementary operations.This paper enriches the combination of linear space and rough set research. Keywords:rough linear approximation space;linear subspace;congruence;upper and lower approximation;Bool- ean algebra;algebraic structure 粗糙集理论于1982年被Pawlak)提出以来，统[24。公理化方法就是先给定一个粗糙集代数系 已经取得很大的发展。特别是在数据的决策与分 统，然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性 析、模式识别、数据挖掘、机器学习与知识发现等方 方法定义的近似算子及导出的粗糙集代数系统就是 面。在粗糙集理论中有2种方式来定义近似算子： 给定的近似算子和粗糙集代数系统5。基于这2 构造性方法和公理化方法。构造性方法是以论域上 种方法，在代数结构方面，不少学者做出了一些研究 的二元关系、邻域系统或布尔子代数作为基本要素 并提出了许多新的概念，如粗糙群o]、粗糙子 构造性地定义近似算子，然后得出粗糙集代数系 群[山、粗糙不变子群[2]等。在线性空间方面，日 本学者N.Kuroki[14]研究了线性空间上粗糙集的性 收稿日期：2013-07-05.网络出版日期：2013-11-05. 质，提出了在线性空间上的等价关系以及上下近似 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60775038)：陕西省教育厅专 算子。国内学者WJ.Liu【s16、吴明芬等也研究 项科研计划资助项目(12JK0878). 通信作者：马盈仓.E-mail:mayingcang(@126.com. 了粗糙线性空间的性质并联系线性空间本身的性质第 ９ 卷第 ２ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．９ №．２ ２０１４ 年 ４ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｐｒ． ２０１４ ＤＯＩ：１０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１３０７０１６ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｏｉ ／ ＣＮＫＩ：２３⁃１５３８ ／ ＴＰ．２０１３１１０５．１２０１．００２．ｈｔｍｌ 粗糙线性近似空间的代数结构 刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，陈艳艳 （西安工程大学 理学院，陕西 西安 ７１００４８） 摘 要：针对线性空间上引入上下近似算子后的代数结构的刻画问题，根据基于同余关系的线性空间上下近似的性 质，提出 ２ 个新的集合，分别对上近似的并和下近似的交的包含关系进行了改进，得出了集合交的上近似、集合并的 下近似的等式刻画。 进而，定义引入粗糙线性近似空间的概念，并在其上引入交、并、补的运算，得出粗糙线性近似 空间在运算下构成了布尔代数的结论，丰富了线性空间与粗糙集理论相结合的研究。 关键词：粗糙线性近似空间；线性子空间；同余；上下近似；布尔代数； 代数结构 中图分类号： ＴＰ１８；Ｂ８１５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１４）０２⁃０２２４⁃０５ 中文引用格式：刘亚梅，马盈仓，鲁文霞，等． 粗糙线性近似空间的代数结构［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（２）： ２２４⁃２２８． 英文引用格式：ＬＩＵ Ｙａｍｅｉ， ＭＡ Ｙｉｎｇｃａｎｇ， ＬＵ Ｗｅｎｘｉａ， ｅｔ ａｌ． Ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９（２）： ２２４⁃２２８． Ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ＬＩＵ Ｙａｍｅｉ， ＭＡ Ｙｉｎｇｃａｎｇ， ＬＵ Ｗｅｎｘｉａ， ＣＨＥＮ Ｙａｎｙａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｘｉ’ａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４８， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｃｕｓｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｎ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ （ｌｏｗｅｒ） ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ａｎｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ （ｌｏｗｅｒ） ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ， ｔｗｏ ｎｅｗ ｓｅｔｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ， ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎ⁃ ｃｌｕｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ’ｓ ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ＇ｓ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ， ｄｅｒｉ⁃ ｖｉｎｇ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ’ｓ ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ＇ｓ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ． Ｍｏｒｅ⁃ ｏｖｅｒ， ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ， ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｉｔ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａ⁃ ｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ｉｓ Ｂｏｏｌｅａｎ ａｌｇｅｂｒａ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ， ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｅｎｒｉｃｈｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｒｅｓｅａｒｃｈ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈ ｌｉｎｅａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ； ｌｉｎｅａｒ ｓｕｂｓｐａｃｅ； ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ； ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ； Ｂｏｏｌ⁃ ｅａｎ ａｌｇｅｂｒａ； ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ 收稿日期：２０１３⁃０７⁃０５． 网络出版日期：２０１３⁃１１⁃０５． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０７７５０３８）；陕西省教育厅专 项科研计划资助项目（１２ＪＫ０８７８）． 通信作者：马盈仓． Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｍａｙｉｎｇｃａｎｇ＠ １２６．ｃｏｍ． 粗糙集理论于 １９８２ 年被 Ｐａｗｌａｋ ［１］ 提出以来， 已经取得很大的发展。 特别是在数据的决策与分 析、模式识别、数据挖掘、机器学习与知识发现等方 面。 在粗糙集理论中有 ２ 种方式来定义近似算子： 构造性方法和公理化方法。 构造性方法是以论域上 的二元关系、邻域系统或布尔子代数作为基本要素 构造性地定义近似算子，然后得出粗糙集代数系 统［２⁃４］ 。 公理化方法就是先给定一个粗糙集代数系 统，然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性 方法定义的近似算子及导出的粗糙集代数系统就是 给定的近似算子和粗糙集代数系统［５⁃９］ 。 基于这 ２ 种方法，在代数结构方面，不少学者做出了一些研究 并提出 了 许 多 新 的 概 念， 如 粗 糙 群［１０］ 、 粗 糙 子 群［１１］ 、粗糙不变子群［１２⁃１３］ 等。 在线性空间方面，日 本学者 Ｎ． Ｋｕｒｏｋｉ ［１４］研究了线性空间上粗糙集的性 质，提出了在线性空间上的等价关系以及上下近似 算子。 国内学者 Ｗ．Ｊ．Ｌｉｕ ［１５⁃１６］ 、吴明芬［１７］ 等也研究 了粗糙线性空间的性质并联系线性空间本身的性质