“牧童”经济模型 这个模型是制度经济学家非常熟悉的。它说明了,如果一种资源没有适当的 管理,就会导致对这种资源的过渡使用。 假设一个牧场有n个牧民,他们共同拥有一片草地,并且每个牧民都有在草 地上放牧的自由。每年春天,他们都要决定养多少只羊。我们记x为第i个牧民 饲养的羊数,那么x∈[0,+∞)(i=1,2,…,n)。设V表示每只羊的平均价值,显 然我们可以将V看作总羊数 的函数,即v=I(X)。因为一只羊至少需要一定数量的草才不至于饿死,所以 这片草地上所能饲养羊的数目是有限的。设X为这个最大数量,显然,当 x<Xm时,(X)>0;而当X≥Xm时,可以认为(X)=0。注意到随着羊 的总数的不断增加,羊的价值就会不断下降,并且总数增加得越快,价值也下降 得越快,因此在这个模型里可以假定 0, 其变化趋势如下图所示。 X 在这个模型里,我们认为每个牧民都会根据自己的意愿选择饲养的数目以最 大化自己的利润。假设购买一只羊羔的价值为c,那么第i个牧民将得到的利润 为 P(x1,x2…xn)=x(X)-xC=xFC∑x)-x,1=12,…n 于是他要取得最大利润,羊的数目必须满足下面的一阶最优化条件 a,s(x)+xy'(X)-c=0,i=1,2…,n。 即每个牧民取得最大利润的羊的数目(最优饲养量)x1(i=12…,n)必是这个 方程组的解,称之为最优解。这个方程说明:最优解满足边际收益等于边际成本 另一方面也说明了,增加一只羊有正负两方面的效应,正的效应是这只羊本身的 价值(X),负的效应是这只羊的增加使在它之前已有的羊的价值减少(因为 xV(X)<0) 从一阶最优化条件还可以看出,第i个牧民饲养的最优饲养量x1是受其他牧 民的饲养数目影响的,这也符合实际情况,因此可以认为这样的x是“牧童”经济模型 这个模型是制度经济学家非常熟悉的。它说明了，如果一种资源没有适当的 管理，就会导致对这种资源的过渡使用。 假设一个牧场有 n 个牧民，他们共同拥有一片草地，并且每个牧民都有在草 地上放牧的自由。每年春天，他们都要决定养多少只羊。我们记 i x 为第 i 个牧民 饲养的羊数，那么 [0,) i x （ i 1,2,  ,n ）。设 V 表示每只羊的平均价值，显 然我们可以将 V 看作总羊数   n i i X x 1 的函数，即 V V(X) 。因为一只羊至少需要一定数量的草才不至于饿死，所以 这片草地上所能饲养羊的数目是有限的。设 X max 为这个最大数量，显然，当 X  X max 时， V(X)  0 ；而当 X  X max 时，可以认为 V(X)  0 。注意到随着羊 的总数的不断增加，羊的价值就会不断下降，并且总数增加得越快，价值也下降 得越快，因此在这个模型里可以假定 0, 0 2 2   dX d V dX dV 。 其变化趋势如下图所示。 在这个模型里，我们认为每个牧民都会根据自己的意愿选择饲养的数目以最 大化自己的利润。假设购买一只羊羔的价值为 c ，那么第 i 个牧民将得到的利润 为 P x x x x V X x c x V x xi c i n n i i n i i i i ( , , , ) ( ) ( ) , 1,2, , 1 1 2          。 于是他要取得最大利润，羊的数目必须满足下面的一阶最优化条件 （*） V X x V X c i n x P i i i  ( )  ( )   0,  1,2,,   。 即每个牧民取得最大利润的羊的数目（最优饲养量） i x （ i 1,2,  ,n ）必是这个 方程组的解，称之为最优解。这个方程说明：最优解满足边际收益等于边际成本。 另一方面也说明了，增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的 价值 V(X) ，负的效应是这只羊的增加使在它之前已有的羊的价值减少（因为 i x V(X)  0 ）。 从一阶最优化条件还可以看出，第 i 个牧民饲养的最优饲养量 i x 是受其他牧 民的饲养数目影响的，这也符合实际情况，因此可以认为这样的 i x 是 V O X max X