好吃的,你才买。”仆人拿好钱就去了。到了果园,园主说:“我这里树上的芒果个个都 是甜的,你尝一个看。”仆人说:“我尝一个怎能知道全体呢?我应当个个都尝过,尝一个 买一个,这样最可靠。”仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去。带 回家去,富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了。这则故事非常有讽刺意味地说明了, 简单枚举归纳推理在有些情况下是又笨又懒的办法,其笨在重复,其懒在不思考。当我 们观察到一些S具有属性P后,应当开始思考,为什么这些S会有属性P呢?也就是 去弄清楚S和P究竟有没有因果联系。通过把握对象与属性之间的因果联系,我们就可 以尝数个芒果而知一棵树上全部芒果是甜还不是不甜,比如,我们可以想到,芒果的甜 与不甜和园中土壤、日照等有因果联系,因而同一座园起码同一棵树的芒果其甜是差不 太多的。(3)结论的可靠性不同。虽然二者的前提和结论之间的联系是或然的,归纳强 度不必然等于1。但科学归纳推理考察了对象与属性之间的因果联系,因而,科学归纳推 理的归纳强度比简单枚举归纳推理的归纳强度大,也就是说,科学归纳推理与简单枚举 归纳推理相比,结论的可靠程度大。 科学归纳推理倡导一种面对知识和结论不轻信而加以思考的习惯。这种习惯在资讯 发达的时代尤显重要。想想,我们的媒体经常给我们传播一些多么自相矛盾的“科学知 识”,这一点就不难明白了。比如,媒体有时候说,饭后百步走好;有时候又说,饭后百 步走不好。再如,有时候说,隔夜茶不能喝,喝了有害健康;有时候又说,研究表明, 隔夜茶可以喝,与喝非隔夜茶一样。诸如此类,叫人简直不知所措。而科学归纳推理由 于其主要特点是考察对象与属性之间的因果联系,因而有助于引导人们去探求事物的本 质,发现事物的规律,从而比较可靠地把感性认识提升到理性认识。 第四节概率推理 M·克莱因在《西方文化中的数学》中写到:“不用说关于我们未来的事情,甚至从 现在起的一小时后,也均无任何肯定的东西存在。一分钟后,我们脚下的地面可能就会 裂开。但是,宣称这种可能性吓唬不了我们,因为我们知道,出现这种情况的概率极小。 换句话说,正是一个事件是否发生的概率,决定了我们对该事件的态度和行动。”①那种 在某种条件下可能出现,也可能不出现的现象,我们称之为随机事件或偶然事件,如从 副桥牌中抽出一张红桃K。事实上,当我们观察了大量的同类随机事件后,就会发现其 中存在着一定的规律性。概率就是对大量随机事件所呈现的规律的数量上的刻画,通常 用P(A)表示。运用概率推理,我们可以获知某事件发生的可能性有多大,或者说某事 件发生的机会有多大。在这个意义上,可以说概率推理即关于机会的推断。 、计算概率值的定义 在日常生活中,我们仅仅满足于估计一个事件的概率是高还是低而已。但是,这种 估计过于宽泛,不能满足诸如在工业、经济、保险、医疗、社会学、心理学等等许多问 题上的需要。因为在上述情形中,必须知道准确的概率值。要达到这个目的,就要求助 于数学。依靠数学计算出来的概率值,才能够可靠地指引我们的行动 一般地,计算概率值的定义是:如果有n种等可能性,而有利于某事件发生的情形 是m,则该事件发生的概率是m/n,不发生的概率是(n-m)/n。在这个定义下,如果事件 是不可能的,则事件的概率为0/n,即为0;如果事件是完全确定的,则概率是n/n,即 为1。因此,概率值在从0到1的范围内变化,即从不可能性到确定性。所谓等可能性 就是说出现的可能性相同。比如,一个骰子有6个面,若在骰子的形状上或在扔骰子的 方式中,没有任何因素有利于某一面的出现,则骰子6面出现的可能性相同,也就是骰 子具有6种等可能性。按照计算概率值的这个定义,从52张普通的未擦肥皂的一副扑克 M·克莱因:《西方文化中的数学》,复旦大学出版社,2004年,第360页8 好吃的，你才买。”仆人拿好钱就去了。到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都 是甜的，你尝一个看。”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢?我应当个个都尝过，尝一个 买一个，这样最可靠。”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去。带 回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了。这则故事非常有讽刺意味地说明了， 简单枚举归纳推理在有些情况下是又笨又懒的办法，其笨在重复，其懒在不思考。当我 们观察到一些 S 具有属性 P 后，应当开始思考，为什么这些 S 会有属性 P 呢？也就是， 去弄清楚 S 和 P 究竟有没有因果联系。通过把握对象与属性之间的因果联系，我们就可 以尝数个芒果而知一棵树上全部芒果是甜还不是不甜，比如，我们可以想到，芒果的甜 与不甜和园中土壤、日照等有因果联系，因而同一座园起码同一棵树的芒果其甜是差不 太多的。（3）结论的可靠性不同。虽然二者的前提和结论之间的联系是或然的，归纳强 度不必然等于 1。但科学归纳推理考察了对象与属性之间的因果联系，因而，科学归纳推 理的归纳强度比简单枚举归纳推理的归纳强度大，也就是说，科学归纳推理与简单枚举 归纳推理相比，结论的可靠程度大。 科学归纳推理倡导一种面对知识和结论不轻信而加以思考的习惯。这种习惯在资讯 发达的时代尤显重要。想想，我们的媒体经常给我们传播一些多么自相矛盾的“科学知 识”，这一点就不难明白了。比如，媒体有时候说，饭后百步走好；有时候又说，饭后百 步走不好。再如，有时候说，隔夜茶不能喝，喝了有害健康；有时候又说，研究表明， 隔夜茶可以喝，与喝非隔夜茶一样。诸如此类，叫人简直不知所措。而科学归纳推理由 于其主要特点是考察对象与属性之间的因果联系，因而有助于引导人们去探求事物的本 质，发现事物的规律，从而比较可靠地把感性认识提升到理性认识。 第四节 概率推理 M·克莱因在《西方文化中的数学》中写到：“不用说关于我们未来的事情，甚至从 现在起的一小时后，也均无任何肯定的东西存在。一分钟后，我们脚下的地面可能就会 裂开。但是，宣称这种可能性吓唬不了我们，因为我们知道，出现这种情况的概率极小。 换句话说，正是一个事件是否发生的概率，决定了我们对该事件的态度和行动。”①那种 在某种条件下可能出现，也可能不出现的现象，我们称之为随机事件或偶然事件，如从 一副桥牌中抽出一张红桃 K。事实上，当我们观察了大量的同类随机事件后，就会发现其 中存在着一定的规律性。概率就是对大量随机事件所呈现的规律的数量上的刻画，通常 用 P（A）表示。运用概率推理，我们可以获知某事件发生的可能性有多大，或者说某事 件发生的机会有多大。在这个意义上，可以说概率推理即关于机会的推断。 一、计算概率值的定义 在日常生活中，我们仅仅满足于估计一个事件的概率是高还是低而已。但是，这种 估计过于宽泛，不能满足诸如在工业、经济、保险、医疗、社会学、心理学等等许多问 题上的需要。因为在上述情形中，必须知道准确的概率值。要达到这个目的，就要求助 于数学。依靠数学计算出来的概率值，才能够可靠地指引我们的行动。 一般地，计算概率值的定义是：如果有 n 种等可能性，而有利于某事件发生的情形 是 m，则该事件发生的概率是 m/n，不发生的概率是(n-m)/n。在这个定义下，如果事件 是不可能的，则事件的概率为 0/n，即为 0；如果事件是完全确定的，则概率是 n /n，即 为 1。因此，概率值在从 0 到 1 的范围内变化，即从不可能性到确定性。所谓等可能性， 就是说出现的可能性相同。比如，一个骰子有 6 个面，若在骰子的形状上或在扔骰子的 方式中，没有任何因素有利于某一面的出现，则骰子 6 面出现的可能性相同，也就是骰 子具有 6 种等可能性。按照计算概率值的这个定义，从 52 张普通的未擦肥皂的一副扑克 ①M·克莱因：《西方文化中的数学》，复旦大学出版社，2004 年，第 360 页