f(ax +by c(adx +bdy +cdz 17.设函数z=f(x,y)在全平面上有定义,具有连续的偏导数,且满足 方程 x(x,y)+yf,(x,y)=0, 证明:f(x,y)为常数 证当r≠0时 o.f(rcos O, rsin 0)=cos0, (rcose, rsinO)+ sinO,(rcos 0, rsin0) (,(x,y)+y,(xy)=0, 所以 f(rcosB, rsin 0)=F(8) 再利用f(x,y)在(0,0)点的连续性,得到 lim o f(x, y)=imf(rose, sine)=F(6)=f(0,0) 即F(0)为常数,所以f(x,y)为常数。 18.设n元函数∫在R”上具有连续偏导数,证明对于任意的 x=(x1,x2…xn),y=(n,y2…,yn)∈R",成立下述 Hadamard公式: f f(y)-f(x)=∑(y-s(y-x)b。 证设F(1)=f(x+1(y-x),则 f(y)-f(x)=F(1)-F(0)=F)dto 由于 F()=∑(x+1(-x) a(x1+(y2-x1) ∑(-x)(x+1(y-x) 所以 f(y)-f(x)=F(1)-F(0) ∑(y-x)2(x+y-x)Mk k k d u f (ax by cz)(adx bdy cdz) ( ) = + + + + 。 17. 设函数 在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足 方程 z = f (x, y) xf x (x, y) + yf y (x, y) = 0 , 证明： f (x, y) 为常数。 证 当r ≠ 0时， = ∂ ∂ f (r cosθ ,rsinθ ) r cosθ f x (r cosθ ,rsinθ ) + sinθ f (r cosθ ,rsinθ ) y ( ) ( , ) ( , ) 0 1 = xf x y + yf x y = r x y , 所以 f (r cosθ ,rsinθ ) = F(θ )。 再利用 f (x, y)在(0,0) 点的连续性，得到 ( , ) (0,0) 0 lim ( , ) lim ( cos , sin ) ( ) (0,0) x y r f x y f r θ r θ θ F f → → = = = ， 即F(θ )为常数，所以 f (x, y)为常数。 18．设 n 元函数 f 在 n R 上具有连续偏导数，证明对于任意的 x = (x1 , x2 ,", xn )， ( , , , ) 1 2 n y = y y " y n ∈ R ，成立下述 Hadamard 公式： ∑∫ = + − ∂ ∂ − = − n i i i i t dt x f f f y x 1 1 0 (y) (x) ( ) (x (y x)) 。 证 设F(t) = f (x + t(y − x))，则 f f ( ) y x − = ( ) F(1) − F(0) 1 0 = F '(t d) t ∫ 。 由于 1 ( ( ) '( ) ( ( )) n i i i i i f x t y x ) F t t x t = ∂ ∂ + − = + − ∂ ∂ ∑ x y x 1 ( ) ( ( n i i i i f y x t = x ∂ = − + − ∂ ∑ x y x))。 所以 f f ( ) y x − ( ) = − F(1) F(0) 1 0 1 ( ) ( ( )) n i i i i f y x t dt = x ∂ = − + − ∂ ∑∫ x y x 。 11