所以 d==dx+ody=[(2x+y)dx+(2y-x)dy]e +(2x+y)e Oxon 15.求下列函数的全微分: (1) (2)u=f(x+y,xy); (3)u=fn( 解(1)令y=ax2+by2+c2,则 du=f(vdx+dy+d= =2(ax+by2+c'axdx +bydy+cad=) (2) (+y2)dx+(f1+xf2 dx一cy+-c ,,(xk+y+)+(e)+d+) 1+x2+y2+z 16.设f()具有任意阶连续导数,而u=f(ax+by+c)。对任意正整数k, 求d 解当k=1时,成立 du =f(ax+by+cz)d(ax+ by+ca)=f(ax+by+ c(adx+ bdy+cd) 应用数学归纳法,假设对于k成立 du=f(ax+by+)(adx+bdy+cd=) 则对于k+1成立 d**u=d(du)=dw(ax+by+ cz)(adx+ bdy+cd=] =f(ax+by+c(adx+ bdy+cd=) 由数学归纳法可知对任意正整数k成立所以 z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ [ ] arctan (2 ) (2 ) y x x y dx y x dy e − = + + − ； 2 z x y ∂ ∂ ∂ arctan arctan (2 ) y y x x e x y e − − = + + . 2 1 1 1 y x x − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 arctan 2 2 y x y xy x e x y − − − = + 。 15．求下列函数的全微分： （1）u = f (ax 2 + by 2 + cz 2 )； （2）u = f (x + y, xy)； （3） ( ) x y z u f x y z e + + = ln(1+ + + ), 2 2 2 。 解 (1) 令v a = + x 2 2 by + cz 2，则 '( )( ) v v v du f v dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' f (ax by + cz )(axdx + bydy + czdz)。 (2) u u du dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 1 2 1 2 = + ( ) f yf dx + ( f + xf )dy。 (3) u u u du dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 2 ( ) 1 f xdx ydy zdz x y z = + + 2 ( )( x y z e f dx dy dz + + + + + + + + ) 。 16．设 f (t)具有任意阶连续导数，而u = f (ax + by + cz) 。对任意正整数 ， 求 。 k uk d 解 当k = 1时，成立 du = + f '(ax by + cz)d(ax + by + cz) = f '(ax + + by cz)(adx + bdy + cdz) ， 应用数学归纳法，假设对于k 成立 k k k d u f (ax by cz)(adx bdy cdz) ( ) = + + + + ， 则对于k +1成立 1 ( ) k k d u d d u + = ( ) [ ( )( ) k k = + d f ax by + cz adx + bdy + cdz ] ) ( 1) 1 ( )( k k f ax by cz adx bdy cdz + + = + + + + 。 由数学归纳法可知对任意正整数k 成立 10