5、相似矩阵和二次型 1.正交矩阵◇!A=E或A=A(定义),性质: ①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aa (i,j=1,2,…n); ②、若A为正交矩阵,则A=A也为正交阵,且|A=土1 ③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化: 施密特正交化:(a,a2…,a,) b b.=a-a,-1a,b-…-1b=21b [b1,b][b2,b2] 3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关 对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交: 4.①、A与B等价分A经过初等变换得到B; 台PQ=B,P、Q可逆 分r(A)=r(B),A、B同型 ②、A与B合同→CAC=B,其中可逆 xAx与xBx有相同的正、负惯性指数 ③、A与B相似PAP=B 5.相似一定合同、合同未必相似 若C为正交矩阵,则CAC=B→A~B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格) 6.A为对称阵,则A为二次型矩阵 7.n元二次型xAx为正定 A的正惯性指数为n; 心A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CAC=E 台A的所有特征值均为正数 A的各阶顺序主子式均大于0; →an>04>0:(必要条件6 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵 T  = A A E 或 1 T A A − = （定义），性质： ①、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 1 ( , 1,2, ) 0 T i j i j a a i j n i j  = = =    ； ②、若 A 为正交矩阵，则 1 T A A − = 也为正交阵，且 A =1 ； ③、若 A、 B 正交阵，则 AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化： 1 2 ( , , , )r a a a 1 1 b a = ； 1 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] b a b a b b b = − 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b − − − − = − − − − ; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、 A 与 B 等价  A 经过初等变换得到 B ；  = PAQ B ， P 、Q 可逆；  = r A r B ( ) ( ) ， A、 B 同型； ②、 A 与 B 合同  = T C AC B ，其中可逆；  T x Ax 与 T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、 A 与 B 相似  = −1 P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若 C 为正交矩阵，则 T C AC B=  A B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型 T x Ax 为正定：  A 的正惯性指数为 n ；  A 与 E 合同，即存在可逆矩阵 C ，使 T C AC E= ；  A 的所有特征值均为正数；  A 的各阶顺序主子式均大于 0； 0, 0 ii    a A ；(必要条件)