③、aB,y线性相关台→a,B.y共面 6.线性相关与无关的两套定理 若a,a2…,a线性相关,则a,a,…a,a,必线性相关 若a,a2…,a线性无关,则a1,a2…,a,1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶 若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量,构成m维向量组B: 若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定 7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r≤s(二版P4定理7); 向量组A能由向量组B线性表示,则r(A4)≤r(B):(P3定理3) 向量组A能由向量组B线性表示 AX=B有解 台r(4)=r(AB)(P3定理2) 向量组A能由向量组B等价er(A4)=r(B)=r(A,B)(P5定理2推论) 8.方阵A可逆→存在有限个初等矩阵P,P2,…,P,使A=PP2…P; ①、矩阵行等价:A-BPA=B(左乘,P可逆)Ax=0与Bx=0同解 ②、矩阵列等价:A-BsAQ=B(右乘,Q可逆) ③、矩阵等价:A~BPAQ=B(P、Q可逆); 9.对于矩阵Ann与B: ①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等 ②、若A与B行等价,则Ax=0与Bx=0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性: ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 ④、矩阵A的行秩等于列秩 10.若A,Bn=Cn,则: ①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵 ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,「为系数矩阵;(转置 11.齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明 ①、ABr=0只有零解→Bx=0只有零解 ②、Bx=0有非零解→ABx=0一定存在非零解; 12.设向量组Bn:b,b2…,b可由向量组A,a,a2…a,线性表示为:(P1题19结论) (b,b2…,b)=(a1,a2…,a,)K(B=AK) 其中K为sxr,且A线性无关,则B组线性无关er(K)=r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:∵r=r(B)=r(AK)≤r(K),r(K)≤r,r(K)=r;充分性:反证法) 注:当r=s时,K为方阵,可当作定理使用; 13.①、对矩阵A,存在Qm,AQ=En台r(4)=m、Q的列向量线性无关;(P3) ②、对矩阵An,存在Pn,PA=Ener(A)=n、P的行向量线性无关 14 线性相关 台存在一组不全为0的数k,k2…,k,使得ka1+ka2+…+k,∝1=0成立;(定义) 台(a1,a2…,a):=0有非零解,即Ax=0有非零解 台r(a,a2,…a,)<s,系数矩阵的秩小于未知数的个数 15.设mxn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为:r(S)=n-r; 16.若n为Ax=b的一个解,512…,E为Ax=0的一个基础解系,则n,51,52,…,n,线性无关;(P1题 33结论)5 ③、    , , 线性相关     , , 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若 1 2 , , ,   s 线性相关，则 1 2 1 , , , ,    s s+ 必线性相关； 若 1 2 , , ,   s 线性无关，则 1 2 1 , , ,   s− 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r − 个分量，构成 n 维向量组 B ： 若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组 A （个数为 r ）能由向量组 B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则 r s  (二版 P74 定理 7)； 向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r A r B ( ) ( )  ；（ P86 定理 3） 向量组 A 能由向量组 B 线性表示  = AX B 有解；  = r A r A B ( ) ( , ) （ P85 定理 2） 向量组 A 能由向量组 B 等价  = = r A r B r A B ( ) ( ) ( , ) （ P85 定理 2 推论） 8. 方阵 A 可逆  存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P Pl ，使 A P P P = 1 2 l ； ①、矩阵行等价： ~ r A B PA B  = （左乘， P 可逆）  = Ax 0 与 Bx = 0 同解 ②、矩阵列等价： ~ c A B AQ B  = （右乘， Q 可逆）； ③、矩阵等价： A B PAQ B ~  = （ P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵 Am n 与 Bl n ： ①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等； ②、若 A 与 B 行等价，则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩； 10. 若 A B C m s s n m n    = ，则： ①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示， B 为系数矩阵； ②、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示， T A 为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组 Bx = 0 的解一定是 ABx = 0 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、 ABx = 0 只有零解  = Bx 0 只有零解； ②、 Bx = 0 有非零解  = ABx 0 一定存在非零解； 12. 设向量组 1 2 : , , , B b b b n r r  可由向量组 1 2 : , , , A a a a n s s  线性表示为：（ P110 题 19 结论） 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) r s b b b a a a K = （ B AK = ） 其中 K 为 s r  ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关  = r K r ( ) ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性： r r B r AK r K r K r r K r = =    = ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) ；充分性：反证法） 注：当 r s = 时， K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵 Am n ，存在 Qn m ， AQ E= m  = r A m ( ) 、Q 的列向量线性无关；（ P87 ） ②、对矩阵 Am n ，存在 Pn m ， PA E= n  = r A n ( ) 、 P 的行向量线性无关； 14. 1 2 , , ,   s 线性相关  存在一组不全为 0 的数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = 成立；（定义）  1 2 1 2 ( , , , ) 0 s s x x x          =       有非零解，即 Ax = 0 有非零解；  1 2 ( , , , )s r s     ，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 15. 设 m n  的矩阵 A 的秩为 r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩为： r S n r ( ) = − ； 16. 若 *  为 Ax b = 的一个解， 1 2 , , ,    n r − 为 Ax = 0 的一个基础解系，则 * 1 2 , , , ,     n r − 线性无关；（ P111 题 33 结论）